एक आयताकार कमरा 12 मीटर लम्बा, 6 मीटर चौड़ा तथा 4 मीटर ऊँचा है। इसमें दो दरवाजे प्रत्येक 2 मीटर × 1 मीटर के एवं 2 खिड़कियाँ प्रत्येक 1.5 मीटर × 1 मीटर की हैं। यदि दीवारों पर रंग करवाने की दर 15 ₹ प्रति वर्ग मीटर है, तो दीवारों पर रंग करवाने का कुल व्यय है –

सही उत्तर — विकल्प (4), 2055 ₹.

रंग केवल चारों दीवारों पर होना है, दोनों दरवाजों और दोनों खिड़कियों को छोड़कर।

चरण 1 — चारों दीवारों का क्षेत्रफल।
दो लंबी दीवारें: 2 × 12 × 4 = 96 m²
दो छोटी दीवारें: 2 × 6 × 4 = 48 m²
दीवारें = 96 + 48 = 144 m²
जाँच: 2 × (12 + 6) × 4 = 144 m²

चरण 2 — खुले भागों का क्षेत्रफल।
दरवाजे: 2 × (2 × 1) = 4 m²
खिड़कियाँ: 2 × (1.5 × 1) = 3 m²
खुले भाग = 4 + 3 = 7 m²

चरण 3 — रंग किया जाने वाला क्षेत्रफल।
144 − 7 = 137 m²

चरण 4 — व्यय।
137 × 15 ₹ = 2055 ₹

याद रखने की बात: चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) × ऊँचाई; दर से गुणा करने से पहले हर दरवाजा और खिड़की घटाएँ।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  1955 ₹ — 1955 ₹ रंग किए जाने वाले 137 m² के व्यय से 100 ₹ कम है। 15 ₹ प्रति m² की दर से इसमें केवल 1955 ÷ 15 = 130⅓ m² पर रंग होता।

  दीवारें 144 m² और खुले भाग 7 m² हैं, इसलिए 137 m² पर रंग होता है, जिसका व्यय 137 × 15 = 2055 ₹ है।

• (2)
  2010 ₹ — 2010 ₹ = 134 × 15 ₹, यानी 134 m² का व्यय। इसका अर्थ होता कि 144 m² दीवार में से 10 m² खुले भाग घटाए गए।

  खुले भाग 7 m² हैं: 2 मीटर × 1 मीटर के दो दरवाजे 4 m² और 1.5 मीटर × 1 मीटर की दो खिड़कियाँ 3 m²। 144 − 7 = 137 m², जिसका व्यय 2055 ₹ है।

• (3)
  2155 ₹ — 2155 ₹ सही व्यय से 100 ₹ अधिक है और 2160 ₹ से 5 ₹ कम है, जो बिना कुछ घटाए पूरी 144 m² दीवार का व्यय है।

  दरवाजों और खिड़कियों पर रंग नहीं होता, इसलिए पहले उनके 7 m² घटते हैं: 137 × 15 = 2055 ₹।

आयत का क्षेत्रफल लंबाई × चौड़ाई है। आयताकार कमरे की चारों दीवारें दो जोड़ों में होती हैं: दो दीवारें लंबाई × ऊँचाई की और दो चौड़ाई × ऊँचाई की।

इनका योग 2 × (लंबाई + चौड़ाई) × ऊँचाई है, यानी फर्श का परिमाप गुणा ऊँचाई। यह घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है।

घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल, 2(lb + bh + hl), इसमें फर्श और छत भी जोड़ता है। इस कमरे के लिए यह 144 + 72 + 72 = 288 m² है।

रंग करवाने में दरवाजे और खिड़कियाँ जैसे खुले भाग घटाए जाते हैं, और व्यय = क्षेत्रफल × प्रति वर्ग मीटर दर।

मुख्य तथ्य

• आयताकार कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) × ऊँचाई।
• यहाँ दीवारें 2 × (12 + 6) × 4 = 144 m² हैं।
• खुले भाग हैं 2 मीटर × 1 मीटर के दो दरवाजे (4 m²) और 1.5 मीटर × 1 मीटर की दो खिड़कियाँ (3 m²), कुल 7 m²।
• रंग किया जाने वाला क्षेत्रफल = 144 − 7 = 137 m²; 15 ₹ प्रति m² की दर से व्यय 2055 ₹ है।
• घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl); इस कमरे के लिए 288 m², जिसमें 72 m² का फर्श और 72 m² की छत शामिल हैं।

सामान्य भ्रम

• छत या फर्श जोड़ देना। प्रश्न दीवारों पर रंग का व्यय पूछता है; अकेली छत ही 12 × 6 = 72 m² है।
• दोगुना करना भूल जाना। (12 + 6) × 4 = 72 m² केवल एक लंबी और एक छोटी दीवार का क्षेत्रफल है।
• एक दरवाजा और एक खिड़की ही घटाना। दोनों दो-दो हैं, इसलिए खुले भाग 7 m² हैं, 3.5 m² नहीं।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक कमरा 10 मीटर लम्बा, 8 मीटर चौड़ा और 3 मीटर ऊँचा है। इसमें 2 मीटर × 1 मीटर का एक दरवाजा और 1 मीटर × 1 मीटर की एक खिड़की है। 20 ₹ प्रति वर्ग मीटर की दर से इसकी दीवारों पर रंग करवाने का व्यय कितना है?

  • (a)2,160 ₹
  • (b)2,100 ₹
  • (c)1,080 ₹
  • (d)3,700 ₹
  उत्तर(2) — दीवारें = 2 × (10 + 8) × 3 = 108 m²; खुले भाग = 2 + 1 = 3 m²; 105 × 20 ₹ = 2,100 ₹।

  विकल्प (1) खुले भागों के लिए कुछ नहीं घटाता; विकल्प (3) केवल दो दीवारों का व्यय है, (10 + 8) × 3 = 54 m², बिना कुछ घटाए; विकल्प (4) 80 m² की छत भी जोड़ देता है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  9 मीटर लम्बे और 6 मीटर चौड़े एक कमरे की चारों दीवारों पर, जिनमें कोई दरवाजा या खिड़की नहीं है, 10 ₹ प्रति वर्ग मीटर की दर से रंग करवाने का व्यय 1,500 ₹ है। कमरे की ऊँचाई है –

  • (a)5 मीटर
  • (b)10 मीटर
  • (c)2.5 मीटर
  • (d)6 मीटर
  उत्तर(1) — दीवारों का क्षेत्रफल = 1,500 ÷ 10 = 150 m², और 2 × (9 + 6) × h = 150 से 30h = 150, इसलिए h = 5 मीटर।

  विकल्प (2) (9 + 6) × h लेता है, यानी केवल दो दीवारें; विकल्प (3) परिमाप को दो बार दोगुना करता है, 60h = 150; विकल्प (4) कमरे की चौड़ाई है।