बिन्दु A से श्रीमान X दक्षिण की ओर चलना प्रारम्भ करता है । 20 मीटर चलने के बाद वह बिन्दु B पर पहुँचता है । अब वह बायीं ओर मुड़कर 20 मीटर चलने के बाद बिन्दु C पर पहुँचता है । अब वह 45° वामावर्त दिशा में मुड़कर, 20√3 मीटर चलकर बिन्दु D पर पहुँचता है, तो बिन्दु A से बिन्दु D की न्यूनतम दूरी क्या है ?
- (1)20√3 मीटर
- (2)40 मीटर
- (3)20√5 मीटर
- (4)40√3 मीटर
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (3), 20√5 मीटर.
A को मूल बिन्दु पर रखें, पूर्व को +x और उत्तर को +y मानें।
चरण 1 — A से B: 20 मीटर दक्षिण। B = (0, −20)।
चरण 2 — दक्षिण की ओर मुँह हो तो बायीं ओर मुड़ने पर मुँह पूर्व की ओर होता है। B से C: 20 मीटर पूर्व। C = (20, −20)।
चरण 3 — पूर्व की ओर मुँह हो तो 45° वामावर्त मुड़ने पर मुँह उत्तर-पूर्व की ओर होता है। C से D: 20√3 मीटर उत्तर-पूर्व।
चरण 4 — A और C को मिलाएँ: AC = √(20² + 20²) = √800 = 20√2 मीटर।
चरण 5 — C से देखने पर A उत्तर-पश्चिम में है और D उत्तर-पूर्व में। ये दिशाएँ 90° के अंतर पर हैं, इसलिए कोण ACD = 90°।
चरण 6 — त्रिभुज ACD में पाइथागोरस प्रमेय:
AD² = (20√2)² + (20√3)²
AD² = 800 + 1200 = 2000
AD = √2000 = √(400 × 5) = 20√5 मीटर (लगभग 44.7 मीटर)
निर्देशांकों से जाँच: D = (20 + 10√6, −20 + 10√6), और AD² = (20 + 10√6)² + (10√6 − 20)² = 1000 + 400√6 + 1000 − 400√6 = 2000।
याद रखने की बात: कई मोड़ों के बाद, आरंभ बिन्दु तक की रेखा और अंतिम चरण के बीच समकोण खोजें।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (1)20√3 मीटर — 20√3 मीटर CD की लंबाई है, यात्रा का अंतिम चरण, A से दूरी नहीं।
A, C से 20√2 मीटर दूर है, CD से समकोण बनाती रेखा पर। इसलिए AD उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी एक भुजा CD है, और उसे CD से लंबा होना ही चाहिए: AD² = 800 + 1200 = 2000।
- (2)40 मीटर — 40 मीटर के लिए AD² = 1600 चाहिए। पाइथागोरस वाला चरण यह तभी देता है जब AC को 20 मीटर मान लिया जाए: 400 + 1200 = 1600।
पर A से C 20 मीटर × 20 मीटर के कोने का विकर्ण है, इसलिए AC = 20√2 मीटर और AC² = 800। सही AC लेने पर AD² = 2000 और AD = 20√5 मीटर।
- (4)40√3 मीटर — 40√3 मीटर लगभग 69.3 मीटर है। दो चरणों वाला रास्ता A → C → D केवल 20√2 + 20√3 ≈ 28.3 + 34.6 = 62.9 मीटर है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार, दो बिन्दुओं के बीच सीधी रेखा उन्हीं बिन्दुओं के बीच दो चरणों वाले रास्ते से लंबी नहीं हो सकती, इसलिए 40√3 मीटर असंभव है।
अवधारणा
दिशा ज्ञान की समस्या में हर मोड़ उस दिशा से मापा जाता है जिधर व्यक्ति का मुँह है। बायाँ मोड़ 90° वामावर्त है और दायाँ मोड़ 90° दक्षिणावर्त। किसी मुख्य दिशा से 45° का मोड़ दो मुख्य दिशाओं के ठीक बीच पहुँचाता है: उत्तर-पूर्व, दक्षिण-पूर्व, दक्षिण-पश्चिम या उत्तर-पश्चिम।
दो बिन्दुओं के बीच न्यूनतम दूरी उन्हें मिलाने वाली सीधी रेखा है। जब संबंधित चरण समकोण पर मिलते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय सीधे यह दूरी देता है।
जब वे समकोण पर नहीं मिलते, तो हर चरण को पूर्व–पश्चिम भाग और उत्तर–दक्षिण भाग में बाँटें, भागों को जोड़ें, और योगों पर पाइथागोरस लगाएँ।
RPSC के 2024 के पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के अंतर्गत "मानसिक योग्यता" में "दिशा ज्ञान परीक्षण" शामिल है।
आठ दिशाएँ एक-दूसरे से 45° पर हैं: उत्तर, उत्तर-पूर्व, पूर्व, दक्षिण-पूर्व, दक्षिण, दक्षिण-पश्चिम, पश्चिम और उत्तर-पश्चिम। वामावर्त उत्तर से पश्चिम की ओर चलता है; दक्षिणावर्त उत्तर से पूर्व की ओर।
45° वाले चरणों के रास्तों में करणी आती हैं। उपयोगी मान: √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732 और √5 ≈ 2.236। 45° दिशा में L लंबाई का चरण हर अक्ष पर L ÷ √2 चलता है, इसीलिए 20√3 मीटर उत्तर-पूर्व, 10√6 मीटर पूर्व और 10√6 मीटर उत्तर बन जाता है।
मुख्य तथ्य
- बायाँ मोड़ 90° वामावर्त है और दायाँ मोड़ 90° दक्षिणावर्त, दोनों उस दिशा से मापे जाते हैं जिधर व्यक्ति का मुँह है।
- पूर्व की ओर मुँह हो तो 45° वामावर्त मोड़ उत्तर-पूर्व की ओर ले जाता है; 45° दक्षिणावर्त मोड़ दक्षिण-पूर्व की ओर।
- इस यात्रा में AC = 20√2 मीटर दक्षिण-पूर्व की ओर, CD = 20√3 मीटर उत्तर-पूर्व की ओर, और कोण ACD = 90° है।
- AD² = (20√2)² + (20√3)² = 800 + 1200 = 2000, इसलिए AD = 20√5 मीटर, लगभग 44.7 मीटर।
- त्रिभुज असमिका: त्रिभुज की कोई भी भुजा बाकी दो भुजाओं के योग से छोटी होती है।
त्रिभुज ACD, C पर समकोण है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- "बायाँ" इस पर निर्भर है कि मुँह किधर है। दक्षिण की ओर चलते हुए बायाँ मोड़ पूर्व की ओर ले जाता है, पश्चिम की ओर नहीं।
- पूर्व से वामावर्त घूमना उत्तर की ओर जाता है। पूर्व से 45° वामावर्त मोड़ उत्तर-पूर्व है, दक्षिण-पूर्व नहीं।
- उत्तर को रास्ते से जाँचें: सीधी दूरी AC + CD से अधिक नहीं हो सकती, जो यहाँ लगभग 62.9 मीटर है।
कोई प्रश्न मोड़ों और दूरियों वाली यात्रा का वर्णन करके आरंभ बिन्दु से न्यूनतम दूरी पूछ सकता है, जैसा यह प्रश्न करता है, अंत में मुँह किस दिशा में है, या आरंभ से अंतिम बिन्दु किस दिशा में है। कोई प्रश्न मोड़ों को बाएँ और दाएँ के रूप में, या दक्षिणावर्त और वामावर्त कोणों के रूप में दे सकता है।
संबंधित PYQ
RAS प्री 2021 और 2013 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
बिन्दु O से रवि 10 मीटर पूर्व चलकर P पर पहुँचता है। वह 90° वामावर्त मुड़कर 10 मीटर चलकर Q पर पहुँचता है। फिर वह 45° दक्षिणावर्त मुड़कर 10√2 मीटर चलकर R पर पहुँचता है। O और R के बीच न्यूनतम दूरी क्या है?
- (a)20 मीटर
- (b)20√2 मीटर
- (c)30 मीटर
- (d)10√5 मीटर
उत्तर(2) — O = (0, 0); P = (10, 0); पूर्व की ओर मुँह हो तो 90° वामावर्त मुड़ने पर मुँह उत्तर की ओर, इसलिए Q = (10, 10); उत्तर की ओर मुँह हो तो 45° दक्षिणावर्त मुड़ने पर मुँह उत्तर-पूर्व की ओर, और 10√2 मीटर उत्तर-पूर्व (10, 10) जोड़ता है, इसलिए R = (20, 20)। OR = √(400 + 400) = 20√2 मीटर।विकल्प (1), 20 मीटर, इसके बजाय 45° वामावर्त मुड़ने से आता है (R = (0, 20)); विकल्प (3), 30 मीटर, और (4), 10√5 मीटर, बताए गए रास्ते से नहीं आते।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
मीना बिन्दु P से 30 मीटर उत्तर चलती है, फिर दायीं ओर मुड़कर 40 मीटर चलकर बिन्दु Q पर पहुँचती है। Q, P से कितनी दूर है?
- (a)10 मीटर
- (b)50 मीटर
- (c)70 मीटर
- (d)25 मीटर
उत्तर(2) — उत्तर की ओर मुँह हो तो दायाँ मोड़ पूर्व की ओर ले जाता है, इसलिए Q, P से 40 मीटर पूर्व और 30 मीटर उत्तर में है। PQ = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 मीटर।विकल्प (1), 10 मीटर, चरणों को घटाता है; विकल्प (3), 70 मीटर, उन्हें जोड़ता है, जो चली गई दूरी है, सीधी रेखा नहीं; विकल्प (4), 25 मीटर, का रास्ते में कोई आधार नहीं है।