₹ 8,000 की राशि पर एक निश्चित प्रतिशत वार्षिक दर से 3 वर्षों का साधारण ब्याज ₹ 3,600 है । यदि समान ब्याज दर पर उसी राशि पर 8-माही चक्रवृद्धि ब्याज लगाया जाता है, तो 2 वर्षों के बाद कुल चक्रवृद्धि ब्याज होगा
- (1)₹ 10,248
- (2)₹ 10,648
- (3)₹ 2,248
- (4)₹ 2,648
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (4), ₹ 2,648.
चरण 1 — साधारण ब्याज से वार्षिक दर निकालें, साधारण ब्याज = P × R × T ÷ 100।
3,600 = 8,000 × R × 3 ÷ 100
3,600 = 240 × R
R = 3,600 ÷ 240 = 15% वार्षिक
चरण 2 — 8-माही चक्रवृद्धि अवधि में बदलें।
प्रति अवधि दर = 15% × 8/12 = 10%
अवधियों की संख्या = 24 महीने ÷ 8 = 3
चरण 3 — 3 अवधियों के लिए चक्रवृद्धि करें।
(1.10)³ = 1.10 × 1.10 × 1.10 = 1.331
मिश्रधन = 8,000 × 1.331 = ₹ 10,648
चरण 4 — मूलधन घटाएँ।
चक्रवृद्धि ब्याज = 10,648 − 8,000 = ₹ 2,648
अवधि-दर-अवधि जाँच: 8,000 → 8,800 → 9,680 → 10,648। ब्याज है 800 + 880 + 968 = ₹ 2,648।
याद रखने की बात: हर k महीने पर चक्रवृद्धि में प्रति अवधि दर = वार्षिक दर × k/12, और अवधियों की संख्या = कुल महीने ÷ k।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (1)₹ 10,248 — ₹ 10,248 स्वयं ₹ 8,000 के मूलधन से बड़ा है, और उन्हीं 2 वर्षों के ₹ 2,400 साधारण ब्याज से बहुत ऊपर, इसलिए यह ब्याज नहीं हो सकता। यह ₹ 8,000 और विकल्प (3) के ₹ 2,248 का योग है, यानी गलत ब्याज पर बना मिश्रधन।
प्रश्न केवल चक्रवृद्धि ब्याज पूछता है, जो ₹ 2,648 है; 2 वर्षों के बाद मिश्रधन ₹ 10,648 है।
- (2)₹ 10,648 — ₹ 10,648 2 वर्षों के बाद का मिश्रधन है: मूलधन और ब्याज मिलाकर, 8,000 × 1.331।
प्रश्न कुल चक्रवृद्धि ब्याज पूछता है, इसलिए मूलधन घटाना होगा: 10,648 − 8,000 = ₹ 2,648।
- (3)₹ 2,248 — ₹ 2,248 एक त्वरित जाँच में विफल है। उसी 15% दर पर 2 वर्षों का साधारण ब्याज 8,000 × 15 × 2 ÷ 100 = ₹ 2,400 है।
तीन अवधियों में चक्रवृद्धि होने पर ब्याज पर भी ब्याज मिलता है, इसलिए चक्रवृद्धि ब्याज ₹ 2,400 से अधिक होना चाहिए। ₹ 2,248 कम है, इसलिए यह सही नहीं हो सकता; हल ₹ 2,648 देता है।
अवधारणा
साधारण ब्याज केवल आरंभिक मूलधन पर लगता है: साधारण ब्याज = P × R × T ÷ 100। चक्रवृद्धि ब्याज हर अवधि का ब्याज मूलधन में जोड़ देता है, इसलिए आगे की अवधियों में उस पर भी ब्याज मिलता है।
चक्रवृद्धि मिश्रधन A = P × (1 + r/100)ⁿ है, जहाँ r प्रति अवधि दर है और n अवधियों की संख्या। चक्रवृद्धि ब्याज = A − P।
हर k महीने पर चक्रवृद्धि होने वाली वार्षिक दर R से प्रति अवधि r = R × k/12 मिलता है, और n = कुल महीने ÷ k। 15% वार्षिक पर 8-माही अवधि में हर अवधि 10% की होती है।
समान नाममात्र दर पर, जितनी जल्दी-जल्दी चक्रवृद्धि हो, मिश्रधन उतना बड़ा होता है।
RPSC के 2024 के पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के अंतर्गत "आधारभूत संख्यात्मक दक्षता" में "साधारण एवं चक्रवृद्धि ब्याज" शामिल है।
ये दोनों विधियाँ बताती हैं कि जमा और ऋण कैसे बढ़ते हैं। साधारण ब्याज हर अवधि में समान राशि से बढ़ता है; चक्रवृद्धि ब्याज हर अवधि में समान प्रतिशत से बढ़ता है, जो गुणोत्तर वृद्धि है।
चक्रवृद्धि का यही सूत्र निश्चित प्रतिशत से जनसंख्या वृद्धि के लिए, और ऋण चिह्न के साथ, किसी संपत्ति के मूल्यह्रास के लिए भी प्रयोग होता है।
मुख्य तथ्य
- साधारण ब्याज = P × R × T ÷ 100; यहाँ 3,600 = 8,000 × R × 3 ÷ 100 से R = 15% वार्षिक मिलता है।
- हर k महीने पर चक्रवृद्धि: प्रति अवधि दर = वार्षिक दर × k/12; अवधियों की संख्या = कुल महीने ÷ k।
- चक्रवृद्धि मिश्रधन = P × (1 + r/100)ⁿ, जहाँ r प्रति अवधि दर है; चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन − मूलधन।
- (1.1)² = 1.21 और (1.1)³ = 1.331, इसलिए 3 अवधियों तक 10% किसी राशि को 1.331 से गुणा कर देता है।
- r% प्रति अवधि पर 3 अवधियों में, चक्रवृद्धि ब्याज − साधारण ब्याज = P × (r/100)² × (3 + r/100); यहाँ 8,000 × 0.01 × 3.1 = ₹ 248।
15% वार्षिक पर 2 वर्षों का साधारण ब्याज ₹ 2,400 होता; अतिरिक्त ₹ 248 पहले के ब्याज पर मिला ब्याज है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- प्रति अवधि 15% लगाना। 15% वार्षिक है, इसलिए 8-माही अवधि में 15 × 8/12 = 10% लगता है; तीन अवधियों तक 15% लगाने से ब्याज ₹ 4,167 आएगा।
- समय 2 वर्ष होने से दो अवधियाँ गिनना। 8 महीने प्रति अवधि पर 24 महीनों में 3 अवधियाँ हैं; दो अवधियों तक 15% लगाने से मिश्रधन ₹ 10,580 आएगा।
- मिश्रधन, ₹ 10,648, पर रुक जाना, जबकि प्रश्न कुल चक्रवृद्धि ब्याज पूछता है।
कोई प्रश्न साधारण ब्याज देकर उसी दर पर चक्रवृद्धि ब्याज पूछ सकता है, या दोनों का अंतर देकर मूलधन या दर पूछ सकता है।
कोई प्रश्न चक्रवृद्धि की अवधि एक वर्ष, आधा वर्ष, एक तिमाही, या 8 महीने जैसा कोई अंतराल रख सकता है।
संबंधित PYQ
RAS प्री 2023 और 2016 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
₹ 10,000 पर 2 वर्षों का साधारण ब्याज ₹ 2,400 है। उसी वार्षिक दर पर, यदि ब्याज हर 6 महीने पर चक्रवृद्धि हो, तो उसी राशि पर 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
- (a)₹ 1,200
- (b)₹ 1,236
- (c)₹ 11,236
- (d)₹ 2,544
उत्तर(2) — दर = 12% वार्षिक, इसलिए 2 अवधियों तक 6% प्रति छमाही: 10,000 × 1.1236 = ₹ 11,236, और ब्याज = ₹ 1,236।विकल्प (1) 1 वर्ष का साधारण ब्याज है; विकल्प (3) मिश्रधन है; विकल्प (4) 2 वर्षों तक 12% वार्षिक पर चक्रवृद्धि ब्याज है।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
₹ 16,000 पर 20% वार्षिक दर से, तिमाही चक्रवृद्धि होने पर, 9 महीनों का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
- (a)₹ 2,400
- (b)₹ 2,522
- (c)₹ 18,522
- (d)₹ 11,648
उत्तर(2) — 3 तिमाहियों तक 5% प्रति तिमाही: 16,000 × 1.157625 = ₹ 18,522, इसलिए ब्याज = ₹ 2,522।विकल्प (1) 9 महीनों का साधारण ब्याज है; विकल्प (3) मिश्रधन है; विकल्प (4) हर तिमाही पर 20% लगाता है।