पाँच लड़कियाँ एक मैदान में एक निश्चित दूरी पर खड़ी हुई हैं । रेखा और बीना एक–दूसरे से 18 मी. दूर हैं । वीना, रेखा और बीना के बीच में कहीं पर खड़ी है । पिंकी, रेखा से 5 मीटर उत्तर दिशा में खड़ी है । रेखा, वीना से 12 मीटर पश्चिम दिशा में है । यामिनी, बीना से 8 मीटर दक्षिण दिशा की ओर खड़ी है । पिंकी और यामिनी में न्यूनतम दूरी क्या है ?

RPSC ने अपनी अंतिम उत्तर कुंजी में यह प्रश्न विलोपित कर दिया, इसलिए कोई विकल्प सही नहीं दिखाया गया है।

प्रश्न पाँच लड़कियों की स्थिति दूरी और दिशा से बताता है और पिंकी और यामिनी में न्यूनतम दूरी पूछता है। विधि: एक लड़की को मूल बिंदु पर रखें, हर लड़की की स्थिति अंकित करें, फिर सरल रेखा की दूरी के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ।

रेखा को (0, 0) पर रखें, पूर्व को +x और उत्तर को +y मानकर।

चरण 1 — वीना।
"रेखा, वीना से 12 मीटर पश्चिम दिशा में है", इसलिए वीना = (12, 0)।

चरण 2 — बीना।
रेखा और बीना एक–दूसरे से 18 मी. दूर हैं, और वीना उनके बीच में कहीं खड़ी है। तीनों लड़कियों को एक ही पूर्व–पश्चिम पंक्ति में मानकर पढ़ें, तो बीना = (18, 0), वीना से 6 मीटर पूर्व।

चरण 3 — पिंकी और यामिनी।
पिंकी, रेखा से 5 मीटर उत्तर = (0, 5)
यामिनी, बीना से 8 मीटर दक्षिण = (18, −8)

चरण 4 — पिंकी और यामिनी के बीच के अंतर।
पूर्व–पश्चिम: 18 − 0 = 18 मीटर
उत्तर–दक्षिण: 5 + 8 = 13 मीटर

चरण 5 — पाइथागोरस प्रमेय।
दूरी² = 18² + 13² = 324 + 169 = 493
दूरी = √493 ≈ 22.2 मीटर

याद रखने की बात: न्यूनतम दूरी सरल रेखा की दूरी है; पूर्व–पश्चिम और उत्तर–दक्षिण अंतरों का वर्ग करें, जोड़ें, और वर्गमूल लें।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  33 मीटर — विकल्प (1) 33 मीटर देता है। RPSC की अंतिम कुंजी कोई विकल्प नहीं दर्शाती।

  रेखा, वीना और बीना को एक ही पूर्व–पश्चिम पंक्ति में मानकर किए गए हल से तुलना करें: पिंकी से यामिनी तक दोनों अंतरों के साथ-साथ चलने वाला रास्ता 18 + 13 = 31 मीटर का है। दो बिंदुओं के बीच की सरल रेखा उन्हें जोड़ने वाले किसी रास्ते से लंबी नहीं होती, और 33 मीटर उस 31 मीटर के रास्ते से लंबा है।

• (2)
  31 मीटर — विकल्प (2) 31 मीटर देता है। RPSC की अंतिम कुंजी कोई विकल्प नहीं दर्शाती।

  रेखा, वीना और बीना को एक ही पंक्ति में मानने पर 31 मीटर पिंकी और यामिनी के पूर्व–पश्चिम अंतर और उत्तर–दक्षिण अंतर का योग, 18 मीटर + 13 मीटर, है। यह दोनों दिशाओं के साथ-साथ चलने वाले रास्ते की लंबाई है; सरल रेखा की दूरी √(18² + 13²) से निकलती है।

• (3)
  23 मीटर — विकल्प (3) 23 मीटर देता है। RPSC की अंतिम कुंजी कोई विकल्प नहीं दर्शाती।

  रेखा, वीना और बीना को एक ही पंक्ति में मानने पर सरल रेखा की दूरी √493 ≈ 22.2 मीटर है। ठीक 23 मीटर की दूरी के लिए अंतरों के वर्गों का योग 23² = 529 होना चाहिए।

• (4)
  13 मीटर — विकल्प (4) 13 मीटर देता है। RPSC की अंतिम कुंजी कोई विकल्प नहीं दर्शाती।

  13 मीटर 5 मीटर + 8 मीटर है, केवल उत्तर–दक्षिण अंतर: रेखा, वीना और बीना को एक ही पंक्ति में मानने पर पिंकी उस पंक्ति से 5 मीटर उत्तर में है और यामिनी 8 मीटर दक्षिण में। सरल रेखा की दूरी अपने हर अंतर से कम नहीं होती, और पूर्व–पश्चिम अंतर 18 मीटर है।

दिशा ज्ञान का तर्क शब्दों को स्थितियों में बदलता है। एक व्यक्ति को मूल बिंदु पर रखकर, पूर्व और उत्तर को धनात्मक दिशाएँ मानने से, दूरी और दिशा वाली हर सूचना किसी एक अक्ष पर एक कदम बन जाती है।

"X, Y से 12 मीटर पश्चिम में है" X को पूर्व–पश्चिम अक्ष पर Y से 12 मीटर बायीं ओर रखता है; "5 मीटर उत्तर" उत्तर–दक्षिण अक्ष पर ऊपर ले जाता है।

दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी उन्हें जोड़ने वाली सरल रेखा की लंबाई है। पूर्व–पश्चिम अंतर a और उत्तर–दक्षिण अंतर b होने पर, पाइथागोरस प्रमेय से यह √(a² + b²) है।

मुख्य तथ्य

• न्यूनतम दूरी = √(पूर्व–पश्चिम अंतर² + उत्तर–दक्षिण अंतर²), पाइथागोरस प्रमेय से।
• रेखा को (0, 0) पर रखने पर: वीना (12, 0) और पिंकी (0, 5); रेखा, वीना और बीना को एक ही पंक्ति में मानने पर बीना (18, 0) और यामिनी (18, −8)।
• ऐसा मानने पर अंतर 18 मीटर और 13 मीटर हैं, और दूरी √493 ≈ 22.2 मीटर है।
• दोनों अंतरों के साथ-साथ चलने वाला रास्ता (18 + 13 = 31 मीटर) उन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सरल रेखा से लंबा है।
• पाइथागोरस त्रिकों में 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 और 7-24-25 शामिल हैं।

सामान्य भ्रम

• पाइथागोरस के बजाय अंतरों को जोड़ देना। 18 + 13 = 31 मीटर दो दिशाओं के साथ-साथ चलने वाला रास्ता है, न्यूनतम दूरी नहीं।
• केवल एक अंतर गिनना। 5 + 8 = 13 मीटर उत्तर–दक्षिण अंतर है; 18 मीटर का पूर्व–पश्चिम अंतर भी गणना में आना चाहिए।
• गलत लड़की से नापना। पिंकी की स्थिति रेखा से और यामिनी की बीना से तय होती है; वीना वाला 12 मीटर केवल यह तय करता है कि वीना कहाँ खड़ी है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  बिन्दु B, बिन्दु A से 12 मीटर पूर्व में है । बिन्दु C, A से 5 मीटर उत्तर में है । बिन्दु D, B से 4 मीटर दक्षिण में है । C और D के बीच न्यूनतम दूरी क्या है ?

  • (a)21 मीटर
  • (b)15 मीटर
  • (c)17 मीटर
  • (d)9 मीटर
  उत्तर(2) — A को (0, 0) पर रखने पर: C = (0, 5) और D = (12, −4)। अंतर 12 मीटर पूर्व–पश्चिम और 5 + 4 = 9 मीटर उत्तर–दक्षिण हैं, इसलिए दूरी √(144 + 81) = √225 = 15 मीटर है।

  विकल्प (1) अंतरों को जोड़ता है (12 + 9), विकल्प (3) 12 और 5 को जोड़ता है, और विकल्प (4) केवल उत्तर–दक्षिण अंतर है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  रवि 6 किमी उत्तर, फिर 8 किमी पूर्व, फिर 6 किमी दक्षिण चलता है । वह अपने आरंभ बिंदु से कितनी दूर है ?

  • (a)20 किमी
  • (b)10 किमी
  • (c)8 किमी
  • (d)14 किमी
  उत्तर(3) — 6 किमी उत्तर और 6 किमी दक्षिण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, केवल 8 किमी पूर्व बचता है।

  विकल्प (1) तीनों दूरियों को जोड़ता है, विकल्प (2) पहली दो दूरियों के बाद आरंभ बिंदु से उसकी दूरी √(36 + 64) है, और विकल्प (4) 6 और 8 को जोड़ता है।