यदि निम्न बंटन की माध्यिका A और बहुलक B सम्बन्ध 7 (B – A) = 9C को संतुष्ट करते हैं, तो C का मान ज्ञात कीजिये : वर्ग | 0-30 | 30-60 | 60-90 | 90-120 आवृत्ति | 4 | 5 | 7 | 4
- (1)9
- (2)8
- (3)7
- (4)6
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (4), 6.
चरण 1 — कुल और संचयी आवृत्तियाँ।
N = 4 + 5 + 7 + 4 = 20
संचयी आवृत्तियाँ: 4, 9, 16, 20
चरण 2 — माध्यिका वर्ग।
N ÷ 2 = 10; संचयी आवृत्ति पहली बार वर्ग 60-90 में 10 से आगे जाती है।
L = 60, वर्ग से पहले की cf = 9, f = 7, h = 30
चरण 3 — माध्यिका A।
A = L + [(N/2 − cf) ÷ f] × h
A = 60 + [(10 − 9) ÷ 7] × 30 = 60 + 30/7 = 450/7
चरण 4 — बहुलक वर्ग।
सबसे अधिक आवृत्ति, 7, वर्ग 60-90 को बहुलक वर्ग बनाती है।
f₁ = 7, f₀ = 5 (पहले का वर्ग), f₂ = 4 (बाद का वर्ग)
चरण 5 — बहुलक B।
B = L + [(f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)] × h
B = 60 + [2 ÷ 5] × 30 = 60 + 12 = 72
चरण 6 — अंतर B − A।
72 − 450/7 = 504/7 − 450/7 = 54/7
चरण 7 — C का मान निकालें।
7 (B – A) = 7 × 54/7 = 54
9C = 54
C = 6
याद रखने की बात: वर्गीकृत आँकड़ों में पहले वर्ग खोजें (माध्यिका के लिए N/2, बहुलक के लिए सबसे अधिक आवृत्ति), फिर उसी वर्ग के भीतर अंतर्वेशन करें।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (1)9 — विकल्प (1) के लिए 9C = 81 चाहिए, यानी B − A = 81/7 ≈ 11.6।
हल से B = 72 और A = 450/7 ≈ 64.3 मिलते हैं, यानी 54/7 ≈ 7.7 का अंतर। तब 7 (B – A) = 54, और C = 54 ÷ 9 = 6।
- (2)8 — विकल्प (2) के लिए 7 (B – A) = 72 चाहिए, यानी बहुलक और माध्यिका में 72/7 ≈ 10.3 का अंतर।
72 स्वयं बहुलक B है, पर संबंध में अंतर B − A का सात गुना लिया गया है। A = 450/7 के साथ वह अंतर 54/7 है, इसलिए 7 (B – A) = 54 और C = 6।
- (3)7 — विकल्प (3) के लिए 7 (B – A) = 63 चाहिए, यानी B − A ठीक 9।
यहाँ माध्यिका पूर्ण संख्या नहीं है: A = 60 + 30/7 ≈ 64.29। इसलिए B − A ≈ 72 − 64.29 = 7.71, उसका सात गुना 54 है, और C = 6।
अवधारणा
वर्ग अंतराल h वाले वर्गीकृत आँकड़ों में माध्यिका उस वर्ग में होती है जहाँ संचयी आवृत्ति पहली बार N/2 तक पहुँचती है:
माध्यिका = L + [(N/2 − cf) ÷ f] × h, जहाँ L उस वर्ग की निम्न सीमा, cf उससे पहले की संचयी आवृत्ति और f उसकी आवृत्ति है।
बहुलक सबसे अधिक आवृत्ति वाले वर्ग में होता है:
बहुलक = L + [(f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)] × h, जहाँ f₀ और f₂ पहले और बाद के वर्गों की आवृत्तियाँ हैं।
दोनों सूत्र वर्गीकृत सारणी से अनुमान देते हैं, मूल आँकड़ों से सटीक मान नहीं।
RPSC के प्रारंभिक परीक्षा पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के अंतर्गत "आधारभूत संख्यात्मक दक्षता" में "माध्य (समांतर, गुणोत्तर एवं हरात्मक), माध्यिका एवं बहुलक" शामिल है।
केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों माप अलग-अलग ढंग से व्यवहार करते हैं। माध्य हर मान का प्रयोग करता है, माध्यिका बीच का मान है और चरम मानों से कम प्रभावित होती है, और बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान है।
मध्यम रूप से विषम बंटन में ये लगभग बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य से जुड़े होते हैं। यहाँ माध्य 61.5 है, और यह संबंध लगभग 69.9 देता है, जो सूत्र के 72 के निकट है पर उसके बराबर नहीं।
मुख्य तथ्य
- N = 20; संचयी आवृत्तियाँ 4, 9, 16, 20; माध्यिका वर्ग और बहुलक वर्ग दोनों 60-90 हैं।
- माध्यिका A = 60 + (1/7) × 30 = 450/7 ≈ 64.29।
- बहुलक B = 60 + (2/5) × 30 = 72।
- B − A = 54/7, इसलिए 7 (B – A) = 54 = 9C और C = 6।
- मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए आनुभविक संबंध: बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य।
N/2 = 10 वर्ग 60-90 में आता है, और उसी वर्ग की आवृत्ति सबसे अधिक है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- सूत्र के स्थान पर आनुभविक संबंध लगाना। बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य लगभग 69.9 देता है, जिससे 7 (B – A) = 39 और C = 13/3 आता है, जो पूर्ण संख्या नहीं है।
- पिछले वर्ग तक की संचयी आवृत्ति 9 के स्थान पर माध्यिका वर्ग की अपनी संचयी आवृत्ति 16 ले लेना। इससे माध्यिका 60 से नीचे आती है, अपने ही वर्ग से बाहर।
- बहुलक सूत्र में f₀ और f₂ की अदला-बदली। f₀ पहले का वर्ग (5) है और f₂ बाद का वर्ग (4); अदला-बदली करने पर अंश 7 − 4 = 3 और बहुलक 78 हो जाता है।
कोई प्रश्न वर्गीकृत आवृत्ति सारणी देकर माध्यिका, बहुलक या माध्य पूछ सकता है, या उनमें से दो को किसी समीकरण में जोड़ सकता है, जैसा यह प्रश्न करता है।
कोई प्रश्न माध्य और माध्यिका देकर आनुभविक संबंध के माध्यम से बहुलक भी पूछ सकता है।
संबंधित PYQ
UnlockIAS ने इस प्रश्न की तुलना अन्य RAS प्रारंभिक परीक्षा प्रश्न-पत्रों के प्रश्नों से की; कोई भी जोड़ने लायक मिलता-जुलता प्रश्न नहीं मिला।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिये : वर्ग | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 आवृत्ति | 3 | 8 | 5 | 4
- (a)15
- (b)16.25
- (c)18.75
- (d)13.75
उत्तर(2) — बहुलक वर्ग 10-20 (f₁ = 8), जिसमें f₀ = 3 और f₂ = 5: बहुलक = 10 + [(8 − 3) ÷ (16 − 3 − 5)] × 10 = 10 + (5/8) × 10 = 16.25।विकल्प (1) बहुलक वर्ग का मध्य-बिंदु है, विकल्प (3) इस बंटन की माध्यिका है, और विकल्प (4) f₀ और f₂ की अदला-बदली करता है।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एक मध्यम रूप से विषम बंटन में माध्य 40 और माध्यिका 38 है । माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच आनुभविक संबंध से बहुलक क्या है ?
- (a)34
- (b)36
- (c)42
- (d)44
उत्तर(1) — बहुलक ≈ 3 × माध्यिका − 2 × माध्य = 3 × 38 − 2 × 40 = 114 − 80 = 34।विकल्प (4) संबंध में माध्य और माध्यिका की अदला-बदली करता है (3 × 40 − 2 × 38 = 44); विकल्प (2) और (3) संबंध से नहीं आते।