400 लड़कों के एक समूह में हर लड़का क्रिकेट, हॉकी और फुटबॉल में से कम से कम एक खेल खेलता है । 185 क्रिकेट, 165 हॉकी और 160 फुटबॉल खेलते हैं । 40 लड़के केवल क्रिकेट और फुटबॉल खेलते हैं । 20 लड़के केवल हॉकी और क्रिकेट खेलते हैं । 10 लड़के केवल हॉकी और फुटबॉल खेलते हैं । कितने लड़के सभी तीनों खेल खेलते हैं ?

सही उत्तर — विकल्प (1), 20.

मान लें कि सभी तीनों खेल खेलने वाले लड़कों की संख्या x है।

चरण 1 — तीनों खेलों के योग जोड़ें।
185 + 165 + 160 = 510

चरण 2 — देखें कि 510 में हर लड़का कितनी बार गिना गया।
एक खेल: एक बार
ठीक दो खेल: दो बार
सभी तीनों खेल: तीन बार

चरण 3 — ठीक दो खेल खेलने वाले लड़के।
केवल क्रिकेट और फुटबॉल: 40
केवल हॉकी और क्रिकेट: 20
केवल हॉकी और फुटबॉल: 10
कुल: 70

चरण 4 — हर लड़का कम से कम एक खेल खेलता है, इसलिए
(एक खेल) + 70 + x = 400

चरण 5 — 510 का योग है
(एक खेल) + 2 × 70 + 3x = 510

चरण 6 — चरण 5 में से चरण 4 घटाएँ।
70 + 2x = 110
2x = 40
x = 20

चरण 7 — एक खेल वाले समूहों की जाँच करें।
केवल क्रिकेट: 185 − 40 − 20 − 20 = 105
केवल हॉकी: 165 − 20 − 10 − 20 = 115
केवल फुटबॉल: 160 − 40 − 10 − 20 = 90
105 + 115 + 90 + 70 + 20 = 400 ✓

याद रखने की बात: "केवल A और B" ठीक उन्हीं दो खेलों वाले लड़कों को गिनता है; सभी तीनों वाला समूह उससे बाहर है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (2)
  18 — विकल्प (2) गिनती को संतुलित नहीं करता। सम्मिलन 510 − (70 + 3x) + x = 440 − 2x है, और x = 18 से 404 आता है, 400 लड़कों से चार अधिक।

  हर दो-खेल सर्वनिष्ठ भाग में सभी तीनों खेल खेलने वाले लड़के भी शामिल हैं, और 3x वहीं से आता है। केवल x = 20 से 400 आता है।

• (3)
  15 — विकल्प (3) से 440 − 2 × 15 = 410 लड़के आते हैं, समूह से दस अधिक।

  यहाँ सर्वनिष्ठ भाग 40 + x, 20 + x और 10 + x हैं, क्योंकि "केवल" हर दिए गए आँकड़े से सभी तीनों खेल खेलने वालों को बाहर रखता है। इन सर्वनिष्ठ भागों के साथ केवल x = 20 से कुल 400 होता है।

• (4)
  10 — विकल्प (4) से 440 − 2 × 10 = 420 लड़के आते हैं, समूह से बीस अधिक।

  x = 10 पर केवल क्रिकेट 115, केवल हॉकी 125 और केवल फुटबॉल 100 होते। इनमें दो खेल वाले 70 और तीन खेल वाले 10 लड़के जोड़ने पर 420 आता है, 400 नहीं।

तीन समुच्चयों के लिए समावेशन–अपवर्जन सिद्धांत सम्मिलन का आकार देता है:
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

हर दो-समुच्चय सर्वनिष्ठ n(A ∩ B) में तीनों समुच्चयों के सदस्य भी शामिल हैं। "केवल A और B" उन्हें बाहर रखता है, इसलिए n(A ∩ B) = (केवल A और B) + (सभी तीनों)।

तीन परस्पर-व्यापी वृत्तों वाले वेन आरेख में वृत्तों के भीतर सात क्षेत्र होते हैं: केवल एक समुच्चय के तीन, ठीक दो समुच्चयों के तीन, और सभी तीनों का एक केंद्रीय क्षेत्र।

मुख्य तथ्य

• n(A ∪ B ∪ C) = तीनों योगों का जोड़ − तीनों दो-समुच्चय सर्वनिष्ठों का जोड़ + सभी तीनों वाला समूह।
• दो-समुच्चय सर्वनिष्ठ में सभी तीनों वाला समूह शामिल है: n(A ∩ B) = (केवल A और B) + (सभी तीनों)।
• यहाँ 510 − (70 + 3x) + x = 400, इसलिए x = 20।
• केवल क्रिकेट 105, केवल हॉकी 115, केवल फुटबॉल 90; ठीक दो खेल 70; सभी तीनों 20।
• तीन समुच्चयों वाले वेन आरेख में वृत्तों के भीतर सात क्षेत्र होते हैं।

सामान्य भ्रम

• "केवल क्रिकेट और फुटबॉल" को दोनों खेलने वाले सभी लड़के पढ़ना। यह सभी तीनों खेल खेलने वालों को बाहर रखता है; 40, 20 और 10 को पूरे सर्वनिष्ठ मानने पर 510 − 70 + x = 400 और x = −40 आता है, जो असंभव है।
• दो खेल वाले लड़कों को केवल एक बार घटाना। उनमें से हर एक दो खेलों के योग में आता है, इसलिए 510 में दो बार गिना गया है।
• एक खेल वाली जाँच में सभी तीनों वाले समूह को भूल जाना। केवल क्रिकेट = 185 − 40 − 20 − 20, जहाँ अंतिम 20 सभी तीनों वाला समूह है।

RAS प्री 2021 के मिलते-जुलते प्रश्न, उस प्रश्न-पत्र के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  60 विद्यार्थियों की एक कक्षा में प्रत्येक विद्यार्थी हिन्दी और अंग्रेज़ी में से कम से कम एक विषय पढ़ता है । 35 हिन्दी पढ़ते हैं और 30 अंग्रेज़ी पढ़ते हैं । कितने विद्यार्थी दोनों पढ़ते हैं ?

  • (a)5
  • (b)10
  • (c)25
  • (d)30
  उत्तर(1) — H = हिन्दी और E = अंग्रेज़ी लें: n(H ∪ E) = n(H) + n(E) − दोनों, यानी 60 = 35 + 30 − दोनों, इसलिए दोनों = 5।

  विकल्प (2) से 35 + 30 − 10 = 55 विद्यार्थी आते, विकल्प (3) केवल अंग्रेज़ी पढ़ने वालों की संख्या है (30 − 5), और विकल्प (4) केवल हिन्दी पढ़ने वालों की (35 − 5)।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  100 व्यक्तियों के एक समूह में प्रत्येक व्यक्ति हिन्दी, अंग्रेज़ी और राजस्थानी में से कम से कम एक भाषा बोलता है । 60 हिन्दी, 50 अंग्रेज़ी और 40 राजस्थानी बोलते हैं । 10 केवल हिन्दी और अंग्रेज़ी बोलते हैं, 8 केवल अंग्रेज़ी और राजस्थानी बोलते हैं, और 12 केवल हिन्दी और राजस्थानी बोलते हैं । कितने व्यक्ति सभी तीनों भाषाएँ बोलते हैं ?

  • (a)5
  • (b)10
  • (c)15
  • (d)20
  उत्तर(2) — योगों का जोड़ 150 है और ठीक दो भाषाएँ बोलने वाले 30 हैं। एक भाषा + 30 + x = 100 और एक भाषा + 60 + 3x = 150, इसलिए 30 + 2x = 50 और x = 10।

  सम्मिलन 150 − (30 + 3x) + x = 120 − 2x विकल्प (1), (3) और (4) के लिए 110, 90 और 80 देता है, 100 नहीं।