एक 6 लड़कियों और 4 लड़कों के समूह में से 4 बच्चों का चयन करना है। कितने अलग–अलग तरीके से उनका चयन किया जा सकता है जबकि उसमें कम से कम एक लड़की अवश्य हो?
- (1)214
- (2)206
- (3)210
- (4)209
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (4), 209.
समूह में 6 लड़कियाँ और 4 लड़के, यानी कुल 10 बच्चे हैं, और 4 बच्चों का चयन करना है। चुनने का क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए यह संचयों की गिनती है।
चरण 1 — 10 में से 4 के सभी चयन गिनें।
C(10, 4) = (10 × 9 × 8 × 7) ÷ (4 × 3 × 2 × 1)
= 5,040 ÷ 24 = 210
चरण 2 — बिना किसी लड़की वाले चयन गिनें।
कोई लड़की नहीं यानी चारों लड़के: C(4, 4) = 1
चरण 3 — घटाएँ।
कम से कम एक लड़की = 210 − 1 = 209
स्थितियों से जाँच:
1 लड़की, 3 लड़के: C(6, 1) × C(4, 3) = 6 × 4 = 24
2 लड़कियाँ, 2 लड़के: C(6, 2) × C(4, 2) = 15 × 6 = 90
3 लड़कियाँ, 1 लड़का: C(6, 3) × C(4, 1) = 20 × 4 = 80
4 लड़कियाँ: C(6, 4) = 15
कुल = 24 + 90 + 80 + 15 = 209
याद रखने की बात: "कम से कम एक" = सभी चयन − एक भी नहीं वाले चयन।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (1)214 — 214 10 बच्चों में से 4 के सभी संभव चयनों से भी अधिक है, जिनकी संख्या C(10, 4) = 210 है।
"कम से कम एक लड़की" जैसी शर्त उस कुल में से केवल चयन हटा सकती है, उसमें जोड़ नहीं सकती। शर्त सहित गिनती 210 − 1 = 209 है।
- (2)206 — 206 = 210 − 4 चार चयन हटाता। पर बिना लड़की वाला चयन केवल एक है: चारों लड़के, C(4, 4) = 1।
4 घटाना C(4, 1) से मेल खाता है, यानी एक लड़का चुनने के तरीकों की संख्या, जो हटाई जाने वाली स्थिति नहीं है। स्थितियों का योग 24 + 90 + 80 + 15 = 209 पुष्टि करता है कि केवल एक चयन हटता है।
- (3)210 — 210, C(10, 4) है, यानी बिना किसी शर्त के चयनों की संख्या।
इसमें अभी भी चारों लड़कों वाला वह एक समूह शामिल है जिसमें कोई लड़की नहीं है। उस समूह को हटाने पर 209 आता है।
अवधारणा
संचय ऐसा चयन है जिसमें क्रम मायने नहीं रखता। n वस्तुओं में से r चुनने के तरीकों की संख्या C(n, r) = n! ÷ [r! × (n − r)!] है।
जब अलग-अलग समूहों से चुनाव हो, तो गुणा करें: 6 में से 2 लड़कियाँ और 4 में से 2 लड़के चुनने पर C(6, 2) × C(4, 2) = 90 समूह बनते हैं। जो स्थितियाँ एक-दूसरे पर नहीं चढ़तीं, उन्हें जोड़ा जाता है।
"कम से कम एक" में कई स्थितियाँ आती हैं। उसका उल्टा, "एक भी नहीं", एक ही स्थिति हो सकती है, इसलिए सभी चयन घटा "एक भी नहीं" वाले चयन एक ही चरण में उत्तर दे देते हैं।
उपयोगी सर्वसमिका: C(n, r) = C(n, n − r), इसलिए C(6, 4) = C(6, 2) = 15।
RPSC के प्रारंभिक परीक्षा पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के "आधारभूत संख्यात्मक दक्षता" भाग में "क्रमचय एवं संचय" और "प्रायिकता (सरल समस्याएं)" सूचीबद्ध हैं।
दोनों विषय वही गिनतियाँ उपयोग करते हैं। यदि 4 बच्चे यादृच्छिक रूप से चुने जाते, तो कम से कम एक लड़की होने की प्रायिकता 209 ÷ 210 होती, और कोई लड़की न होने की प्रायिकता 1 ÷ 210।
प्रायिकता में यही पूरक नियम P(कम से कम एक) = 1 − P(एक भी नहीं) के रूप में लिखा जाता है।
मुख्य तथ्य
- जब क्रम मायने न रखे, तो n वस्तुओं में से r के चयन C(n, r) = n! ÷ [r! × (n − r)!] से गिने जाते हैं।
- 10 बच्चों में से 4 चुनने के C(10, 4) = 210 तरीके हैं।
- कम से कम एक लड़की = सभी चयन − बिना लड़की वाले चयन = 210 − C(4, 4) = 209।
- 1, 2, 3 और 4 लड़कियों वाली स्थितियों से जाँच: 24 + 90 + 80 + 15 = 209।
- C(n, r) = C(n, n − r); उदाहरण के लिए, C(6, 2) = C(6, 4) = 15।
पाँचों पंक्तियों का योग C(10, 4) = 210 है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- क्रम वाले चुनाव गिनना। 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 उन्हीं 4 बच्चों को अलग क्रम में चुनने पर अलग समूह मान लेता है।
- घटाना भूल जाना। C(10, 4) = 210 में चारों लड़कों वाला समूह अभी भी शामिल है।
- पहले एक लड़की तय करके फिर कोई भी तीन चुनना। C(6, 1) × C(9, 3) = 6 × 84 = 504 कई लड़कियों वाले समूह को एक से अधिक बार गिन लेता है।
कोई प्रश्न ऐसे चयनों की संख्या पूछ सकता है जिनमें किसी समूह का कम से कम एक सदस्य हो, जैसा यह प्रश्न करता है।
कोई प्रश्न हर समूह से ठीक-ठीक संख्या भी तय कर सकता है, "अधिक से अधिक" की सीमा रख सकता है, या यह प्रायिकता पूछ सकता है कि कोई यादृच्छिक चयन शर्त पूरी करे।
संबंधित PYQ
वर्णमाला के दस अलग–अलग अक्षर दिए गए हैं । इन दिए गए अक्षरों से पाँच अक्षरों वाले शब्द बनाए गये हैं । तो उन शब्दों की संख्या, जिनमें कम से कम एक अक्षर दोहराया गया है, है :
- (1) 69760
- (2) 30240
- (3) 99748
- (4) 99784
उत्तर(1)
"कम से कम एक" वाली शर्त के लिए वही पूरक गिनती। वह प्रश्न वर्णमाला के दस अलग–अलग अक्षरों से बने पाँच अक्षरों वाले उन शब्दों की संख्या पूछता है जिनमें कम से कम एक अक्षर दोहराया गया है (RPSC की कुंजी: 69760, जो 10⁵ − 30,240 है); यह प्रश्न बच्चों के चयन गिनता है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
5 पुरुषों और 3 महिलाओं में से 3 सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनानी है कि उसमें कम से कम एक महिला हो। समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?
- (a)56
- (b)46
- (c)10
- (d)30
उत्तर(2) — सभी समितियाँ: C(8, 3) = 56। केवल पुरुषों वाली समितियाँ: C(5, 3) = 10। कम से कम एक महिला: 56 − 10 = 46।विकल्प (1) शर्त को अनदेखा करता है, विकल्प (3) केवल पुरुषों वाली समितियों की संख्या है, और विकल्प (4) ठीक एक महिला वाली समितियाँ गिनता है, 3 × C(5, 2) = 30।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एक थैले में 4 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से दो गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। उनमें से कम से कम एक के लाल होने की प्रायिकता क्या है?
- (a)6/7
- (b)1/7
- (c)4/7
- (d)2/7
उत्तर(1) — सभी जोड़े: C(7, 2) = 21। बिना लाल गेंद वाले जोड़े: C(3, 2) = 3। P(कम से कम एक लाल) = 1 − 3/21 = 18/21 = 6/7।विकल्प (2) एक भी लाल न होने की प्रायिकता है, विकल्प (3) एक गेंद निकालने पर उसके लाल होने की प्रायिकता है, और विकल्प (4) दोनों के लाल होने की प्रायिकता है, C(4, 2)/21 = 6/21।