64 छोटे घनों से एक ठोस घन बनाया गया है । कितने छोटे घन किसी भी परिस्थिति में नहीं दिखाई देंगे ?

सही उत्तर — विकल्प (1), 8.

चरण 1 — बड़े घन का आकार निकालें।
64 = 4 × 4 × 4, इसलिए हर किनारा 4 छोटे घनों जितना लंबा है।

चरण 2 — तय करें कि कौन से छोटे घन कभी नहीं दिख सकते।
कोई छोटा घन तभी दिख सकता है जब उसका कोई फलक बड़े घन की बाहरी सतह पर हो। बड़े घन को घुमाने से हर बाहरी फलक सामने आ जाता है, इसलिए कभी न दिखने वाले घन वे हैं जिनका कोई फलक बाहर नहीं: भीतरी कोर।

चरण 3 — कोर का आकार निकालें।
बाहरी परत हटाने से हर पंक्ति के दोनों सिरों से एक-एक घन हटता है: 4 − 2 = 2।
कोर = 2 × 2 × 2 = 8

चरण 4 — बाहर के घन गिनकर जाँचें।
कोने, 3 फलक दिखते हुए: 8
कोनों के अलावा किनारों के घन, 2 फलक: 12 × 2 = 24
फलकों के बीच के घन, 1 फलक: 6 × 2² = 24
बाहर का कुल: 8 + 24 + 24 = 56
64 − 56 = 8 ✓

याद रखने की बात: n × n × n घन में (n − 2)³ छोटे घन भीतर छिपे रहते हैं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (2)
  6 — विकल्प (2) 6 देता है, जो घन के फलकों की संख्या है, छोटे घनों की कोई संख्या नहीं।

  छिपे घन वे हैं जिनका कोई फलक बाहर नहीं है। 4 × 4 × 4 घन से एक परत उतारने पर 2 × 2 × 2 का कोर बचता है, जिसमें 8 छोटे घन हैं।

• (3)
  4 — विकल्प (3) 4 देता है, जो एक फलक के बीच के छोटे घनों की संख्या है: (4 − 2)² = 4।

  इनमें से हर एक का एक फलक बाहर दिखता है, इसलिए वह देखा जा सकता है। छिपा हुआ कोर वर्ग नहीं, घन है: (4 − 2)³ = 8।

• (4)
  2 — विकल्प (4) 2 देता है, जो एक किनारे पर दो कोनों के बीच के घनों की संख्या है: 4 − 2 = 2।

  इनमें से हर एक के दो फलक दिखते हैं, इसलिए वह दिखाई देता है। छिपा हुआ कोर यही 2 तीनों दिशाओं में लेता है: 2 × 2 × 2 = 8।

n × n × n समान छोटे घनों से बना बड़ा घन अपने टुकड़ों को इससे बाँटता है कि बाहर कितने फलक दिखते हैं।

कोनों के 3 फलक दिखते हैं, और घन के 8 कोने होते हैं। कोनों के अलावा किनारों के घनों के 2 फलक दिखते हैं: 12 किनारे × (n − 2)। फलकों के बीच के घनों का 1 फलक दिखता है: 6 फलक × (n − 2)²। भीतरी कोर का कोई फलक नहीं दिखता: (n − 2)³।

चारों गिनतियों का योग n³ है; n = 4 के लिए 8 + 24 + 24 + 8 = 64। बड़े घन को रंगने पर भी यही गिनतियाँ काम आती हैं, जहाँ "फलक दिखता है" का अर्थ "फलक रंगा है" हो जाता है।

मुख्य तथ्य

• 64 = 4³, इसलिए बड़ा घन हर किनारे पर 4 छोटे घनों का है।
• n × n × n घन में छिपे छोटे घन: (n − 2)³; n = 4 के लिए यह 8 है।
• 3 फलक दिखाने वाले छोटे घन: 8 कोने, n ≥ 2 वाले किसी भी बड़े घन के लिए।
• ठीक 2 फलक दिखाने वाले छोटे घन: 12(n − 2); ठीक 1 फलक: 6(n − 2)²।
• n = 4 के लिए: 8 कोने + 24 किनारों के घन + 24 फलकों के बीच के घन + 8 छिपे = 64।

सामान्य भ्रम

• कोर को वर्ग मान लेना। छिपा हुआ भाग 8 टुकड़ों वाला 2 × 2 × 2 का घन है, एक फलक के बीच का 2 × 2 = 4 नहीं।
• एक परत केवल एक सिरे से हटाना। बाहरी खोल हर पंक्ति के दोनों सिरों को ढकता है, इसलिए हर पंक्ति से 2 घन हटते हैं: 4 − 2 = 2।
• आधार को हमेशा के लिए छिपा मान लेना। प्रश्न का "किसी भी परिस्थिति में" घन को घुमाने की छूट देता है, इसलिए जिस फलक पर वह टिका है वह भी देखा जा सकता है।

UnlockIAS ने इस प्रश्न की तुलना अन्य RAS प्रारंभिक परीक्षा प्रश्न-पत्रों के प्रश्नों से की; कोई भी जोड़ने लायक मिलता-जुलता प्रश्न नहीं मिला।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  5 सेमी भुजा वाले एक घन के सभी फलकों को रंगकर उसे 1 सेमी भुजा वाले 125 घनों में काटा जाता है । कितने छोटे घनों का कोई भी फलक रंगा नहीं है ?

  • (a)27
  • (b)36
  • (c)54
  • (d)8
  उत्तर(1) — बिना रंग वाले घन कोर बनाते हैं: (5 − 2)³ = 27।

  विकल्प (2) ठीक दो रंगे फलकों वाले घनों की संख्या है, 12 × 3 = 36; विकल्प (3) ठीक एक रंगे फलक वालों की, 6 × 9 = 54; विकल्प (4) कोनों की, जिनके तीन फलक रंगे हैं।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  27 समान छोटे घनों से बने एक ठोस घन के सभी फलकों को रंगा जाता है । कितने छोटे घनों के ठीक दो फलक रंगे हैं ?

  • (a)8
  • (b)6
  • (c)12
  • (d)1
  उत्तर(3) — यहाँ n = 3, और 12 किनारों में से हर एक पर कोनों के बीच 3 − 2 = 1 घन है: 12 × 1 = 12।

  विकल्प (1) कोनों की संख्या है (तीन रंगे फलक), विकल्प (2) फलकों के बीच के घनों की (एक रंगा फलक), और विकल्प (4) अकेले छिपे घन की (कोई नहीं)।