एक त्रिभुज की भुजाएँ 5, 12 और 13 इकाई हैं । एक आयत बनाया गया है, जिसका क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है । इसकी चौड़ाई 10 इकाई है, इस आयत का परिमाप है :

सही उत्तर — विकल्प (2), 26 इकाई.

चरण 1 — सबसे लंबी भुजा लेकर जाँचें कि त्रिभुज समकोण है या नहीं।
5² + 12² = 25 + 144 = 169
13² = 169
दोनों बराबर हैं, इसलिए 5 और 12 वाली भुजाओं के बीच का कोण समकोण है।

चरण 2 — दो छोटी भुजाओं को आधार और ऊँचाई लेकर त्रिभुज का क्षेत्रफल।
क्षेत्रफल = ½ × 5 × 12 = 30 वर्ग इकाई

चरण 3 — आयत का क्षेत्रफल वही है और चौड़ाई 10 है।
दूसरी भुजा = 30 ÷ 10 = 3 इकाई

चरण 4 — आयत का परिमाप।
परिमाप = 2 × (10 + 3) = 26 इकाई

हीरोन के सूत्र से जाँच, जिसके लिए समकोण की ज़रूरत नहीं:
s = (5 + 12 + 13) ÷ 2 = 15
क्षेत्रफल = √(15 × 10 × 3 × 2) = √900 = 30 वर्ग इकाई

याद रखने की बात: 5, 12, 13 एक पाइथागोरस त्रिक है, इसलिए 5 और 12 वाली भुजाएँ आधार और ऊँचाई हैं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  30 इकाई — 30 त्रिभुज की संख्या है, आयत की नहीं। यह त्रिभुज का क्षेत्रफल (30 वर्ग इकाई) भी है और त्रिभुज का परिमाप (5 + 12 + 13 = 30 इकाई) भी।

  प्रश्न आयत का परिमाप पूछता है। भुजाएँ 10 और 3 होने पर यह 2 × 13 = 26 इकाई है।

• (3)
  13 इकाई — 13 लंबाई + चौड़ाई है, 10 + 3, जो आयत के परिमाप का आधा है। परिमाप चारों भुजाओं के चारों ओर चलता है, इसलिए योग दोगुना होता है: 26 इकाई।

  13 प्रश्न में त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के रूप में भी आता है, जिसका आयत के परिमाप में कोई योगदान नहीं है।

• (4)
  40 इकाई — एक भुजा 10 हो और परिमाप 40, तो दूसरी भुजा भी 10 होनी चाहिए। यह 10 × 10 का वर्ग है, जिसका क्षेत्रफल 100 वर्ग इकाई है।

  त्रिभुज का क्षेत्रफल 30 वर्ग इकाई है, इसलिए आयत की दूसरी भुजा 3 है, 10 नहीं, और परिमाप 26 इकाई है।

पाइथागोरस प्रमेय का विलोम: यदि त्रिभुज की भुजाएँ a² + b² = c² को संतुष्ट करें, तो c के सामने का कोण समकोण है। ऐसे पूर्णांक समूह पाइथागोरस त्रिक कहलाते हैं, जैसे 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 और 7-24-25।

समकोण त्रिभुज में दो छोटी भुजाएँ एक-दूसरे पर लंब होती हैं, इसलिए क्षेत्रफल = ½ × एक भुजा × दूसरी भुजा।

भुजाओं a, b, c वाले किसी भी त्रिभुज के लिए हीरोन का सूत्र क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] देता है, जहाँ s परिमाप का आधा है।

आयत का क्षेत्रफल लंबाई × चौड़ाई है, और उसका परिमाप 2 × (लंबाई + चौड़ाई)।

मुख्य तथ्य

• यदि त्रिभुज की भुजाओं के लिए a² + b² = c² हो, तो भुजा c के सामने का कोण समकोण है।
• पाइथागोरस त्रिकों में 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 और 7-24-25 हैं; 6-8-10 जैसे गुणज भी a² + b² = c² को संतुष्ट करते हैं।
• समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × दो लंब भुजाओं का गुणनफल; 5-12-13 के लिए यह 30 वर्ग इकाई है।
• हीरोन का सूत्र: क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)], जहाँ s = (a + b + c) ÷ 2।
• आयत: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई और परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई); बराबर क्षेत्रफलों के परिमाप अलग हो सकते हैं।

सामान्य भ्रम

• ½ भूलकर क्षेत्रफल 5 × 12 = 60 ले लेना। इससे दूसरी भुजा 6 और परिमाप 32 आता है, जो किसी विकल्प में नहीं है।
• लंबाई + चौड़ाई = 13 पर रुक जाना, जो परिमाप का आधा है।
• सबसे लंबी भुजा, 13, को आधार या ऊँचाई ले लेना। यह कर्ण है और बाकी दोनों में से किसी भुजा पर लंब नहीं है।

RAS प्री 2023 के मिलते-जुलते प्रश्न, उस प्रश्न-पत्र के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक त्रिभुज की भुजाएँ 8 सेमी, 15 सेमी और 17 सेमी हैं। 12 सेमी लंबाई वाले एक आयत का क्षेत्रफल त्रिभुज के बराबर है। आयत का परिमाप है

  • (a)40 सेमी
  • (b)34 सेमी
  • (c)17 सेमी
  • (d)60 सेमी
  उत्तर(2) — 8² + 15² = 289 = 17², इसलिए क्षेत्रफल = ½ × 8 × 15 = 60 वर्ग सेमी; चौड़ाई = 60 ÷ 12 = 5 सेमी; परिमाप = 2 × (12 + 5) = 34 सेमी।

  विकल्प (1) त्रिभुज का परिमाप है; विकल्प (3) आयत के परिमाप का आधा है; विकल्प (4) क्षेत्रफल है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है

  • (a)84 वर्ग सेमी
  • (b)91 वर्ग सेमी
  • (c)42 वर्ग सेमी
  • (d)105 वर्ग सेमी
  उत्तर(1) — s = 21, इसलिए क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 वर्ग सेमी।

  त्रिभुज समकोण नहीं है (13² + 14² ≠ 15²), इसलिए विकल्प (2) और (4), जो ½ × 13 × 14 और ½ × 14 × 15 लेते हैं, गलत हैं; विकल्प (3) क्षेत्रफल का आधा है।