एक पाँसे को तीन बार फैंका जाता है। प्रत्येक बार पूर्व प्राप्त संख्या से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है –

सही उत्तर — विकल्प (4), 5/54.

चरण 1 — सभी परिणाम गिनें।
हर बार पाँसे पर 1 से 6 तक कोई संख्या आती है।
6 × 6 × 6 = 216 समसंभाव्य परिणाम

चरण 2 — अनुकूल परिणाम गिनें।
"प्रत्येक बार पूर्व प्राप्त संख्या से बड़ी संख्या" का अर्थ है पहली < दूसरी < तीसरी।
1 से 6 तक की कोई भी 3 भिन्न संख्याएँ बढ़ते क्रम में ठीक एक ही तरह से आ सकती हैं।
अनुकूल = C(6, 3) = (6 × 5 × 4) ÷ (3 × 2 × 1) = 20

चरण 3 — भाग दें।
P = 20 ÷ 216 = 5/54

पहली संख्या के अनुसार सूची बनाकर जाँच:
पहली बार 1: 2–6 में से 2 चुनें, C(5, 2) = 10
पहली बार 2: 3–6 में से 2 चुनें, C(4, 2) = 6
पहली बार 3: 4–6 में से 2 चुनें, C(3, 2) = 3
पहली बार 4: केवल 4, 5, 6 = 1
कुल = 10 + 6 + 3 + 1 = 20

याद रखने की बात: बढ़ता हुआ परिणाम केवल इससे तय होता है कि कौन-सी संख्याएँ आईं, इसलिए चयन C(6, 3) गिनें, विन्यास नहीं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  5/72 — 5/72 = 15/216, यानी इसका अर्थ होता 15 अनुकूल परिणाम। पर बढ़ते क्रम वाले परिणाम 20 हैं, 6 में से 3 भिन्न संख्याओं के हर चयन के लिए एक।

  15 तो C(6, 2) है — पाँसे को दो बार फेंकने पर 36 में से बढ़ते क्रम वाले जोड़ों की संख्या। तीसरी बार फेंकने से अनुकूल गिनती और कुल दोनों बदल जाते हैं।

• (2)
  1/18 — 1/18 = 12/216, यानी इसका अर्थ होता 12 अनुकूल परिणाम।

  यह बहुत कम है: 1 या 2 से शुरू होने वाले बढ़ते परिणाम ही 10 + 6 = 16 हैं। 3 और 4 से शुरू होने वाले जोड़ने पर 20 होते हैं, इसलिए प्रायिकता 20/216 = 5/54 है।

• (3)
  13/216 — 13/216 में कुल 216 सही है, पर अनुकूल परिणाम 20 के बजाय 13 हैं।

  तीन भिन्न संख्याओं वाले 120 परिणाम समान संख्याओं के 3! = 6 क्रमों वाले समूहों में बँटते हैं, और हर समूह में ठीक एक क्रम बढ़ता हुआ है: 120 ÷ 6 = 20।

जब सभी परिणाम समसंभाव्य हों, तो प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम। पाँसे को n बार फेंकने पर 6ⁿ परिणाम होते हैं।

पूर्णतः बढ़ता हुआ क्रम इससे तय होता है कि कौन-सी संख्याएँ आईं: 3 भिन्न संख्याएँ चुन लेने के बाद बढ़ता हुआ क्रम केवल एक है। इसलिए गिनती C(6, 3) = 20 है।

बराबर संख्याओं की छूट देने पर गिनती बदल जाती है। जिन क्रमों में हर संख्या पिछली संख्या के कम से कम बराबर हो, वे C(8, 3) = 56 हैं — पुनरावृत्ति की छूट के साथ 6 में से 3 संख्याओं का चयन।

इसी तर्क से पूर्णतः घटते क्रम वाले परिणाम भी 20 हैं।

मुख्य तथ्य

• पाँसे को तीन बार फेंकने पर 6³ = 216 समसंभाव्य परिणाम होते हैं।
• तीन भिन्न संख्याओं वाले परिणाम: 6 × 5 × 4 = 120।
• तीन भिन्न संख्याओं का हर समूह 3! = 6 क्रमों में आता है, जिनमें ठीक एक बढ़ता हुआ है: 120 ÷ 6 = 20।
• P(प्रत्येक बार पूर्व संख्या से बड़ी संख्या) = 20/216 = 5/54।
• यदि हर संख्या को पिछली संख्या के केवल कम से कम बराबर होना हो, तो C(8, 3) = 56 परिणाम होते हैं, प्रायिकता 7/27।

सामान्य भ्रम

• विन्यास गिनना। 6 × 5 × 4 = 120 तीन भिन्न संख्याओं के हर क्रम को गिनता है; 6 में से केवल 1 क्रम बढ़ता हुआ है।
• बराबर संख्याओं की छूट देना। "पूर्व प्राप्त संख्या से बड़ी" बराबर संख्याओं को बाहर रखता है; "कम से कम बराबर" होने पर 56 परिणाम आते।
• हर चरण की प्रायिकताएँ गुणा करना। P(दूसरी > पहली) = 15/36 है, पर तीसरी के दूसरी से बड़ी होने की प्रायिकता दूसरी संख्या पर निर्भर है, इसलिए (15/36)² से उत्तर नहीं मिलता।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक पाँसे को दो बार फेंका जाता है। दूसरी संख्या के पहली संख्या से बड़ी होने की प्रायिकता क्या है?

  • (a)5/12
  • (b)1/2
  • (c)1/6
  • (d)7/12
  उत्तर(1) — 36 परिणामों में से C(6, 2) = 15 में दूसरी संख्या बड़ी है: 15/36 = 5/12।

  विकल्प (2) बराबर संख्याओं वाले 6 परिणामों को छोड़ देता है; विकल्प (3) दोनों संख्याओं के बराबर होने की प्रायिकता है; विकल्प (4) दूसरी संख्या के बड़ी या बराबर होने को गिनता है, 21/36।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक पाँसे को तीन बार फेंका जाता है। तीनों संख्याओं के भिन्न होने की प्रायिकता क्या है?

  • (a)5/9
  • (b)5/54
  • (c)1/2
  • (d)4/9
  उत्तर(1) — तीन भिन्न संख्याओं वाले परिणाम: 6 × 5 × 4 = 120, इसलिए P = 120/216 = 5/9।

  विकल्प (2) केवल बढ़ते क्रम को गिनता है; विकल्प (3) के लिए ऐसे 108 परिणाम चाहिए होते; विकल्प (4) कम से कम दो संख्याओं के बराबर होने की प्रायिकता है।