किसी धन के 5% वार्षिक दर से तीन वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज तथा साधारण ब्याज का अन्तर 183 ₹ है, तो मूलधन है –
- (1)24,000 ₹
- (2)8,000 ₹
- (3)18,000 ₹
- (4)21,000 ₹
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (1), 24,000 ₹.
यहाँ CI = चक्रवृद्धि ब्याज, SI = साधारण ब्याज, P = मूलधन, और r = दर दशमलव रूप में।
चरण 1 — 3 वर्ष के लिए CI − SI लिखें।
CI = P[(1 + r)³ − 1] = P(3r + 3r² + r³)
SI = P × 3r
CI − SI = P(3r² + r³) = P × r² × (3 + r)
चरण 2 — r = 5% = 0.05 रखें।
r² = 0.0025
3 + r = 3.05
r² × (3 + r) = 0.0025 × 3.05 = 0.007625
चरण 3 — P निकालें।
P × 0.007625 = 183
P = 183 ÷ 0.007625 = 24,000 ₹
भिन्नों में: r = 1/20, इसलिए r²(3 + r) = (1/400) × (61/20) = 61/8,000, और 183 × 8,000 ÷ 61 = 3 × 8,000 = 24,000।
P = 24,000 ₹ से जाँच:
मिश्रधन = 24,000 × 1.05³ = 24,000 × 1.157625 = 27,783 ₹
CI = 27,783 − 24,000 = 3,783 ₹
SI = 24,000 × 5 × 3 ÷ 100 = 3,600 ₹
CI − SI = 183 ₹
याद रखने की बात: 3 वर्ष के लिए CI − SI = P × r² × (3 + r); 2 वर्ष के लिए यह P × r² है।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (2)8,000 ₹ — 8,000 ₹ पर 5% की दर से 3 वर्ष में CI = 1,261 ₹ और SI = 1,200 ₹, इसलिए अन्तर 61 ₹ है।
अन्तर मूलधन के समानुपाती है। 183 ₹, 61 ₹ का तीन गुना है, इसलिए इसके लिए 8,000 ₹ का तीन गुना, यानी 24,000 ₹, चाहिए।
- (3)18,000 ₹ — 18,000 ₹ पर 5% की दर से 3 वर्ष में CI = 2,837.25 ₹ और SI = 2,700 ₹, इसलिए अन्तर 137.25 ₹ है, 183 ₹ नहीं।
यहाँ मूलधन का हर एक रुपया अन्तर में 0.007625 रुपया जोड़ता है, इसलिए 183 ₹ के लिए 183 ÷ 0.007625 = 24,000 ₹ चाहिए।
- (4)21,000 ₹ — 21,000 ₹ पर 5% की दर से 3 वर्ष में CI ≈ 3,310.13 ₹ और SI = 3,150 ₹, इसलिए अन्तर लगभग 160.13 ₹ है, जो 183 ₹ से कम है।
कम पड़ने वाले 22.875 ₹ के लिए 3,000 ₹ का और मूलधन चाहिए: 3,000 × 0.007625 = 22.875 ₹।
अवधारणा
साधारण ब्याज केवल मूलधन पर मिलता है: SI = P × R × T ÷ 100। चक्रवृद्धि ब्याज में हर वर्ष का ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है, इसलिए आगे के वर्षों में ब्याज पर भी ब्याज मिलता है: मिश्रधन = P(1 + R/100)^T।
दोनों का अन्तर केवल ब्याज पर ब्याज से आता है। 2 वर्ष के लिए यह P × (R/100)² है: पहले वर्ष के ब्याज पर एक वर्ष का ब्याज।
3 वर्ष के लिए यह P × (R/100)² × (3 + R/100) है। 3 साधारण ब्याज पर ब्याज के तीन हिस्से गिनता है, एक दूसरे वर्ष में और दो तीसरे वर्ष में; अतिरिक्त R/100 तीसरे वर्ष में, दूसरे वर्ष के ब्याज-पर-ब्याज पर मिला ब्याज है।
दोनों सूत्र मानते हैं कि ब्याज वर्ष में एक बार संयोजित होता है।
RPSC के प्रारंभिक परीक्षा पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के "आधारभूत संख्यात्मक दक्षता" भाग में "साधारण एवं चक्रवृद्धि ब्याज" और "प्रतिशत" सूचीबद्ध हैं।
चक्रवृद्धि वृद्धि बार-बार होने वाली प्रतिशत वृद्धि है। यही सूत्र, P(1 + R/100)^T, स्थिर वार्षिक दर से बढ़ती जनसंख्या बताता है; (1 − R/100) के साथ यह मूल्यह्रास बताता है।
जब ब्याज अधिक बार संयोजित हो, तो प्रति अवधि दर और अवधियों की संख्या बदल जाती है: R% वार्षिक दर पर अर्धवार्षिक संयोजन में हर छमाही के लिए R/2 दर और 2T छमाहियाँ ली जाती हैं।
मुख्य तथ्य
- साधारण ब्याज = P × R × T ÷ 100।
- वार्षिक संयोजन पर चक्रवृद्धि ब्याज = P[(1 + R/100)^T − 1]।
- 2 वर्ष के लिए CI − SI = P × (R/100)²।
- 3 वर्ष के लिए CI − SI = P × (R/100)² × (3 + R/100)।
- 5% पर 3 वर्ष के लिए CI − SI = 0.007625 × P, इसलिए 183 ₹ के अन्तर के लिए P = 24,000 ₹।
अन्तर = मूलधन × 0.0025 × 3.05 = मूलधन × 0.007625।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- 2 वर्ष वाला सूत्र लगा देना। P × r² = 183 से P = 73,200 ₹ आता है, जिसमें तीसरे वर्ष का ब्याज-पर-ब्याज छूट जाता है।
- प्रतिशत और दशमलव रूप मिला देना। R = 5 को पूर्ण संख्या के रूप में लेने पर P × R² × (300 + R) ÷ 100³ लगाएँ, P × R² × (3 + R) नहीं।
- मिश्रधन को ब्याज मान लेना। 27,783 ₹ में मूलधन शामिल है; चक्रवृद्धि ब्याज 3,783 ₹ है।
कोई प्रश्न चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का अन्तर देकर मूलधन पूछ सकता है, जैसा यह प्रश्न करता है।
कोई प्रश्न मूलधन देकर दर भी पूछ सकता है, या वर्षों की संख्या अथवा ब्याज संयोजित होने की आवृत्ति बदल सकता है।
संबंधित PYQ
RAS प्री 2018 और 2016 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
किसी धन पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) और साधारण ब्याज का अन्तर 50 ₹ है। धन है –
- (a)5,000 ₹
- (b)500 ₹
- (c)2,500 ₹
- (d)50,000 ₹
उत्तर(1) — 2 वर्ष के लिए CI − SI = P × (0.1)² = 0.01P, इसलिए P = 50 ÷ 0.01 = 5,000 ₹।विकल्प (2) r² के बजाय r = 0.1 से भाग देता है; विकल्प (3) 2r² = 0.02 से भाग देता है; विकल्प (4) r³ = 0.001 से भाग देता है।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
10,000 ₹ पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) और साधारण ब्याज का अन्तर कितना है?
- (a)100 ₹
- (b)300 ₹
- (c)310 ₹
- (d)3,310 ₹
उत्तर(3) — CI = 10,000 × (1.331 − 1) = 3,310 ₹ और SI = 3,000 ₹, अन्तर 310 ₹; सूत्र से भी 10,000 × 0.01 × 3.1 = 310 ₹।विकल्प (1) 2 वर्ष का अन्तर है; विकल्प (2) r³ वाला पद छोड़ देता है; विकल्प (4) स्वयं चक्रवृद्धि ब्याज है।