वर्णमाला के दस अलग–अलग अक्षर दिए गए हैं । इन दिए गए अक्षरों से पाँच अक्षरों वाले शब्द बनाए गये हैं । तो उन शब्दों की संख्या, जिनमें कम से कम एक अक्षर दोहराया गया है, है :

सही उत्तर — विकल्प (1), 69760.

यहाँ "शब्द" का अर्थ 5 अक्षरों की कोई भी व्यवस्था है, सार्थक हो या नहीं। अक्षर दोहराए जा सकते हैं, क्योंकि प्रश्न ऐसे शब्दों के बारे में पूछता है जिनमें कोई अक्षर दोहराया गया है।

चरण 1 — दोहराव की अनुमति के साथ 5 अक्षरों वाले सभी शब्द गिनें। 5 में से हर स्थान पर 10 में से कोई भी अक्षर आ सकता है।
कुल = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁵ = 1,00,000

चरण 2 — वे शब्द गिनें जिनमें कोई अक्षर नहीं दोहराया गया। पाँच स्थानों के लिए 10, 9, 8, 7 और 6 विकल्प हैं।
10 × 9 = 90; 90 × 8 = 720
720 × 7 = 5,040; 5,040 × 6 = 30,240

चरण 3 — बाकी हर शब्द में कम से कम एक अक्षर दोहराया गया है।
कम से कम एक दोहराव = 1,00,000 − 30,240 = 69,760

याद रखने की बात: "कम से कम एक" को कुल में से "एक भी नहीं" घटाकर गिना जाता है; यहाँ, सभी शब्दों में से वे शब्द घटाएँ जिनके पाँचों अक्षर अलग-अलग हैं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (2)
  30240 — 30,240 उन शब्दों की संख्या है जिनमें कोई अक्षर नहीं दोहराया गया: ¹⁰P₅ = 10 × 9 × 8 × 7 × 6।

  यह प्रश्न की माँग का उलटा गिनता है। इसे सभी 1,00,000 शब्दों में से घटाने पर कम से कम एक दोहराव वाले 69,760 शब्द बचते हैं।

• (3)
  99748 — 99,748 = 1,00,000 − 252, और 252 = ¹⁰C₅ है, यानी क्रम का ध्यान रखे बिना 10 में से 5 अक्षर चुनने के तरीके।

  शब्द एक व्यवस्था है, इसलिए क्रम मायने रखता है। बिना दोहराव वाले शब्द ¹⁰P₅ = 30,240 हैं, 252 नहीं, जिससे 69,760 बचते हैं।

• (4)
  99784 — 99,784 = 1,00,000 − 216। इसका अर्थ होगा कि केवल 216 शब्दों के पाँचों अक्षर अलग-अलग हैं।

  ऐसे शब्दों की संख्या 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30,240 है, इसलिए दोहराए गए अक्षर वाले शब्द 1,00,000 − 30,240 = 69,760 हैं।

गणना का मूल सिद्धांत: यदि एक चरण m तरीकों से और अगला चरण n तरीकों से हो सकता है, तो दोनों मिलकर m × n तरीकों से हो सकते हैं।

n अलग-अलग वस्तुओं में से r वस्तुओं को क्रम में लगाने पर, दोहराव की अनुमति हो तो nʳ व्यवस्थाएँ बनती हैं, और न हो तो ⁿPᵣ = n!/(n − r)!।

क्रम का ध्यान रखे बिना r वस्तुएँ चुनने पर ⁿCᵣ = n!/[r!(n − r)!] मिलता है। ऐसे हर चुनाव को r! तरीकों से क्रम में लगाया जा सकता है, इसलिए ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!।

"कम से कम एक" की गिनती कुल में से "एक भी नहीं" की गिनती घटाकर निकाली जाती है।

मुख्य तथ्य

• दोहराव की अनुमति के साथ n में से r वस्तुओं की व्यवस्थाएँ: nʳ; यहाँ 10⁵ = 1,00,000।
• बिना दोहराव के n में से r वस्तुओं की व्यवस्थाएँ: ⁿPᵣ = n!/(n − r)!; यहाँ ¹⁰P₅ = 30,240।
• क्रम का ध्यान रखे बिना n में से r वस्तुओं के चुनाव: ⁿCᵣ = n!/[r!(n − r)!]; यहाँ ¹⁰C₅ = 252।
• ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!; n = 10 और r = 5 के लिए, 252 × 120 = 30,240।
• "कम से कम एक" की गिनती = कुल गिनती − "एक भी नहीं" की गिनती।

सामान्य भ्रम

• ¹⁰P₅ = 30,240 के बजाय ¹⁰C₅ = 252 घटाना। शब्द एक क्रमबद्ध व्यवस्था है, इसलिए बिना दोहराव की गिनती क्रमचय से होती है।
• "कम से कम एक दोहराया गया अक्षर" को "ठीक एक दोहराया गया अक्षर" पढ़ना। गिनती में वे शब्द भी आते हैं जिनमें दो अक्षर दोहराए गए हों या कोई अक्षर तीन या अधिक बार आया हो।
• कुल को ¹⁰P₅ मान लेना। दोहराव की अनुमति होने पर 5 में से हर स्थान के लिए सभी 10 अक्षर उपलब्ध हैं, इसलिए कुल 10⁵ है।

RAS प्री 2023 और 2021 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  अंकों 1, 2, 3, 4 और 5 से ऐसी कितनी 3-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जिनमें कम से कम एक अंक दोहराया गया हो?

  • (a)60
  • (b)65
  • (c)115
  • (d)125
  उत्तर(2) — सभी संख्याएँ: 5³ = 125; बिना दोहराव: 5 × 4 × 3 = 60; कम से कम एक दोहराव: 125 − 60 = 65। विकल्प (1) बिना दोहराव वाली संख्याएँ गिनता है; विकल्प (3) 60 के बजाय ⁵C₃ = 10 घटाता है; विकल्प (4) सभी संख्याएँ गिनता है।
• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  अलग-अलग मूल्य के तीन पुरस्कार 7 में से 3 विद्यार्थियों को कितने तरीकों से दिए जा सकते हैं, यदि किसी विद्यार्थी को एक से अधिक पुरस्कार न मिले?

  • (a)35
  • (b)210
  • (c)343
  • (d)21
  उत्तर(2) — पुरस्कार अलग-अलग हैं, इसलिए क्रम मायने रखता है: ⁷P₃ = 7 × 6 × 5 = 210। विकल्प (1) ⁷C₃ है, जो अनदेखा करता है कि किसे कौन-सा पुरस्कार मिला; विकल्प (3), 7³, एक ही विद्यार्थी को कई पुरस्कार जीतने देता है; विकल्प (4) ⁷C₂ है।