दो पासों को एक साथ फेंकने पर प्राप्त होने वाली संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता है :

सही उत्तर — विकल्प (3), 5/12.

चरण 1 — सभी परिणाम गिनें। हर पासा 1 से 6 दिखाता है, इसलिए दो पासे 6 × 6 = 36 समसंभाव्य क्रमित युग्म देते हैं।

चरण 2 — अभाज्य योगों की सूची बनाएँ। योग 2 से 12 तक होते हैं, और उनमें अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 और 11 हैं।

चरण 3 — हर अभाज्य योग के युग्म गिनें।
योग 2: (1, 1) → 1
योग 3: (1, 2), (2, 1) → 2
योग 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) → 4

योग 7: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3) → 6
योग 11: (5, 6), (6, 5) → 2

चरण 4 — जोड़ें और भाग दें।
अनुकूल युग्म = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15
प्रायिकता = 15/36 = 5/12

याद रखने की बात: दो पासों में क्रमित युग्म गिनें; 36 में (1, 2) और (2, 1) दो अलग परिणाम हैं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  1/2 — 1/2 = 18/36 विषम योग की प्रायिकता है: योग 3, 5, 7, 9 और 11, 2 + 4 + 6 + 4 + 2 = 18 युग्मों से आते हैं।

  विषम और अभाज्य एक नहीं हैं। विषम योग 9 (= 3 × 3) अभाज्य नहीं है, और सम योग 2 अभाज्य है। 9 के 4 युग्म हटाकर 2 का 1 युग्म जोड़ने पर 15 युग्म, यानी 5/12 मिलता है।

• (2)
  1/3 — 1/3 = 12/36 इस बात की प्रायिकता है कि योग 3 का गुणज हो: योग 3, 6, 9 और 12, 2 + 5 + 4 + 1 = 12 युग्मों से आते हैं।

  अभाज्य योग 15 युग्मों से आते हैं, इसलिए पूछी गई प्रायिकता 15/36 = 5/12 है।

• (4)
  7/12 — 7/12 = 21/36 इस बात की प्रायिकता है कि योग अभाज्य न हो, यानी पूछी गई घटना की पूरक।

  योग 4, 6, 8, 9, 10 और 12, 3 + 5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 21 युग्मों से आते हैं, और 21 + 15 = 36। अभाज्य योग की प्रायिकता 1 − 7/12 = 5/12 है।

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा: जब सभी परिणाम समसंभाव्य हों, तो किसी घटना की प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम।

दो पासों के समसंभाव्य परिणाम 36 क्रमित युग्म हैं, 11 संभव योग नहीं। योग s देने वाले युग्मों की संख्या 6 − |s − 7| है, इसलिए योग 7 के 6 युग्म हैं जबकि योग 2 और 12 का 1-1।

पूरक नियम, P(A नहीं) = 1 − P(A), किसी घटना को उसकी उलटी घटना से जोड़ता है: अभाज्य योग की प्रायिकता 5/12 है, और अभाज्य न होने वाले योग की 7/12।

अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं, 1 और वह स्वयं, इसलिए 2 अभाज्य है और 1 नहीं।

मुख्य तथ्य

• दो पासों के 6 × 6 = 36 समसंभाव्य क्रमित परिणाम होते हैं, जिनके योग 2 से 12 तक होते हैं।
• दो पासों से योग s पाने के तरीकों की संख्या 6 − |s − 7| है; योग 7 के 6 तरीके हैं, योग 2 और 12 का 1-1।
• 12 तक की अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 और 11 हैं; 1 अभाज्य संख्या नहीं है।
• जब हर परिणाम समसंभाव्य हो, तो शास्त्रीय प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम।
• P(A नहीं) = 1 − P(A); दो पासों में P(योग अभाज्य नहीं) = 1 − 5/12 = 7/12।

सामान्य भ्रम

• अक्रमित युग्म गिनना, जिससे (1, 2) और (2, 1) एक ही परिणाम बन जाते हैं। कुल 36 क्रमित युग्म गिनता है, इसलिए अनुकूल परिणाम भी क्रमित होने चाहिए।
• 2 को सम होने के कारण छोड़ देना, या 9 को विषम होने के कारण ले लेना। 2 अभाज्य है; 9 = 3 × 3 नहीं है।
• 11 संभव योगों को समसंभाव्य मान लेना। योग 7 छह युग्मों से आता है और योग 2 एक से, इसलिए योगों की गिनती प्रायिकता नहीं देती।

RAS प्री 2023 और 2021 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग होने की प्रायिकता क्या है?

  • (a)7/36
  • (b)1/12
  • (c)1/9
  • (d)2/11
  उत्तर(1) — संभव वर्ग योग 4 (3 युग्म) और 9 (4 युग्म) हैं, इसलिए 7/36। विकल्प (2) केवल योग 4 गिनता है; विकल्प (3) केवल योग 9 गिनता है; विकल्प (4) 11 संभव योगों को समसंभाव्य मान लेता है।
• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। संख्याओं का योग 9 से अधिक होने की प्रायिकता क्या है?

  • (a)1/6
  • (b)1/12
  • (c)5/36
  • (d)3/11
  उत्तर(1) — योग 10, 11 और 12, 3 + 2 + 1 = 6 युग्मों से आते हैं, इसलिए 6/36 = 1/6। विकल्प (2) केवल योग 10 गिनता है; विकल्प (3) योग 12 छोड़ देता है; विकल्प (4) 11 संभव योगों को समसंभाव्य मान लेता है।