किसी वृत्त पर एकसमान दूरी पर आठ बिन्दु स्थित हैं । इन बिन्दुओं को शीर्ष लेकर समकोण त्रिभुज खींचे जाते हैं, जहाँ प्रत्येक त्रिभुज की एक भुजा वृत्त का व्यास है । ऐसे सभी सम्भव समकोण त्रिभुजों की संख्या है :

सही उत्तर — विकल्प (4), 24.

चरण 1 — व्यास गिनें।
एकसमान दूरी पर 8 बिन्दु: हर बिन्दु के ठीक सामने एक बिन्दु है।
आमने-सामने के बिन्दुओं के जोड़े: 8 ÷ 2 = 4 व्यास।

चरण 2 — थेल्स प्रमेय लगाएँ।
अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
इसलिए वृत्त पर कोई भी तीसरा बिन्दु, व्यास के दोनों सिरों से जोड़ने पर, उस बिन्दु पर समकोण बनाता है।

चरण 3 — एक व्यास के लिए तीसरे बिन्दु गिनें।
एक व्यास 8 में से 2 बिन्दु लेता है: 8 − 2 = 6 बिन्दु बचते हैं, और हर एक से एक समकोण त्रिभुज बनता है।

चरण 4 — गुणा करें।
4 व्यास × 6 तीसरे बिन्दु = 24।

दोहरी गिनती की जाँच: वृत्त में बने समकोण त्रिभुज की ठीक एक भुजा व्यास होती है (उसका कर्ण), इसलिए कोई त्रिभुज दो व्यासों के अंतर्गत नहीं गिना जाता।

याद रखने की बात: वृत्त में बना त्रिभुज ठीक तभी समकोण होता है जब उसकी एक भुजा व्यास हो।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  8 — 8 का अर्थ होगा हर व्यास पर केवल 2 समकोण त्रिभुज (4 × 2)। पर हर व्यास के लिए 6 बिन्दु बचते हैं, और थेल्स प्रमेय उनमें से हर एक पर समकोण देता है।

  वास्तव में 8 उन 24 में से समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों की संख्या है: हर व्यास के लिए, दोनों अर्धवृत्तों के ठीक बीच वाले दो बिन्दु 45°–45°–90° त्रिभुज देते हैं, और 4 × 2 = 8।

• (2)
  16 — 16 का अर्थ होगा हर व्यास पर केवल 4 समकोण त्रिभुज (4 × 4), यानी बचे 6 में से 2 बिन्दु छूट जाते हैं।

  16 उन समकोण त्रिभुजों की संख्या है जो समद्विबाहु नहीं हैं: हर व्यास के लिए, उसके सिरों के पास वाले चार बिन्दु 22.5°–67.5°–90° त्रिभुज देते हैं, और 4 × 4 = 16। इनमें 8 समद्विबाहु जोड़ने पर 24 होते हैं।

• (3)
  20 — 20 के लिए हर व्यास पर 5 समकोण त्रिभुज चाहिए (4 × 5), पर हर व्यास के लिए 6 बिन्दु बचते हैं, और सभी काम आते हैं।

  20 यहाँ कोई पूरी गिनती नहीं है: समकोण त्रिभुज 8 समद्विबाहु और 16 गैर-समद्विबाहु में बँटते हैं, कुल 24। संदर्भ के लिए, 20 = C(6, 3) है, यानी 6 बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज, जो एक अलग प्रश्न है।

थेल्स प्रमेय कहता है कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है। इसका विलोम भी सत्य है: यदि वृत्त में बना त्रिभुज समकोण है, तो उसका कर्ण व्यास है।

इसलिए वृत्त पर समकोण त्रिभुज व्यास गिनकर गिने जा सकते हैं। n एकसमान दूरी वाले बिन्दुओं में, n सम हो तो, n ÷ 2 व्यास होते हैं, और हर व्यास बाकी n − 2 बिन्दुओं के साथ जुड़ता है। गिनती (n ÷ 2) × (n − 2) है।

n विषम हो तो कोई बिन्दु किसी दूसरे के ठीक सामने नहीं होता, इसलिए कोई व्यास दो बिन्दुओं को नहीं जोड़ता और उन बिन्दुओं से कोई समकोण त्रिभुज नहीं बन सकता।

मुख्य तथ्य

• थेल्स प्रमेय: अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
• विलोम: वृत्त में बने समकोण त्रिभुज का कर्ण व्यास होता है।
• वृत्त पर n एकसमान दूरी वाले बिन्दु (n सम) n ÷ 2 व्यास देते हैं; हर व्यास n − 2 तीसरे बिन्दुओं के साथ जुड़ता है।
• 8 एकसमान दूरी वाले बिन्दुओं से समकोण त्रिभुज: 4 × 6 = 24, जिनमें 8 समद्विबाहु हैं और 16 नहीं।
• ऐसे 8 बिन्दुओं से बनने वाले C(8, 3) = 56 त्रिभुजों में 24 समकोण हैं और 32 नहीं।

सामान्य भ्रम

• व्यास जोड़ों के रूप में गिनें: 8 बिन्दु 4 व्यास देते हैं, 8 नहीं। हर सिरे को अलग व्यास गिनने से उत्तर दोगुना होकर 48 हो जाता है।
• बचा हर बिन्दु काम आता है, व्यास के सिरों के पास वाले भी। उनसे बने त्रिभुज पतले होते हैं, पर फिर भी समकोण होते हैं।
• समकोण तीसरे बिन्दु पर बनता है, व्यास के सिरों पर नहीं। व्यास हमेशा कर्ण होता है।

RAS प्री 2023 और 2021 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  किसी वृत्त पर एकसमान दूरी पर बारह बिन्दु स्थित हैं। इन बिन्दुओं को शीर्ष लेकर कितने समकोण त्रिभुज खींचे जा सकते हैं?

  • (a)30
  • (b)60
  • (c)66
  • (d)120
  उत्तर(2) — 12 ÷ 2 = 6 व्यास; हर व्यास के लिए 12 − 2 = 10 तीसरे बिन्दु बचते हैं; 6 × 10 = 60। विकल्प (1), 30, हर व्यास पर केवल 5 तीसरे बिन्दु लेता है; विकल्प (3), 66, C(12, 2) है, यानी जीवाओं की संख्या; विकल्प (4), 120, हर व्यास को दो बार गिनता है (12 × 10)।
• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  किसी वृत्त पर एकसमान दूरी पर छह बिन्दु स्थित हैं। इन बिन्दुओं को शीर्ष लेकर बनने वाले कितने त्रिभुज समकोण नहीं हैं?

  • (a)8
  • (b)12
  • (c)14
  • (d)20
  उत्तर(1) — सभी त्रिभुज: C(6, 3) = 20। समकोण त्रिभुज: 3 व्यास × 4 तीसरे बिन्दु = 12। जो समकोण नहीं हैं: 20 − 12 = 8 (2 समबाहु त्रिभुज और तीन पास-पास के बिन्दुओं से बने 6 त्रिभुज)। विकल्प (2), 12, समकोण त्रिभुजों की संख्या है; विकल्प (4), 20, कुल संख्या है; विकल्प (3), 14, किसी से मेल नहीं खाता।