नीचे दिए गए चित्र में आयत और वर्गों (दोनों) की कुल संख्या है –

सही उत्तर — विकल्प (2), 21.

प्रश्न आयत और वर्गों को एक साथ गिनवाता है। हर वर्ग एक आयत भी है, इसलिए समकोणों वाली हर चतुर्भुज आकृति एक बार गिनी जाती है, और वर्गों को आयतों से अलग छाँटने की ज़रूरत नहीं है।

चित्र की रेखाएँ पहचानें। तीन आकृतियाँ हैं: दाईं ओर एक लंबा आयत, उसके बाएँ किनारे पर एक बड़ा वर्ग, और बड़े वर्ग के भीतर एक छोटा वर्ग।

दो रेखाएँ इन्हें काटती हैं: लंबे आयत का बायाँ किनारा दोनों वर्गों के बीच से होकर नीचे जाता है, और बीच की क्षैतिज रेखा बड़े वर्ग की बाईं भुजा से लंबे आयत की दाईं भुजा तक जाती है।

समूह 1 — बड़ा वर्ग।
दो काटती रेखाओं से 4 खानों में बँटा।
ऊर्ध्वाधर: उसकी बाईं भुजा, काटने वाला किनारा, उसकी दाईं भुजा
क्षैतिज: उसकी ऊपरी भुजा, बीच की रेखा, उसकी निचली भुजा
3 × 3 = 9
कुल अब तक = 9

समूह 2 — छोटा वर्ग।
उन्हीं दो रेखाओं से 4 खानों में बँटा।
3 × 3 = 9
कुल अब तक = 18

समूह 3 — लंबा आयत।
बीच की रेखा से ऊपरी और निचले आधे भाग में बँटा।
ऊपरी आधा, निचला आधा, पूरा = 3
कुल अब तक = 21

कोई आयत एक आकृति से दूसरी आकृति तक नहीं फैलता। हर वर्ग की भुजाएँ उसके अपने कोनों पर समाप्त होती हैं, और केवल बीच की रेखा तथा लंबे आयत का बायाँ किनारा एक आकृति से आगे जाते हैं।

याद रखने की बात: ऐसी दो ऊर्ध्वाधर और दो क्षैतिज रेखाएँ चुनें जो वास्तव में आपस में मिलती हों; 2 × 2 खानों में बँटी आकृति में 9 आयत होते हैं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  19 — 19 रेखाओं से बनने वाले 21 आयतों से दो कम है। उदाहरण के लिए, लंबे आयत के ऊपरी और निचले आधे भाग छोड़ देने पर 19 आता है।

  तीनों समूह पूरे गिनने होते हैं: बड़े वर्ग में 9, छोटे वर्ग में 9, और लंबे आयत में 3, यानी पूरा आयत और उसके दो आधे भाग।

• (3)
  22 — 22 रेखाओं से बन सकने वाले आयतों से एक अधिक है। 22वें आयत को दो अलग-अलग आकृतियों की रेखाएँ जोड़नी पड़तीं।

  बीच की रेखा बड़े वर्ग से लंबे आयत की दाईं भुजा तक पहुँचती है, पर कोई दूसरी क्षैतिज रेखा नहीं पहुँचती। बड़े वर्ग की ऊपरी और निचली भुजाएँ उसकी अपनी दाईं भुजा पर रुक जाती हैं, इसलिए कोई आयत दोनों आकृतियों में नहीं फैलता।

• (4)
  23 — 23 रेखाओं से बनने वाले 21 आयतों से दो अधिक है, और खुली आकृतियाँ यह अंतर पूरा नहीं कर सकतीं।

  बीच की रेखा के ऊपर और नीचे, बड़े वर्ग की दाईं भुजा और लंबे आयत की दाईं भुजा के बीच की पट्टियाँ खुली हैं: बड़े वर्ग की ऊपरी और निचली रेखाएँ उसकी दाईं भुजा पर समाप्त हो जाती हैं और लंबे आयत की दाईं भुजा तक नहीं जातीं।

रेखाचित्र में किसी आयत के लिए चार खिंची हुई भुजाएँ चाहिए: दो ऊर्ध्वाधर और दो क्षैतिज रेखाएँ, जो चारों कोनों पर मिलती हों।

m ऊर्ध्वाधर और n क्षैतिज रेखाओं के जाल में, जहाँ हर रेखा पूरी चौड़ाई या ऊँचाई में खिंची हो, कोई भी 2 ऊर्ध्वाधर और कोई भी 2 क्षैतिज रेखाएँ चुनने से एक आयत बनता है। गिनती C(m, 2) × C(n, 2) है।

2 × 2 खानों वाले जाल में हर दिशा में 3 रेखाएँ होती हैं, इसलिए उसमें 3 × 3 = 9 आयत होते हैं: 4 खाने, 4 आधे भाग और पूरी आकृति। एक बार कटी आकृति में 3 आयत होते हैं।

जब आकृतियाँ एक-दूसरे पर चढ़ी हों, तो हर आकृति का जाल अलग गिनें, फिर जाँचें कि कोई आयत दो आकृतियों की रेखाओं से तो नहीं बनता।

मुख्य तथ्य

• हर वर्ग एक आयत है, इसलिए वर्गों और आयतों की एक साथ गिनती में समकोणों वाली हर चतुर्भुज आकृति एक बार गिनी जाती है।
• पूरी लंबाई की m ऊर्ध्वाधर और n क्षैतिज रेखाओं के जाल में आयतों की संख्या C(m, 2) × C(n, 2) होती है।
• 2 × 2 खानों में बँटी आकृति में 9 आयत होते हैं: 4 खाने, 4 आधे भाग और पूरी आकृति।
• एक रेखा से दो भागों में बँटे आयत में 3 आयत होते हैं: दोनों भाग और पूरा आयत।
• इस चित्र में: बड़ा वर्ग 9, छोटा वर्ग 9, लंबा आयत 3, कुल 21।

सामान्य भ्रम

• केवल दिखने वाले बंद खाने गिनना। 21 आयतों में से कई, जैसे बड़े वर्ग का हर चौथाई भाग, अपने भीतर छोटे वर्ग के हिस्से रखते हैं।
• बीच में रुक जाने वाली रेखाओं से आकृतियाँ बंद मान लेना। वर्गों की ऊपरी और निचली भुजाएँ वर्गों की दाईं भुजाओं पर समाप्त हो जाती हैं, इसलिए उनके बगल की पट्टियाँ खुली हैं।
• किसी आकृति को वर्गों और आयतों दोनों में सूचीबद्ध करके दो बार गिनना। प्रश्न दोनों को एक साथ गिनवाता है, इसलिए हर आकृति एक बार गिनी जाती है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक आयत को दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं और एक क्षैतिज रेखा द्वारा 6 बराबर खानों में बाँटा गया है, और हर रेखा आयत की एक भुजा से सामने की भुजा तक खिंची है। चित्र में कुल कितने आयत (वर्गों सहित) हैं?

  • (a)6
  • (b)12
  • (c)18
  • (d)24
  उत्तर(3) — 4 ऊर्ध्वाधर और 3 क्षैतिज रेखाएँ हैं, इसलिए C(4, 2) × C(3, 2) = 6 × 3 = 18।

  विकल्प (1) केवल खाने गिनता है; विकल्प (2) हर पंक्ति के भीतर के आयत गिनता है (6 + 6) और पूरी ऊँचाई वाले 6 आयत छोड़ देता है; विकल्प (4) के लिए क्षैतिज रेखाओं के 4 जोड़े चाहिए, पर 3 रेखाओं से केवल 3 जोड़े बनते हैं।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक वर्ग को उसके आर-पार खिंची दो ऊर्ध्वाधर और दो क्षैतिज रेखाओं द्वारा 9 बराबर छोटे वर्गों में बाँटा गया है। चित्र में कुल कितने वर्ग हैं?

  • (a)9
  • (b)13
  • (c)14
  • (d)36
  उत्तर(3) — 1 खाने की भुजा वाले वर्ग: 9; 2 खानों की भुजा वाले: 4; 3 खानों की भुजा वाला: 1; कुल 14। विकल्प (1) केवल सबसे छोटे वर्ग गिनता है; विकल्प (2) पूरा वर्ग छोड़ देता है; विकल्प (4) सभी आयतों की संख्या है, C(4, 2) × C(4, 2)।