निम्न अनुक्रम का अगला पद है : A^(3/2) B_(2), C^(9/2) F_(18), E^(15/2) J_(50), G^(21/2) N_(98), ?

सही उत्तर — विकल्प (3), I^(27/2) R_(162).

पुस्तिका में हर पहले अक्षर के साथ ऊपर एक संख्या और हर दूसरे अक्षर के साथ नीचे एक संख्या छपी है; यहाँ उन्हें ^( ) और _( ) के रूप में दिखाया गया है। हर पद के चार भाग हैं, और हर भाग का अपना नियम है।

चरण 1 — पहले अक्षर।
A, C, E, G = स्थान 1, 3, 5, 7, हर बार 2 बढ़ते हुए
अगला: स्थान 9 = I

चरण 2 — दूसरे अक्षर।
B, F, J, N = स्थान 2, 6, 10, 14, हर बार 4 बढ़ते हुए
अगला: स्थान 18 = R

चरण 3 — ऊपर लिखी संख्याएँ।
3/2, 9/2, 15/2, 21/2, हर बार 6/2 = 3 बढ़ती हुई
अगली: 21/2 + 6/2 = 27/2

चरण 4 — नीचे लिखी संख्याएँ।
2, 18, 50, 98: अंतर 16, 32, 48, हर बार 16 बढ़ते हुए
अगला अंतर 64: 98 + 64 = 162

अगला पद: I^(27/2) R_(162)

पहले अक्षर के स्थान n = 1, 3, 5, 7, 9 से जाँच: दूसरा अक्षर = 2n, ऊपर की संख्या = 3n/2, नीचे की संख्या = 2n²। n = 9 के लिए: R (18), 27/2 और 2 × 81 = 162।

याद रखने की बात: अक्षर–संख्या मिश्रित अनुक्रम में हर पद को उसके भागों में बाँटें और हर भाग का नियम अलग से खोजें।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  H^(29/2) S_(172) — विकल्प (1) चारों भागों में चूकता है। H स्थान 8 है, पर पहले अक्षर 2 के कदम से G (7) से I (9) तक जाते हैं। S स्थान 19 है, जो उस 4 के कदम से हटकर है जो N (14) को R (18) तक ले जाता है।

  ऊपर की संख्याएँ 3 से बढ़ती हैं, इसलिए 21/2 के बाद 27/2 आता है, 29/2 नहीं। नीचे की संख्याओं के अंतर 16, 32, 48 के बाद 64 आता है, जिससे 172 नहीं, 162 मिलता है।

• (2)
  H^(27/2) R_(182) — विकल्प (2) में दूसरा अक्षर R और ऊपर की संख्या 27/2 सही हैं, पर बाकी दो भाग गलत हैं।

  पहले अक्षर 2 के कदम से G (7) से I (9) तक जाते हैं, H (8) तक नहीं। नीचे की संख्याएँ 2, 18, 50, 98 क्रमशः 2 × 1², 2 × 3², 2 × 5², 2 × 7² हैं, इसलिए अगली 2 × 9² = 162 है, 182 नहीं।

• (4)
  I^(29/2) R_(172) — विकल्प (4) में दोनों अक्षर, I और R, सही हैं, पर दोनों संख्याएँ गलत हैं।

  ऊपर की संख्याएँ हर बार ठीक 3 बढ़ती हैं: 3/2, 9/2, 15/2, 21/2, 27/2; 29/2 तक पहुँचने के लिए 4 का कदम चाहिए। नीचे की संख्याओं के अंतर 16, 32, 48, 64 से 98 + 64 = 162 मिलता है, 172 नहीं।

अक्षर अनुक्रम वर्णमाला के स्थानों पर चलता है, A = 1 से Z = 26 तक। कदम आगे या पीछे जा सकते हैं, स्थिर रह सकते हैं या बढ़ सकते हैं।

संख्या अनुक्रम किसी निश्चित अंतर से बढ़ सकता है, ऐसे अंतरों से जो स्वयं किसी पैटर्न पर चलते हों, या n² या n³ जैसे किसी सूत्र से।

जब हर पद के कई भाग हों, तो हर भाग का अपना नियम हो सकता है। सभी भाग एक ही गिनती पर भी टिके हो सकते हैं: यहाँ चारों भाग पहले अक्षर के स्थान 1, 3, 5, 7, 9 पर निर्भर हैं।

मुख्य तथ्य

• वर्णमाला में स्थान: A = 1, E = 5, J = 10, O = 15, T = 20, Y = 25, Z = 26।
• पहले अक्षर A, C, E, G, I 2 के कदम से बढ़ते हैं; दूसरे अक्षर B, F, J, N, R 4 के कदम से।
• ऊपर लिखी संख्याएँ 3/2, 9/2, 15/2, 21/2, 27/2 हर बार 3 बढ़ती हैं।
• नीचे लिखी संख्याएँ 2, 18, 50, 98, 162 क्रमशः 2 × 1², 2 × 3², 2 × 5², 2 × 7², 2 × 9² हैं।
• किसी संख्या अनुक्रम में स्थिर दूसरे अंतर द्विघात नियम की ओर संकेत करते हैं; यहाँ दूसरा अंतर 16 है।

सामान्य भ्रम

• पहले अक्षर को 1 का कदम देकर H पर ले जाना। पहले अक्षर हर बार एक अक्षर छोड़ते हैं, A, C, E, G, इसलिए अगला I है।
• ऊपर की संख्या को 4 का कदम देना। अंश 3, 9, 15, 21 हर बार 6 बढ़ते हैं, इसलिए हर ऊपर की संख्या 3 बढ़ती है और अगली 27/2 है; 4 का कदम विकल्प (1) और (4) वाला 29/2 देता है।
• नीचे की संख्याओं के अंतर को स्थिर मान लेना। अंतर 16, 32, 48 स्वयं 16 से बढ़ते हैं, इसलिए अगला 64 है; 48 को दोहराने पर 146 आता।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  निम्न अनुक्रम का अगला पद है : 1A1, 3C9, 5E25, 7G49, ?

  • (a)9I81
  • (b)9H81
  • (c)8I64
  • (d)9I72
  उत्तर(1) — पहली संख्या 2 से बढ़ती है (1, 3, 5, 7, 9); अक्षर उसी स्थान पर है (A = 1, C = 3, E = 5, G = 7, I = 9); अंतिम संख्या पहली संख्या का वर्ग है (81)।

  विकल्प (2) स्थान 9 पर H (8) रखता है, विकल्प (3) पहली संख्या को 1 का कदम देता है, और विकल्प (4) 72 देता है, जो 9² नहीं है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  निम्न अनुक्रम का अगला पद है : AZ, CX, EV, GT, ?

  • (a)HS
  • (b)IR
  • (c)IS
  • (d)JQ
  उत्तर(2) — पहले अक्षर 2 आगे बढ़ते हैं (A, C, E, G, I) और दूसरे अक्षर 2 पीछे जाते हैं (Z, X, V, T, R)।

  विकल्प (1) हर अक्षर को 1 से खिसकाता है, विकल्प (3) दूसरे अक्षर को केवल 1 पीछे ले जाता है, और विकल्प (4) दोनों अक्षरों को 3 से खिसकाता है।