एक गृहिणी के पास 1000 मिली लीटर का मिश्रण है, जिसमें दूध और पानी का अनुपात 3:1 है । वो इसमें दूध और पानी के 3:2 अनुपात वाले 250 मिली लीटर मिश्रण को मिलाती है । तब वो इस संयुक्त मिश्रण में से 250 मिली लीटर का उपयोग दही बनाने के लिये करती है । शेष बचे हुये मिश्रण में कितना शुद्ध दूध बचा हुआ है ?
- (1)1000 मिली लीटर
- (2)912 मिली लीटर
- (3)750 मिली लीटर
- (4)720 मिली लीटर
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (4), 720 मिली लीटर.
चरण 1 — पहले मिश्रण को बाँटें। 3 : 1 में दूध आयतन का 3/(3 + 1) = 3/4 है।
दूध = 1000 × 3/4 = 750 मिली लीटर
पानी = 1000 × 1/4 = 250 मिली लीटर
चरण 2 — मिलाए गए मिश्रण को बाँटें। 3 : 2 में दूध 3/(3 + 2) = 3/5 है।
दूध = 250 × 3/5 = 150 मिली लीटर
पानी = 250 × 2/5 = 100 मिली लीटर
चरण 3 — दूध में दूध और पानी में पानी जोड़ें।
दूध = 750 + 150 = 900 मिली लीटर
पानी = 250 + 100 = 350 मिली लीटर
कुल = 900 + 350 = 1250 मिली लीटर
चरण 4 — संयुक्त मिश्रण में से 250 मिली लीटर निकालें।
निकाला गया भाग = 250 ÷ 1250 = 1/5
निकला दूध = 900 × 1/5 = 180 मिली लीटर
बचा दूध = 900 − 180 = 720 मिली लीटर
जाँच: बचा पानी = 350 × 4/5 = 280 मिली लीटर, और 720 + 280 = 1000 मिली लीटर, जो 250 मिली लीटर उपयोग होने के बाद बचा आयतन है।
याद रखने की बात: एकसमान मिश्रण से लिया गया हिस्सा हर घटक को मिश्रण के अपने अनुपात में ले जाता है, इसलिए दही के लिए लिए गए 250 मिली लीटर में 180 मिली लीटर दूध है, 250 मिली लीटर नहीं।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (1)1000 मिली लीटर — 1000 मिली लीटर दही बनाने के बाद बचा पूरा आयतन है, दूध और पानी मिलाकर: 1250 − 250 = 1000 मिली लीटर।
प्रश्न केवल शुद्ध दूध पूछता है। उस 1000 मिली लीटर में 280 मिली लीटर पानी है, इसलिए दूध 720 मिली लीटर है।
- (2)912 मिली लीटर — 912 मिली लीटर हल के किसी भी चरण से नहीं आता। रास्ते में दूध के आँकड़े हैं 750 मिली लीटर, फिर मिलाने के बाद 900 मिली लीटर, फिर निकालने के बाद 720 मिली लीटर।
यह एक त्वरित जाँच में भी विफल है: 912 मिली लीटर कुछ भी निकालने से पहले मौजूद 900 मिली लीटर दूध से अधिक है, इसलिए यह बाद में बचा दूध नहीं हो सकता।
- (3)750 मिली लीटर — 750 मिली लीटर 3 : 1 वाले मूल 1000 मिली लीटर मिश्रण का दूध है, कुछ भी मिलाने या निकालने से पहले।
मिलाया गया मिश्रण 150 मिली लीटर दूध लाता है, जिससे दूध 900 मिली लीटर हो जाता है। फिर दही के लिए लिया गया 250 मिली लीटर उसमें से 180 मिली लीटर दूध निकाल देता है, और 720 मिली लीटर बचता है।
अवधारणा
एकसमान मिश्रण में हर घटक पूरे का एक निश्चित भाग होता है। a : b अनुपात वाले दूध और पानी में दूध आयतन का a/(a + b) और पानी b/(a + b) होता है।
दो मिश्रण हर घटक को अलग-अलग जोड़कर मिलाए जाते हैं। अनुपात के पद जोड़ने से काम नहीं चलता: 3 + 3 : 1 + 2 से 6 : 3 मिलता है, पर 3 : 1 वाले 1000 मिली लीटर और 3 : 2 वाले 250 मिली लीटर में 900 मिली लीटर दूध और 350 मिली लीटर पानी है, यानी 18 : 7।
जब अच्छी तरह मिले मिश्रण का कुछ भाग निकाला जाता है, तो हर घटक उसी भाग से घटता है जिससे कुल आयतन, इसलिए बचे हुए का अनुपात नहीं बदलता।
यही नियम बार-बार निकालने और बदलने पर भी लागू होता है: यदि V इकाई में से x इकाई निकालकर पानी से n बार बदली जाए, तो बचा दूध = मूल दूध × (1 − x/V)ⁿ।
RPSC के 2024 के पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के अंतर्गत "आधारभूत संख्यात्मक दक्षता" में "अनुपात–समानुपात तथा साझा" और "प्रतिशत" शामिल हैं। मिश्रण भौतिक मात्राओं पर लागू अनुपात का तर्क है।
पूरे के भाग वाला यही विचार दो धातुओं की मिश्रधातुओं, निश्चित सांद्रता वाले विलयनों, और अलग-अलग कीमतों पर खरीदे सामान के मिश्रण में भी चलता है।
साझा भी किसी कुल को अनुपात में बाँटने का यही तरीका लेता है: लाभ साझेदारों में इस अनुपात में बँटता है कि किसने कितना और कितने समय के लिए निवेश किया।
मुख्य तथ्य
- a : b अनुपात में पहला भाग पूरे का a/(a + b) है; 3 : 1 में दूध 3/4 है, और 3 : 2 में दूध 3/5 है।
- दो मिश्रण मिलाने पर दूध में दूध और पानी में पानी जोड़ा जाता है; अनुपात स्वयं नहीं जोड़े जा सकते।
- एकसमान मिश्रण का कुछ भाग निकालने पर हर घटक उसी भाग से घटता है, इसलिए बचा हुआ अनुपात नहीं बदलता।
- इस प्रश्न में संयुक्त मिश्रण में 900 मिली लीटर दूध और 350 मिली लीटर पानी है, यानी 18 : 7 का अनुपात।
- V इकाई में से x इकाई निकालकर पानी से n बार बदलने पर बचता है: मूल दूध × (1 − x/V)ⁿ।
निकाला गया 250 मिली लीटर संयुक्त मिश्रण का पाँचवाँ भाग है, इसलिए यह दूध का भी पाँचवाँ भाग लेता है और पानी का भी।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- 3 : 2 को दूध = आयतन का 3/2 या 3/4 मान लेना। हर अनुपात के पदों का योग है, 3 + 2 = 5, इसलिए दूध 250 मिली लीटर का 3/5 = 150 मिली लीटर है।
- निकाले गए पूरे 250 मिली लीटर को दूध में से घटा देना (900 − 250 = 650 मिली लीटर)। निकाला गया 250 मिली लीटर मिश्रण है, और उसमें 180 मिली लीटर दूध है।
- बचा हुआ आयतन, 1000 मिली लीटर, बता देना, जबकि प्रश्न केवल शुद्ध दूध पूछता है।
कोई प्रश्न शुद्ध द्रव मिलाने के बाद, दो मिश्रण मिलाने के बाद, या मिश्रण का कुछ भाग निकालकर बदलने के बाद किसी एक घटक की मात्रा पूछ सकता है।
कोई प्रश्न लक्ष्य अनुपात देकर यह भी पूछ सकता है कि उस तक पहुँचने के लिए कितना दूध या पानी मिलाना होगा।
संबंधित PYQ
RAS प्री 2018 और 2016 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एक बर्तन में 7 : 3 अनुपात वाला 60 लीटर दूध और पानी का मिश्रण है। मिश्रण में से 10 लीटर निकालकर उसकी जगह 10 लीटर पानी डाला जाता है। अब बर्तन में कितना दूध है?
- (a)32 लीटर
- (b)35 लीटर
- (c)42 लीटर
- (d)25 लीटर
उत्तर(2) — दूध = 42 लीटर; 60 में से 10 लीटर निकालना उसका 1/6 भाग ले जाता है, जिससे 42 × 5/6 = 35 लीटर बचता है। मिलाया गया पानी दूध नहीं बदलता।विकल्प (1) पूरे 10 लीटर दूध में से घटाता है; विकल्प (3) निकालने से पहले का दूध है; विकल्प (4) अब का पानी है (15 + 10 = 25 लीटर)।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
500 मिली लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 4 : 1 है, और 600 मिली लीटर के दूसरे मिश्रण में 1 : 1। दोनों को मिलाने पर नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात है
- (a)7 : 4
- (b)5 : 2
- (c)4 : 1
- (d)1 : 1
उत्तर(1) — दूध = 400 + 300 = 700 मिली लीटर और पानी = 100 + 300 = 400 मिली लीटर, इसलिए अनुपात 7 : 4 है।विकल्प (2) अनुपात के पद जोड़ता है (4 + 1 : 1 + 1), जिससे दोनों आयतन अनदेखे रह जाते हैं; विकल्प (3) और (4) अलग-अलग मिश्रणों के अनुपात हैं।