1 से 156 तक संख्याओं के मध्य स्थित संख्याओं का जो कि 2, 3, 4 और 6 से विभाज्य है, का समान्तर माध्य होगा –

सही उत्तर — विकल्प (3), 78.

चरण 1 — चारों भाजकों की जगह एक भाजक लें।
जो संख्या 2, 3, 4 और 6 से विभाज्य है, वह उनके LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) से विभाज्य है।
LCM (2, 3, 4, 6) = 12

चरण 2 — 1 और 156 के मध्य 12 के गुणज लिखें।
"1 से 156 तक संख्याओं के मध्य स्थित" को सिरे की संख्याएँ छोड़कर पढ़ें, जो पाठ विकल्पों से मेल खाता है; तब 156 = 12 × 13 छूट जाती है।
12, 24, 36, … , 144
संख्या = 12

चरण 3 — इन्हें जोड़ें।
योग = 12 × (1 + 2 + … + 12) = 12 × 78 = 936

चरण 4 — गिनती से भाग दें।
माध्य = 936 ÷ 12 = 78

जाँच: सूची समान अंतराल वाली है, इसलिए माध्य = (पहला + अंतिम) ÷ 2 = (12 + 144) ÷ 2 = 78।

यदि 156 भी गिनी जाती, तो सूची 12 से 156 तक चलती और माध्य (12 + 156) ÷ 2 = 84 होता, जो विकल्पों में नहीं है।

याद रखने की बात: कई भाजकों को उनके LCM में बदलें, फिर समान अंतराल वाली सूची का माध्य (पहला + अंतिम) ÷ 2 से निकालें।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  76 — 12a से 12b तक 12 के लगातार गुणजों का माध्य (12a + 12b) ÷ 2 = 6(a + b) होता है। इसलिए यह हमेशा 6 का गुणज होता है।

  76 ÷ 6 = 12⅔, इसलिए 76 ऐसी सूची का माध्य नहीं हो सकता। चारों विकल्पों में केवल 78 = 6 × 13 इस जाँच में खरा उतरता है।

• (2)
  74 — समान अंतराल वाली सूची का माध्य 74 होने के लिए पहला + अंतिम = 2 × 74 = 148 होना चाहिए।

  1 और 156 के मध्य 12 के गुणज 12 से शुरू होकर 144 पर समाप्त होते हैं, जिनका योग 156 है, 148 नहीं। 74, 6 का गुणज भी नहीं है (74 ÷ 6 = 12⅓)।

• (4)
  91 — 91 सूची के मध्य से ऊपर है। बारह गुणज दोनों सिरों से जोड़ियाँ बनाते हैं: 12 + 144, 24 + 132, … , 72 + 84, हर जोड़ी का योग 156।

  156 की छह जोड़ियाँ 936 देती हैं, और 936 ÷ 12 = 78। माध्य 91 होने के लिए योग 91 × 12 = 1,092 होना चाहिए।

मानों के किसी समूह का समान्तर माध्य उनके योग को उनकी संख्या से भाग देने पर मिलता है।

कोई संख्या कई संख्याओं में से हर एक से ठीक तभी विभाज्य होती है जब वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाज्य हो। 2, 3, 4 और 6 का LCM 12 है, उनका गुणनफल 144 नहीं।

किसी संख्या के गुणज समान अंतराल वाली सूची, यानी समान्तर श्रेढ़ी, बनाते हैं। इसका योग (पदों की संख्या) × (पहला + अंतिम) ÷ 2 होता है, इसलिए इसका माध्य सीधे (पहला + अंतिम) ÷ 2 है।

समान अंतराल वाली सूची में माध्य और माध्यिका बराबर होते हैं। यहाँ बीच के दो पद 72 और 84 हैं, और (72 + 84) ÷ 2 = 78।

मुख्य तथ्य

• जो संख्या 2, 3, 4 और 6 में से हर एक से विभाज्य है, वह उनके LCM 12 से विभाज्य है।
• 156 को छोड़कर 1 और 156 के मध्य 12 के गुणज: 12, 24, … , 144, कुल बारह संख्याएँ जिनका योग 936 है।
• समान्तर माध्य = मानों का योग ÷ मानों की संख्या; यहाँ 936 ÷ 12 = 78।
• समान अंतराल वाली सूची के लिए माध्य = (पहला पद + अंतिम पद) ÷ 2।
• 156 भी गिनने पर तेरह गुणज होते और माध्य (12 + 156) ÷ 2 = 84 आता, जो विकल्पों में नहीं है।

सामान्य भ्रम

• भाजकों का गुणनफल ले लेना। 2 × 3 × 4 × 6 = 144 एक सार्व गुणज है, पर LCM 12 है; 144 के गुणज लेने पर 12, 24 और बाकी संख्याएँ छूट जातीं।
• "मध्य स्थित" के पाठ पर ध्यान न देना। 156 सहित सूची में तेरह पद होते और माध्य 84 आता, जो विकल्प नहीं है; 156 छोड़ने पर 78 आता है।
• 1 और 156 का औसत निकाल लेना। सूची 1 से नहीं, 12 के पहले गुणज 12 से शुरू होती है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  1 और 100 के मध्य स्थित उन सभी संख्याओं का समान्तर माध्य, जो 4 और 6 दोनों से विभाज्य हैं, होगा –

  • (a)48
  • (b)54
  • (c)50
  • (d)60
  उत्तर(2) — LCM (4, 6) = 12, इसलिए संख्याएँ 12, 24, … , 96 हैं और माध्य (12 + 96) ÷ 2 = 54 है।

  विकल्प (1) 12 से 84 तक का माध्य है, जिसमें 96 छूट जाती है; विकल्प (3) 1 से 99 तक की सभी पूर्ण संख्याओं का माध्य है; विकल्प (4) 24 (4 × 6) के गुणजों का माध्य है, जिसमें 12, 36, 60 और 84 छूट जाती हैं।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  पाँच संख्याओं का माध्य 18 है। उनमें से एक संख्या हटाने पर शेष चार का माध्य 16 हो जाता है। हटाई गई संख्या है –

  • (a)2
  • (b)26
  • (c)18
  • (d)17
  उत्तर(2) — पाँच का योग = 5 × 18 = 90 और चार का योग = 4 × 16 = 64, इसलिए हटाई गई संख्या 90 − 64 = 26 है। विकल्प (1) माध्य में आई कमी है, विकल्प (3) पुराना माध्य है, और विकल्प (4) दोनों माध्यों का औसत है।