यदि S एक वृत्त के अन्तर्निहित वर्ग के क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है और T इसी वृत्त के अन्तर्निहित समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को प्रदर्शित करता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है ?
- (1)3√3 T = 8 S
- (2)3√3 T = 4 S
- (3)4 T = 3√3 S
- (4)8 T = 3√3 S
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (4), 8 T = 3√3 S.
वृत्त की त्रिज्या r मान लें।
चरण 1 — अन्तर्निहित वर्ग।
उसका विकर्ण व्यास है: विकर्ण = 2r
भुजा = 2r ÷ √2 = √2 r
S = (√2 r)² = 2r²
चरण 2 — अन्तर्निहित समबाहु त्रिभुज।
उसका केंद्र वृत्त का केंद्र है, जो हर माध्यिका पर शीर्ष से दो-तिहाई दूरी पर है।
r = (2/3) × ऊँचाई = (2/3) × (√3/2) × भुजा = भुजा ÷ √3
भुजा = √3 r
T = (√3/4) × (√3 r)² = (√3/4) × 3r² = 3√3 r²/4
चरण 3 — T को S से भाग दें।
T ÷ S = (3√3 r²/4) ÷ 2r² = 3√3/8
चरण 4 — वज्र गुणन करें।
8 T = 3√3 S
आकार की जाँच: 3√3 ≈ 5.196, इसलिए T ÷ S ≈ 0.65। T ≈ 1.30 r², S = 2r² से छोटा है, जैसा संबंध माँगता है।
याद रखने की बात: त्रिज्या r वाले वृत्त में अन्तर्निहित वर्ग की भुजा √2 r और अन्तर्निहित समबाहु त्रिभुज की भुजा √3 r होती है।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (1)3√3 T = 8 S — विकल्प (1) सही भिन्न को उलट देता है: इससे T ÷ S = 8/(3√3) ≈ 1.54 आता है, जो त्रिभुज को वर्ग से बड़ा बना देता।
हल से T = 3√3 r²/4 ≈ 1.30 r² और S = 2r² मिलते हैं, इसलिए T ÷ S = 3√3/8 ≈ 0.65।
- (2)3√3 T = 4 S — विकल्प (2) से T ÷ S = 4/(3√3) ≈ 0.77 आता है, जो सही 3√3/8 ≈ 0.65 से अधिक है।
क्षेत्रफलों से जाँचें: 3√3 T = 3√3 × 3√3 r²/4 = 27r²/4 = 6.75r², जबकि 4 S = 8r²। दोनों पक्ष बराबर नहीं हैं।
- (3)4 T = 3√3 S — विकल्प (3) कहता है T ÷ S = 3√3/4 ≈ 1.30। यह T को r² से भाग देने पर आता है, वर्ग के क्षेत्रफल से नहीं, क्योंकि T = 3√3 r²/4।
वर्ग का क्षेत्रफल 2r² है, r² नहीं, इसलिए अनुपात आधा होकर 3√3/8 रह जाता है और संबंध 8 T = 3√3 S बनता है।
अवधारणा
कोई बहुभुज किसी वृत्त में अन्तर्निहित तब होता है जब उसके सभी शीर्ष वृत्त पर हों; तब वृत्त की त्रिज्या बहुभुज की परित्रिज्या होती है।
वर्ग: विकर्ण व्यास है, इसलिए भुजा = √2 r और क्षेत्रफल = 2r²।
समबाहु त्रिभुज: केंद्र हर माध्यिका पर शीर्ष से दो-तिहाई दूरी पर है, इसलिए r = भुजा ÷ √3। भुजा = √3 r और क्षेत्रफल = 3√3 r²/4।
एक ही वृत्त में क्षेत्रफलों का क्रम त्रिभुज < वर्ग < वृत्त है: लगभग 1.30 r², 2 r² और 3.14 r²।
RPSC के प्रारंभिक परीक्षा पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के अंतर्गत "आधारभूत संख्यात्मक दक्षता" में "समतलीय चित्रों के परिमाप एवं क्षेत्र" शामिल है।
अन्तर्निहित आकृतियाँ वृत्त के प्रमेयों पर टिकी हैं। ऐसा अन्तर्निहित समकोण, जिसका शीर्ष और दोनों भुजाओं के सिरे वृत्त पर हों, व्यास पर बनता है। अन्तर्निहित वर्ग का हर कोना ऐसा ही समकोण है, इसलिए उस कोने के दोनों पड़ोसी कोनों को जोड़ने वाला विकर्ण व्यास है।
वृत्त में अन्तर्निहित सम षट्भुज की भुजा त्रिज्या के बराबर होती है, क्योंकि वह छह समबाहु त्रिभुजों में बँट जाता है; उसका क्षेत्रफल, 3√3 r²/2, अन्तर्निहित समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना है।
मुख्य तथ्य
- त्रिज्या r वाले वृत्त में अन्तर्निहित वर्ग: भुजा √2 r, क्षेत्रफल 2r²।
- त्रिज्या r वाले वृत्त में अन्तर्निहित समबाहु त्रिभुज: भुजा √3 r, क्षेत्रफल 3√3 r²/4।
- भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) a²।
- T ÷ S = 3√3/8 ≈ 0.65, इसलिए 8 T = 3√3 S।
- त्रिज्या r वाले वृत्त में अन्तर्निहित सम षट्भुज: भुजा r, क्षेत्रफल 3√3 r²/2।
वर्ग और त्रिभुज का हर शीर्ष वृत्त पर स्थित है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- वर्ग की भुजा को r मान लेना। त्रिज्या विकर्ण की आधी है, भुजा की नहीं, इसलिए भुजा √2 r और क्षेत्रफल 2r² है।
- त्रिभुज की भुजा को 2r या r मान लेना। त्रिज्या r वाले वृत्त में समबाहु त्रिभुज की भुजा √3 r है।
- वज्र गुणन में 8 को गलत पक्ष में रखना। T ÷ S = 3√3/8 से 8 T = 3√3 S बनता है।
कोई प्रश्न एक ही वृत्त में दो आकृतियाँ अन्तर्निहित करके उनके क्षेत्रफलों का संबंध पूछ सकता है, जैसा यह प्रश्न करता है, या त्रिज्या से किसी एक आकृति का क्षेत्रफल पूछ सकता है।
कोई प्रश्न किसी आकृति के भीतर वृत्त, या वृत्त के चारों ओर आकृति बनाकर क्षेत्रफलों की तुलना भी कर सकता है।
संबंधित PYQ
एक त्रिभुज की भुजाएँ 5, 12 और 13 इकाई हैं । एक आयत बनाया गया है, जिसका क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है । इसकी चौड़ाई 10 इकाई है, इस आयत का परिमाप है :
- (1) 30 इकाई
- (2) 26 इकाई
- (3) 13 इकाई
- (4) 40 इकाई
उत्तर(2)
समतलीय आकृतियों के क्षेत्रफल निकालने और उनकी तुलना करने का वही कौशल। उस प्रश्न में 10 इकाई चौड़ाई वाले आयत का क्षेत्रफल 5, 12 और 13 इकाई भुजाओं वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, और आयत का परिमाप पूछा गया है (RPSC की कुंजी: विकल्प (2), 26 इकाई); यहाँ एक ही वृत्त में अन्तर्निहित वर्ग और समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफलों का संबंध निकाला जाता है।
किसी वृत्त पर एकसमान दूरी पर आठ बिन्दु स्थित हैं । इन बिन्दुओं को शीर्ष लेकर समकोण त्रिभुज खींचे जाते हैं, जहाँ प्रत्येक त्रिभुज की एक भुजा वृत्त का व्यास है । ऐसे सभी सम्भव समकोण त्रिभुजों की संख्या है :
- (1) 8
- (2) 16
- (3) 20
- (4) 24
उत्तर(4)
वृत्त में अन्तर्निहित आकृतियों की वही ज्यामिति। वह प्रश्न किसी वृत्त पर एकसमान दूरी पर स्थित आठ बिन्दुओं से ऐसे समकोण त्रिभुज गिनता है जिनकी एक भुजा वृत्त का व्यास है (RPSC की कुंजी: विकल्प (4), 24); वह इस तथ्य पर टिका है कि व्यास वृत्त पर समकोण बनाता है, और यही तथ्य अन्तर्निहित वर्ग के विकर्ण को व्यास बनाता है।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
7 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में एक वर्ग अन्तर्निहित है । वर्ग का क्षेत्रफल क्या है ?
- (a)49 सेमी²
- (b)98 सेमी²
- (c)196 सेमी²
- (d)154 सेमी²
उत्तर(2) — विकर्ण व्यास है, 14 सेमी, और वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण² ÷ 2 = 196 ÷ 2 = 98 सेमी² है।विकल्प (1) r² है, विकल्प (3) वृत्त के चारों ओर बने 14 सेमी भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल है, और विकल्प (4) वृत्त का क्षेत्रफल है, (22/7) × 49।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
किसी वृत्त में अन्तर्निहित समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसी वृत्त के परिगत समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है ?
- (a)1 : 2
- (b)1 : 3
- (c)1 : 4
- (d)1 : √3
उत्तर(3) — अन्तर्निहित त्रिभुज की परित्रिज्या r है, इसलिए भुजा √3 r। परिगत त्रिभुज की अंतःत्रिज्या r है; समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या उसकी परित्रिज्या की आधी होती है, इसलिए उसकी परित्रिज्या 2r और भुजा 2√3 r है। भुजाओं का अनुपात 1 : 2 होने से क्षेत्रफलों का अनुपात 1 : 4 है।विकल्प (1) भुजाओं का अनुपात है; विकल्प (2) और (4) किसी भी अनुपात से मेल नहीं खाते।