BPSC 71वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 9 / 150

सही उत्तर — (b) 35। जाल को पंक्ति-दर-पंक्ति पढ़िए और सबसे पहले भाग को परखिए, क्योंकि हर पंक्ति में बाहरी युग्म एक गुणज और उसी का गुणनखंड है: 28 और 7, 45 और 9, 84 और 12। पहली पंक्ति में 28 ÷ 7 = 4 और बीच की प्रविष्टि 20 है, जो 4 × 5 है। तीसरी पंक्ति में 45 ÷ 9 = 5 और बीच की प्रविष्टि 25 है, जो 5 × 5 है। इसलिए दोनों पूर्ण पंक्तियों पर बैठने वाला नियम है बीच = 5 × (पहली ÷ अंतिम), और इसे अधूरी पंक्ति पर एक बार लगाने से 84 ÷ 12 = 7 और 7 × 5 = 35 मिलता है। इसी नियम का एक स्वच्छ रूप भी है जो भिन्नों से पूरी तरह बच जाता है और परीक्षा-कक्ष में साथ ले जाने योग्य है: तिर्यक गुणा करने पर वह कहता है बीच × अंतिम = 5 × पहली। पहली पंक्ति देती है 20 × 7 = 140 = 5 × 28, तीसरी पंक्ति देती है 25 × 9 = 225 = 5 × 45, इसलिए दूसरी पंक्ति में ? × 12 = 5 × 84 = 420 चाहिए, अर्थात् ? = 35। अनुपात के रूप में पढ़ें तो यह और भी सुथरा है — पहली : अंतिम सदैव बीच : 5 के बराबर होता है, जो पहली पंक्ति में 4 : 1, तीसरी में 5 : 1 और दूसरी में 7 : 1 है। यहाँ दो अनुशासन अंक दिलाते हैं। पहला यह कि रिक्त स्थान को छूने से पहले नियम को दोनों दृश्यमान पंक्तियों पर सिद्ध कीजिए, क्योंकि जो नियम एक पंक्ति पर बैठ जाए वह कुछ सिद्ध नहीं करता: बीच = पहली − अंतिम − 1 पहली पंक्ति को ठीक-ठीक दोहरा देता है, क्योंकि 28 − 7 − 1 = 20, और फिर तीसरी पंक्ति पर ढह जाता है, जहाँ 45 − 9 − 1 = 35 निकलता है, 25 नहीं। दूसरा यह कि टिक लगाने से पहले स्तंभ भी जाँच लीजिए, और यहाँ उनमें कुछ नहीं है — पहले स्तंभ में नीचे की ओर 28, 84, 45 और तीसरे में 7, 12, 9 कोई भी प्रतिरूप नहीं बनाते, जिससे पुष्टि होती है कि संबंध क्षैतिज है।

• (a)30 — 30 यानी 5 × 6, इसलिए इसके लिए 84 ÷ 12 का 6 निकलना पड़ता — एक ऐसे भागफल में एक की चूक जो गति में सचमुच फिसल सकती है, क्योंकि 72 ÷ 12 = 6 होता है और 84 ÷ 12 = 7। यह उन दोनों ऊपरी जाँचों में भी पास हो जाता है जो जल्दबाज़ी में अभ्यर्थी लगाता है: यह 5 का गुणज है, जैसे यहाँ का हर विकल्प, और यह दोनों दृश्यमान बीच वाली प्रविष्टियों से बड़ा है, जैसा नियम माँगता है। इसे उत्तर से केवल सटीक भागफल अलग करता है, और सटीक भागफल 7 है।
• (c)20 — यह बस पहली पंक्ति की बीच वाली प्रविष्टि दोहरा देता है, उन दो विकल्पों में से एक जिन्हें प्रश्न-निर्माता ने सीधे जाल से उठा लिया है ताकि संख्या निकाली हुई नहीं, परिचित लगे। यह भागफल 28 ÷ 7 = 4 का साथी है और किसी दूसरी पंक्ति का नहीं। यह एक सेकंड में हो जाने वाली क्रम-जाँच में भी विफल हो जाता है: 84 ÷ 12 = 7 जाल का सबसे बड़ा भागफल है, इसलिए लुप्त प्रविष्टि 20 और 25 दोनों से बड़ी होनी चाहिए, इनमें से किसी के बराबर नहीं।
• (d)25 — जाल से उठाई गई दूसरी संख्या, इस बार तीसरी पंक्ति की बीच वाली प्रविष्टि, जो 45 ÷ 9 = 5 से निकलती है। दूसरी पंक्ति का भागफल 7 है, इसलिए उसकी बीच वाली प्रविष्टि वही नहीं हो सकती। नियम के भिन्न-रहित रूप पर परखने पर 25 × 12 = 300 मिलता है जबकि 5 × 84 = 420 है, अर्थात् पंक्ति संतुलित नहीं होती — और विकल्प (c) की तरह यह भी क्रम-जाँच का उल्लंघन करता है, क्योंकि लुप्त मान को पहले से दिखाई गई हर बीच वाली प्रविष्टि से बड़ा होना चाहिए।

इस प्रकार का संख्या-जाल एक ऐसा अंकगणितीय संबंध छिपाए रहता है जिसका पालन हर पंक्ति करती है। वह संबंध जोड़, घटाव, गुणा, भाग, वर्ग, अथवा इनके मिश्रण का हो सकता है, और सामान्यतः वह दोनों बाहरी प्रविष्टियों को बीच वाली से जोड़ता है। उसे खोजना अटकल नहीं, एक छोटी और क्रमबद्ध खोज है, और क्रम इस बात से तय होता है कि संख्याएँ दिखती कैसी हैं। ऐसे बाहरी युग्म जो गुणज और गुणनखंड हों, भाग की ओर संकेत करते हैं; समान आकार के बाहरी युग्म योग और अंतर की ओर; और 16, 25, 36, 49 जैसी प्रविष्टियाँ वर्गों की ओर। आप जो भी नियम प्रस्तावित करें, जाल स्वयं उसका प्रमाण-समुच्चय दे देता है: दो पूर्ण पंक्तियाँ सामने होने पर नियम को उन दोनों को ठीक-ठीक दोहराना ही चाहिए, तभी आप उसे रिक्त वाली पंक्ति पर लगाने के अधिकारी हैं। यह परीक्षण खोज से भी अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि एक ही पंक्ति पर बैठ जाने वाले प्रशंसनीय नियम भरपूर मिलते हैं — इसी जाल में बीच = पहली − अंतिम − 1 पहली पंक्ति पर पूरी तरह बैठता है और फिर भी गलत है। दो आदतें इस विधि को पूरा करती हैं। नियम को सदैव भिन्न-रहित, तिर्यक गुणा वाले रूप में दोहराइए, क्योंकि समय के दबाव में बीच × अंतिम = 5 × पहली की जाँच बीच = 5 × (पहली ÷ अंतिम) से आसान है और उन पंक्तियों में भी टिकती है जहाँ भाग पूरा नहीं कटता। और पंक्तियों के साथ-साथ स्तंभों पर भी सदैव एक नज़र डालिए, क्योंकि थोड़े-से जालों में संबंध खड़ी या विकर्ण दिशा में छिपा होता है, और यह पुष्टि करने में लगे तीस सेकंड कि प्रतिरूप किस दिशा में चलता है, कभी व्यर्थ नहीं जाते।

चार चालों में काम कीजिए। पहली, संख्याओं के मान के बजाय उनके आकार को देखिए: 28 और 7, 45 और 9, 84 और 12 — हर युग्म एक गुणज और उसका गुणनखंड है, जो कुछ और आज़माने से पहले सीधे भाग की ओर संकेत करता है। दूसरी, दृश्यमान पंक्तियों के भागफल निकालिए — 4 और 5 — और उन्हें बीच वाली प्रविष्टियों 20 और 25 के बगल में रखिए; अचर गुणक 5 तुरंत निकल आता है। तीसरी, नियम को दोनों पूर्ण पंक्तियों पर सिद्ध कीजिए, एक पर नहीं। चौथी, उसे एक बार लगाइए। विभेद करने वाली एकमात्र गणना भागफल 84 ÷ 12 = 7 है, क्योंकि गुणक 5 उन्हीं पंक्तियों से पहले ही स्थापित हो चुका है जो आप देख सकते हैं; भागफल सही निकाल लीजिए और उत्तर बाध्य हो जाता है। ध्यान दीजिए कि विकल्प-समुच्चय शॉर्टकट हराने के लिए कितनी सावधानी से बनाया गया है। चारों विकल्पों में से हर एक 5 का गुणज है, इसलिए स्पष्ट छननी — क्या यह किसी संख्या का पाँच गुना लगता है — कुछ भी बाहर नहीं करती। तीन गलत विकल्पों में से दो, 20 और 25, वे संख्याएँ हैं जो पहले से जाल में छपी हैं, जिससे वे जाँची हुई लगती हैं जबकि वे केवल नकल की गई हैं। इससे एक ही सचमुच उपयोगी छननी बचती है: चूँकि 84 ÷ 12 = 7 भागफल 4 और 5 दोनों से बड़ा है, लुप्त प्रविष्टि 20 और 25 दोनों से बड़ी होनी चाहिए, जो विकल्प (c) और (d) को एक नज़र में मार देता है और प्रश्न को 30 तथा 35 के बीच के चुनाव पर ला देता है — अर्थात् इस पर कि 84 ÷ 12 का मान 6 है या 7।

• हर पंक्ति पूरी-पूरी कटती है और बाहरी युग्म सदैव एक गुणज और उसका गुणनखंड है: 28 ÷ 7 = 4, 45 ÷ 9 = 5 और 84 ÷ 12 = 7।
• बीच वाली प्रविष्टि उसी भागफल की पाँच गुनी है — पहली पंक्ति में 4 × 5 = 20 और तीसरी में 5 × 5 = 25 — इसलिए दूसरी पंक्ति 7 × 5 = 35 देती है, अर्थात् विकल्प (b)।
• उसी नियम का भिन्न-रहित रूप, जिसकी जाँच समय के दबाव में अधिक सुरक्षित है: बीच × अंतिम = 5 × पहली, जो 20 × 7 = 140 = 5 × 28, 25 × 9 = 225 = 5 × 45, और ? × 12 = 420 पढ़ा जाता है, अर्थात् ? = 35।
• अनुपात के रूप में नियम है पहली : अंतिम = बीच : 5 — पहली पंक्ति में 4 : 1, तीसरी में 5 : 1 और दूसरी में 7 : 1, और इसीलिए लुप्त प्रविष्टि को 20 और 25 दोनों से बड़ा होना ही चाहिए।
• जो नियम एक पंक्ति पर बैठ जाए वह कुछ सिद्ध नहीं करता: बीच = पहली − अंतिम − 1 पहली पंक्ति को ठीक-ठीक दोहरा देता है, क्योंकि 28 − 7 − 1 = 20, परन्तु तीसरी पंक्ति पर विफल हो जाता है, जहाँ 45 − 9 − 1 = 35 निकलता है, 25 नहीं।
• यहाँ स्तंभों में कोई प्रतिरूप नहीं है — पहले में 28, 84, 45 और तीसरे में 7, 12, 9 — और यही पुष्टि करता है कि संबंध हर पंक्ति के आर-पार क्षैतिज दिशा में चलता है।

• ऐसे नियम पर टिक जाना जो एक पंक्ति की व्याख्या कर देता है और उसे दूसरी पर कभी न परखना — यहाँ पहली − अंतिम − 1 पंक्ति एक पर ठीक बैठता है और फिर भी गलत है
• जब बाहरी संख्याएँ स्पष्ट रूप से गुणज और गुणनखंड हों तब भी केवल योग और अंतर खोजते रहना, जबकि यही वह संकेत है कि पहले भाग आज़माना चाहिए
• नियम को उल्टी दिशा में लगाना, अर्थात् जहाँ पंक्ति भाग माँगती है वहाँ गुणा कर देना या इसके विपरीत
• किसी संख्या को केवल इसलिए चुन लेना कि वह जाल में पहले से दिख रही है — 20 और 25 दोनों छपी हुई बीच वाली प्रविष्टियाँ हैं और दोनों गलत हैं
• भागफल फिसला देना: 84 ÷ 12 का मान 7 है, वह 6 नहीं जो विकल्प (a) बना देता

लुप्त-संख्या वाले जाल BPSC के आरम्भिक तर्कशक्ति खंड में लगभग ठीक इसी आकार में आते हैं — तीन-तीन की तीन पंक्तियाँ, एक रिक्त, और ऐसे विकल्प जो सब उत्तर के आस-पास के पड़ोसी हों — और परीक्षक सदैव कम-से-कम दो पूर्ण पंक्तियाँ छोड़ देता है, जो अभ्यर्थी का प्रमाण-समुच्चय है। BPSC अंकगणित को जान-बूझकर साफ़ भी रखता है, इसलिए अंक नियम खोजने से तय होता है, उससे गणना करने से नहीं। UPSC ने 2011 में मानसिक योग्यता के प्रारम्भिक परीक्षा प्रश्नपत्र-II में जाने पर यह रूप सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्र से हटा दिया, और वह प्रश्नपत्र 2015 से केवल 33 प्रतिशत पर अर्हकारी है; पुराने सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्रों में यही कौशल जाल के बजाय श्रेणी के रूप में पूछा जाता था — संख्याओं की एक कतार के भीतर लुप्त पद, या अक्षर-त्रिकों की कतार के भीतर लुप्त समूह — जहाँ नियम समानांतर पंक्तियों से नहीं बल्कि क्रमागत पदों से निकालना पड़ता है, परन्तु नियम को प्रयोग से पहले हर दृश्यमान पद पर जाँच लेने का अनुशासन बिल्कुल वही है।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  जाल में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए: पंक्ति 1 है 6, 12, 2; पंक्ति 2 है 8, 24, 3; पंक्ति 3 है 9, ?, 4।

  • (a)30
  • (b)32
  • (c)36
  • (d)45

  उत्तर(c) 36 — हर पंक्ति में बीच की संख्या दोनों बाहरी संख्याओं का गुणनफल है: 6 × 2 = 12 और 8 × 3 = 24, इसलिए 9 × 4 = 36। प्रयोग से पहले दोनों पूर्ण पंक्तियाँ नियम की पुष्टि कर देती हैं।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  जाल में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए: पंक्ति 1 है 4, 9, 5; पंक्ति 2 है 7, 15, 8; पंक्ति 3 है 6, ?, 3।

  • (a)12
  • (b)9
  • (c)18
  • (d)10

  उत्तर(b) 9 — बीच की संख्या दोनों बाहरी संख्याओं का योग है: 4 + 5 = 9 और 7 + 8 = 15, इसलिए 6 + 3 = 9। यहाँ बाहरी संख्याएँ समान आकार की हैं, और यही वह संकेत है कि भागफल से पहले योग आज़माना चाहिए।