100 प्रेक्षणों के माध्य की 49 गणना की गई । बाद में पता चला कि 40, 20, 50 के रूप में लिए गए प्रेक्षण वास्तव में क्रमशः 60, 70, 80 थे । सही माध्य है

सही उत्तर — विकल्प (3), 50.

चरण 1 — गलत माध्य के पीछे का योग निकालें।
गलत योग = माध्य × प्रेक्षणों की संख्या = 49 × 100 = 4,900

चरण 2 — गलत दर्ज किए गए मान निकालें।
गलत मान = 40 + 20 + 50 = 110
4,900 − 110 = 4,790

चरण 3 — वास्तविक मान जोड़ें।
वास्तविक मान = 60 + 70 + 80 = 210
4,790 + 210 = 5,000

चरण 4 — प्रेक्षणों की संख्या से भाग दें, जो अब भी 100 है।
सही माध्य = 5,000 ÷ 100 = 50

छोटा रास्ता: योग 210 − 110 = 100 बढ़ता है, इसलिए माध्य 100 ÷ 100 = 1 बढ़ता है, 49 से 50।

याद रखने की बात: माध्य उसके योग के ज़रिए सुधारा जाता है: योग फिर से बनाएँ, मान ठीक करें, फिर दोबारा भाग दें।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  48 — 48 तब आता है जब सुधार उलटी दिशा में लगाया जाए: 4,900 − 100 = 4,800, और 4,800 ÷ 100 = 48।

  वास्तविक मान (60, 70, 80) दर्ज किए गए मानों (40, 20, 50) से बड़े हैं, इसलिए योग और माध्य को बढ़ना चाहिए, घटना नहीं।

• (2)
  49.33 — 100 प्रेक्षणों पर 49.33 माध्य का अर्थ है 4,933 का योग, यानी योग में 33 की वृद्धि।

  वास्तविक वृद्धि 210 − 110 = 100 है। उन्हीं 100 प्रेक्षणों पर बाँटने से माध्य ठीक 1 बढ़कर 50 हो जाता है।

• (4)
  49.5 — 100 प्रेक्षणों पर 49.5 माध्य का अर्थ है 4,950 का योग, यानी योग में 50 की वृद्धि।

  सुधारे गए मान योग में 50 नहीं, 100 जोड़ते हैं (210 − 110 = 100), इसलिए माध्य पूरा 1 बढ़ता है, 49 से 50।

समांतर माध्य प्रेक्षणों का योग उनकी संख्या से भाग देने पर मिलता है। उलटकर देखें तो योग = माध्य × प्रेक्षणों की संख्या, और इसी से बताए गए माध्य से योग वापस निकाला जाता है।

जब गलत मानों की जगह सही मान रखे जाते हैं, तो योग (सही मानों का योग − गलत मानों का योग) से बदलता है। प्रेक्षणों की संख्या न बदले, तो माध्य उस राशि ÷ प्रेक्षणों की संख्या से बदलता है।

माध्य हर प्रेक्षण पर निर्भर करता है। हर मान में k जोड़ने से माध्य k बढ़ता है; हर मान को k से गुणा करने पर माध्य भी k से गुणा हो जाता है।

मुख्य तथ्य

• समांतर माध्य = प्रेक्षणों का योग ÷ प्रेक्षणों की संख्या, इसलिए योग = माध्य × प्रेक्षणों की संख्या।
• गलत मानों की जगह सही मान रखने पर योग (सही मानों का योग − गलत मानों का योग) से बदलता है।
• प्रेक्षणों की संख्या न बदले, तो माध्य (योग में परिवर्तन) ÷ (प्रेक्षणों की संख्या) से बदलता है।
• हर प्रेक्षण में k जोड़ने से माध्य k बढ़ता है; हर प्रेक्षण को k से गुणा करने पर माध्य k से गुणा हो जाता है।
• जो धनात्मक मान सभी बराबर न हों, उनके लिए समांतर माध्य > गुणोत्तर माध्य > हरात्मक माध्य।

सामान्य भ्रम

• योग में हुए परिवर्तन को सीधे माध्य में जोड़ देना, 49 + 100 = 149। योग के परिवर्तन को पहले 100 प्रेक्षणों से भाग देना होता है।
• शुद्ध परिवर्तन घटा देना। वास्तविक मान 60, 70 और 80 दर्ज किए गए 40, 20 और 50 से बड़े हैं, इसलिए माध्य बढ़ता है।
• सुधार के बाद संख्या बदल देना। मान बदले गए हैं, जोड़े या हटाए नहीं गए, इसलिए भाग अब भी 100 से ही होगा।

RAS प्री 2021 और 2013 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  50 प्रेक्षणों का माध्य 36 है। बाद में पता चला कि एक प्रेक्षण 48 को गलती से 23 दर्ज किया गया था। सही माध्य है

  • (a)35.5
  • (b)36.5
  • (c)61
  • (d)37.5
  उत्तर(2) — योग = 36 × 50 = 1,800; सुधारा गया योग = 1,800 − 23 + 48 = 1,825; माध्य = 1,825 ÷ 50 = 36.5।

  विकल्प (1) परिवर्तन उलटी दिशा में लगाता है; विकल्प (3) 25 का परिवर्तन सीधे माध्य में जोड़ देता है; विकल्प (4) किसी चरण से नहीं आता।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  20 संख्याओं का माध्य 15 है और अन्य 30 संख्याओं का माध्य 20 है। सभी 50 संख्याओं का माध्य है

  • (a)17.5
  • (b)18
  • (c)17
  • (d)35
  उत्तर(2) — योग 20 × 15 = 300 और 30 × 20 = 600 हैं, इसलिए माध्य = 900 ÷ 50 = 18। विकल्प (1) दोनों माध्यों का औसत लेता है और समूहों के आकार को अनदेखा करता है; विकल्प (4) माध्यों को जोड़ देता है; विकल्प (3) किसी चरण से नहीं आता।