निम्न श्रेणी का अगला पद है : 2, 12, 36, 80, 150, ?

सही उत्तर — विकल्प (2), 252.

विधि 1 — स्थान n के आधार पर नियम खोजें।
n = 1: 1² × 2 = 1 × 2 = 2
n = 2: 2² × 3 = 4 × 3 = 12
n = 3: 3² × 4 = 9 × 4 = 36

n = 4: 4² × 5 = 16 × 5 = 80
n = 5: 5² × 6 = 25 × 6 = 150
n = 6: 6² × 7 = 36 × 7 = 252

n-वाँ पद n² × (n + 1) है, जो n³ + n² के बराबर है।

विधि 2 — अंतरों से जाँचें।
पहले अंतर: 10, 24, 44, 70
दूसरे अंतर: 14, 20, 26
तीसरे अंतर: 6, 6 (अचर)

अगला दूसरा अंतर: 26 + 6 = 32
अगला पहला अंतर: 70 + 32 = 102
अगला पद: 150 + 102 = 252

दोनों विधियाँ 252 देती हैं।

याद रखने की बात: जब तीसरे अंतर अचर हों, तो पद त्रिघाती नियम पर चलते हैं — यहाँ n³ + n²।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  210 — 210 से अगला अंतर 210 − 150 = 60 होगा, जो पिछले 70 से कम है। यहाँ अंतर हर चरण पर बढ़ते हैं (10, 24, 44, 70), इसलिए 60 पर गिरना पैटर्न को तोड़ देता है।

  210 = 5 × 6 × 7 है, यानी तीन लगातार संख्याओं का गुणनफल। वह नियम, n(n + 1)(n + 2), n = 1 पर 6 देता है, 2 नहीं, इसलिए इस श्रेणी पर लागू नहीं होता।

• (3)
  258 — 258 सही पद से 6 अधिक है। अंतरों से जाँचें: पहला अंतर: 258 − 150 = 108 दूसरा अंतर: 108 − 70 = 38 तीसरा अंतर: 38 − 26 = 12

  अब तक के तीसरे अंतर 6 और 6 हैं, इसलिए 12 पैटर्न को तोड़ देता है। नियम n² × (n + 1) देता है 36 × 7 = 252।

• (4)
  270 — 270 अंतरों की जाँच में विफल होता है: पहला अंतर: 270 − 150 = 120 दूसरा अंतर: 120 − 70 = 50 तीसरा अंतर: 50 − 26 = 24

  तीसरा अंतर अचर 6 होना चाहिए। नियम से छठा पद 6³ + 6² = 216 + 36 = 252 है, 270 नहीं।

संख्या श्रेणी दो तरीकों से हल की जा सकती है: स्थान n के आधार पर नियम खोजकर, या अंतर सारणी बनाकर।

अंतर सारणी में हर पद को अगले पद से घटाया जाता है, फिर यही अंतरों पर दोहराया जाता है। यदि k-वें अंतर अचर हों, तो पद k घात के बहुपद पर बैठते हैं। अचर पहले अंतर रैखिक नियम, अचर दूसरे अंतर द्विघाती, और अचर तीसरे अंतर त्रिघाती नियम बताते हैं।

जिस त्रिघाती का प्रमुख पद n³ हो, उसका अचर तीसरा अंतर 6 होता है। यह एक त्वरित जाँच है कि यहाँ n³ + n² सही परिवार है।

मुख्य तथ्य

• 2, 12, 36, 80, 150 का n-वाँ पद n² × (n + 1) = n³ + n² है, इसलिए छठा पद 36 × 7 = 252 है।
• घन 1, 8, 27, 64, 125, 216 में वर्ग 1, 4, 9, 16, 25, 36 जोड़ने पर 2, 12, 36, 80, 150, 252 मिलते हैं।
• अंतर: 10, 24, 44, 70, 102; दूसरे अंतर: 14, 20, 26, 32; तीसरे अंतर: अचर 6।
• यदि किसी अनुक्रम के k-वें अंतर अचर हों, तो उसके पद k घात के बहुपद पर बैठते हैं।
• जिस त्रिघाती का प्रमुख पद n³ हो, उसका अचर तीसरा अंतर 6 होता है।

सामान्य भ्रम

• नियम हर दिए गए पद पर लागू होना चाहिए। 2 से 12 "× 6" भी हो सकता है और "+ 10" भी, पर दोनों में से कोई 36 तक नहीं पहुँचता।
• यहाँ अंतरों का एक स्तर पर्याप्त नहीं है। पहले और दूसरे अंतर बदलते रहते हैं; केवल तीसरे अंतर अचर हैं।
• सुघड़ दिखने वाला गुणनफल नियम नहीं है। 210 = 5 × 6 × 7, पर n(n + 1)(n + 2) n = 1 पर 6 देता है, 2 नहीं।

RAS प्री 2023 और 2016 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  निम्न श्रेणी का अगला पद है : 0, 6, 24, 60, 120, ?

  • (a)180
  • (b)196
  • (c)210
  • (d)216
  उत्तर(3) — n-वाँ पद n³ − n है: 1 − 1 = 0, 8 − 2 = 6, 27 − 3 = 24, 64 − 4 = 60, 125 − 5 = 120, इसलिए अगला पद 216 − 6 = 210 है।

  जाँच: अंतर 6, 18, 36, 60 और अगला 90; 120 + 90 = 210। विकल्प (1), 180, अंतर को फिर 60 बना देता है; विकल्प (2), 196, 14² है और यहाँ किसी नियम पर नहीं बैठता; विकल्प (4), 216, 6³ है, 6 घटाए बिना।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  निम्न श्रेणी का अगला पद है : 3, 10, 29, 66, 127, ?

  • (a)216
  • (b)218
  • (c)220
  • (d)225
  उत्तर(2) — n-वाँ पद n³ + 2 है: 1 + 2 = 3, 8 + 2 = 10, 27 + 2 = 29, 64 + 2 = 66, 125 + 2 = 127, इसलिए अगला पद 216 + 2 = 218 है।

  विकल्प (1), 216, + 2 भूल जाता है; विकल्प (3) और (4) अचर तीसरे अंतर 6 को तोड़ देते हैं।