एक विद्यालय के तीन विद्यार्थी A, B और C एक प्रतिस्पर्धा में 3 : 4 : 5 के अनुपात में नगद पुरस्कार प्राप्त करते हैं । इसके बाद विद्यालय के प्राचार्य प्रत्येक विद्यार्थी को ₹ 4,000 देते हैं । परिणामस्वरूप अब A, B और C के नगद पुरस्कार का अनुपात 5 : 6 : 7 हो जाता है । B को प्रतिस्पर्धा में कितनी राशि मिली ?
- (1)₹ 12,000
- (2)₹ 10,000
- (3)₹ 8,000
- (4)₹ 6,000
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (3), ₹ 8,000.
चरण 1 — पुरस्कारों को 3 : 4 : 5 के अनुपात में लिखें।
A = 3x, B = 4x, C = 5x
चरण 2 — हर एक में ₹ 4,000 जोड़ें।
A = 3x + 4,000, B = 4x + 4,000, C = 5x + 4,000
चरण 3 — नया अनुपात A : B = 5 : 6 लगाएँ।
6 × (3x + 4,000) = 5 × (4x + 4,000)
18x + 24,000 = 20x + 20,000
2x = 4,000
x = 2,000
चरण 4 — प्रतिस्पर्धा में B का पुरस्कार।
B = 4x = 4 × 2,000 = ₹ 8,000
चरण 5 — तीनों की जाँच करें।
पुरस्कार: ₹ 6,000, ₹ 8,000, ₹ 10,000
हर एक को ₹ 4,000 के बाद: ₹ 10,000, ₹ 12,000, ₹ 14,000
10,000 : 12,000 : 14,000 = 5 : 6 : 7 ✓
छोटा रास्ता: सबको बराबर राशि देने से पुरस्कारों के बीच के अंतर नहीं बदलते। पड़ोसी पुरस्कारों का अंतर 3 : 4 : 5 में भी एक भाग है और 5 : 6 : 7 में भी, इसलिए दोनों अनुपातों की इकाई x एक ही है। तब A की नई राशि 5x है: 3x + 4,000 = 5x, और x = 2,000।
याद रखने की बात: जब हर हिस्से में बराबर राशि जोड़ी जाती है, तो असमान हिस्सों का अनुपात बदलता है पर हिस्सों के बीच के अंतर नहीं बदलते।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (1)₹ 12,000 — विकल्प (1) प्राचार्य से राशि मिलने के बाद B का कुल है: ₹ 8,000 + ₹ 4,000 = ₹ 12,000।
प्रश्न पूछता है कि B को प्रतिस्पर्धा में कितनी राशि मिली, यानी ₹ 4,000 जुड़ने से पहले। वह 4 × 2,000 = ₹ 8,000 है।
- (2)₹ 10,000 — विकल्प (2) प्रतिस्पर्धा में C का पुरस्कार है, 5 × 2,000, और प्राचार्य से राशि मिलने के बाद A की राशि भी, 6,000 + 4,000।
3 : 4 : 5 के अनुपात में B का हिस्सा 4 भाग है, 5 नहीं। एक भाग ₹ 2,000 का होने पर B को ₹ 8,000 मिले।
- (4)₹ 6,000 — विकल्प (4) प्रतिस्पर्धा में A का पुरस्कार है, 3 × 2,000 = ₹ 6,000।
यह 3 भागों का सही मान है, पर 3 : 4 : 5 के अनुपात में B के 4 भाग हैं, इसलिए B को 4 × 2,000 = ₹ 8,000 मिले।
अवधारणा
अनुपात a : b : c बताता है कि हिस्से एक ही साझा इकाई के a, b और c भाग हैं। हिस्सों को ax, bx और cx लिखने से, x ज्ञात होते ही, अनुपात राशियों में बदल जाता है।
असमान हिस्सों में समान राशि जोड़ने से अनुपात बदलता है पर हिस्सों के बीच के अंतर नहीं। इससे दो रास्ते मिलते हैं: नए अनुपात से समीकरण, या न बदलने वाले अंतर।
समान राशि घटाने पर भी यही होता है। हर हिस्से को एक ही संख्या से गुणा करने पर अनुपात स्वयं नहीं बदलता।
RPSC के प्रारंभिक परीक्षा पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के अंतर्गत "आधारभूत संख्यात्मक दक्षता" में "अनुपात–समानुपात तथा साझा" शामिल है।
आयु समान वृद्धि का एक उदाहरण है: हर व्यक्ति उतने ही वर्ष बड़ा होता है, इसलिए दो व्यक्तियों की आयु का अंतर स्थिर रहता है जबकि उनकी आयु अलग-अलग होने पर आयु का अनुपात बदलता है।
साझेदारी की गणनाओं में भी भागों का यही विचार है: लाभ हर साझेदार की पूँजी और उसके निवेश की अवधि के गुणनफल के अनुपात में बँटता है, जब तक गणना में कोई अन्य समझौता न बताया गया हो।
मुख्य तथ्य
- 3 : 4 : 5 के अनुपात वाले हिस्से किसी साझा इकाई x के लिए 3x, 4x और 5x हैं।
- हर हिस्से में समान राशि जोड़ने से हिस्सों के बीच के अंतर नहीं बदलते।
- यहाँ x = ₹ 2,000, इसलिए पुरस्कार ₹ 6,000, ₹ 8,000 और ₹ 10,000 थे।
- हर एक को ₹ 4,000 मिलने के बाद राशियाँ ₹ 10,000, ₹ 12,000 और ₹ 14,000 हैं, जिनका अनुपात 5 : 6 : 7 है।
- साझेदारी की गणना में लाभ पूँजी × निवेश अवधि के अनुपात में बँटता है, जब तक कोई अन्य समझौता न बताया गया हो।
पड़ोसी पुरस्कारों के बीच ₹ 2,000 का अंतर राशि मिलने से पहले और बाद में समान है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- राशि मिलने के बाद की रकम उत्तर में लिखना। प्रश्न पूछता है कि B को प्रतिस्पर्धा में क्या मिला, ₹ 8,000, न कि B का बाद का कुल ₹ 12,000।
- अनुपात की संख्याओं को रुपये मान लेना। 3 : 4 : 5 का 5 : 6 : 7 हो जाना यह नहीं बताता कि हर एक में ₹ 2 जोड़े गए; भाग किसी अज्ञात x के गुणज हैं।
- एक जोड़ी से हल निकालकर तीसरे की जाँच न करना। A और B से मिला x = 2,000, C : A = 7 : 5 भी देना चाहिए; ₹ 14,000 : ₹ 10,000 इसकी पुष्टि करता है।
कोई प्रश्न हर हिस्से में समान राशि जोड़कर या घटाकर नया अनुपात दे सकता है, जैसा यह प्रश्न करता है, या राशियाँ देकर नया अनुपात पूछ सकता है।
कोई प्रश्न यही विचार आयु, मिश्रण, वेतन या साझेदारी के लाभ में रख सकता है।
संबंधित PYQ
RAS प्री 2016 और 2013 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
दो भाइयों की वर्तमान आयु का अनुपात 2 : 3 है । 6 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 3 : 4 होगा । बड़े भाई की वर्तमान आयु क्या है ?
- (a)12 वर्ष
- (b)18 वर्ष
- (c)24 वर्ष
- (d)15 वर्ष
उत्तर(2) — आयु 2x और 3x का अंतर x रहता है। 6 वर्ष बाद अनुपात 3 : 4 में भी अंतर एक भाग है, इसलिए तब छोटे भाई की आयु 3x है: 2x + 6 = 3x, x = 6। बड़े भाई की आयु 3 × 6 = 18 वर्ष है।विकल्प (1) छोटे भाई की वर्तमान आयु है, विकल्प (3) 6 वर्ष बाद बड़े भाई की आयु, और विकल्प (4) आयु 10 और 15 देता है, जो 16 और 21 हो जाती हैं, 3 : 4 नहीं।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
दो संख्याओं का अनुपात 4 : 7 है । यदि प्रत्येक में से 6 घटाया जाए, तो अनुपात 1 : 2 हो जाता है । बड़ी संख्या क्या है ?
- (a)24
- (b)36
- (c)42
- (d)18
उत्तर(3) — संख्याएँ 4x और 7x: 2 × (4x − 6) = 7x − 6, इसलिए 8x − 12 = 7x − 6 और x = 6। संख्याएँ 24 और 42 हैं, और 18 : 36 = 1 : 2 ✓।विकल्प (1) छोटी संख्या है, विकल्प (2) 6 घटाने के बाद बड़ी संख्या, और विकल्प (4) 6 घटाने के बाद छोटी संख्या।