BPSC 71वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 8 / 150

सही उत्तर — (d) 9, 50। प्रश्न की एकमात्र ऐसी आयु को लंगर बनाइए जो किसी संख्या से बँधी है और वहीं से बाहर की ओर काम कीजिए। राहुल चार वर्ष में 31 का होगा, इसलिए राहुल आज 31 − 4 = 27 वर्ष का है। राहुल की आयु सीमा की तीन गुनी है, इसलिए सीमा 27 ÷ 3 = 9 वर्ष की है। चार वर्ष पूर्व राहुल 27 − 4 = 23 का था, और लक्ष्मी तब उसकी दुगुनी अर्थात् 46 की थी; उसे भी उन्हीं चार वर्षों से आगे बढ़ाइए और लक्ष्मी आज 46 + 4 = 50 वर्ष की है। आयोग ने 31 अक्टूबर 2025 को प्रश्नपत्र पर दर्ज आपत्तियों का निपटारा करते समय यही हल स्वयं रखा था, जिसमें राहुल को x और सीमा को y लिखकर x = 3y, लक्ष्मी को z लिखकर z − 4 = 2(x − 4), और तीसरे वाक्य को x + 4 = 31 के रूप में रखा गया। तीन अज्ञातों में तीन समीकरण युगपत निकाय जैसे दिखते हैं, परन्तु वे त्रिकोणीय हैं: एक समीकरण में केवल एक अज्ञात है, और उसके बाद शेष दोनों सादे प्रतिस्थापन से निकल आते हैं, इसलिए विलोपन की आवश्यकता कभी नहीं पड़ती। टिक लगाने से पहले तीनों वाक्यों के विरुद्ध जाँच कीजिए, क्योंकि गलत निशान एक-तिहाई अंक ले जाता है — 27, 9 का तीन गुना है; चार वर्ष पूर्व 46, 23 का दुगुना था; और 27 + 4 = 31 है। विकल्प-समुच्चय की दो विशेषताएँ ध्यान देने योग्य हैं। चार में से तीन विकल्प सीमा को 9 बताते हैं, इसलिए काम की पहली पंक्ति केवल विकल्प (a) को बाहर करती है और अंक वास्तव में लक्ष्मी से तय होता है। और लक्ष्मी की वर्तमान आयु 2x − 4 पर सिमट जाती है, अर्थात् राहुल की वर्तमान आयु की दुगुनी में से चार, इसलिए राहुल में एक वर्ष की भूल लक्ष्मी को दो वर्ष खिसका देती है — 27 से 50 मिलता है जबकि 28 से 52, और ठीक वहीं से वह निकट-मिलान वाला विकल्प आता है।

• (a)10, 50 — लक्ष्मी सही है पर सीमा नहीं, और चूक विशिष्ट है: 10 तब मिलता है जब राहुल की वर्तमान आयु 27 के बजाय उसकी भावी आयु को तीन से भाग दिया जाए, क्योंकि 31 ÷ 3 = 10.3 है जिसे नीचे की ओर पूर्णांकित कर दिया गया। राहुल 27 का है, और 10 का तीन गुना 30 होता है, 27 नहीं, इसलिए राहुल = 3 × सीमा को केवल 9 ही संतुष्ट करता है। यही वह एक विकल्प है जिसे अभ्यर्थी काम की सबसे पहली पंक्ति से ही मार सकता है, और ठीक इसीलिए यह सूची में सबसे ऊपर बैठा है।
• (b)9, 52 — सीमा सही है पर लक्ष्मी नहीं, और 52 राहुल में एक वर्ष की भूल का हस्ताक्षर है। चूँकि लक्ष्मी की वर्तमान आयु 2x − 4 है, राहुल को 27 के बजाय 28 मान लेना — वही एक-कम-एक की चूक जो 'अगले चार वर्षों में' को समावेशी रूप से गिनने से आती है — दुगुनी होकर दो वर्ष की भूल बन जाती है और ठीक 52 देती है। सीधे परखने पर, 52 की लक्ष्मी चार वर्ष पूर्व 48 की रही होती, और 48, 24 का दुगुना है, जबकि राहुल तब 23 का था।
• (c)9, 45 — सीमा सही है पर लक्ष्मी नहीं, और 45 किसी भी संगत पाठ से पहुँच में नहीं आता: चूँकि लक्ष्मी को 2x − 4 के बराबर होना ही है, 45 की वर्तमान आयु के लिए राहुल को 24.5 का होना पड़ता। इसका असली काम उस अभ्यर्थी को पकड़ना है जो चार वर्ष पूर्व की लक्ष्मी की आयु 46 ठीक-ठीक निकाल लेता है और फिर उसे वर्तमान में वापस लाता ही नहीं — 45 उसी बीच के 46 के सबसे निकट की सूचीबद्ध संख्या है। सीधे परखने पर, 45 की लक्ष्मी चार वर्ष पूर्व 41 की रही होती, जो राहुल के 23 का दुगुना नहीं है।

आयु के प्रश्न वेश बदले हुए रैखिक समीकरण-निकाय हैं, और दो संरचनात्मक तथ्य इन्हें नित्य-कर्म बना देते हैं। पहला, दो व्यक्तियों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता, क्योंकि दोनों एक ही दर से बड़े होते हैं; इसलिए किसी एक क्षण के लिए बताया गया संबंध हर दूसरे क्षण को भी बाँधता है, और वह स्थिर अंतर एक मुफ़्त संगति-जाँच है। दूसरा, 'चार वर्ष पूर्व' जैसा वाक्यांश वाक्य के हर व्यक्ति को उतना ही खिसका देता है — उसे लक्ष्मी के साथ-साथ राहुल पर भी लगाना पड़ता है, केवल उस व्यक्ति पर नहीं जिसका वर्णन हो रहा है, और दूसरा खिसकाव भूल जाना ही इस विषय की सबसे आम भूल है। एक तीसरी आदत इनमें से अधिकांश प्रश्नों को बीजगणित से अंकगणित में बदल देती है: वह कथन खोजिए जो किसी एक व्यक्ति को पूरी तरह नियत कर देता है, पहले उसी को हल कीजिए, और फिर उसे आगे फैलने दीजिए। यहाँ 'अगले चार वर्षों में राहुल 31 वर्ष का हो जाएगा' ठीक यही करता है, और इसीलिए निकाय को कभी युगपत रूप से हल करना ही नहीं पड़ता। यह जानना भी उपयोगी है कि कौन-से संबंध अनुपात के हैं और कौन-से योग के। 'तीन गुनी आयु' एक अनुपात है और समय बीतने पर टिकता नहीं — राहुल चार वर्ष पूर्व सीमा का तीन गुना नहीं था और चार वर्ष बाद भी नहीं होगा — जबकि लक्ष्मी और राहुल के बीच का 23 वर्ष का अंतर हर खिसकाव में बचा रहता है। प्रश्नपत्र इसी भेद का लगातार लाभ उठाते हैं, एक क्षण का अनुपात बताकर किसी दूसरे क्षण के बारे में पूछ लेते हैं।

चार वर्ष पूर्व, अब और चार वर्ष बाद — इन तीन शीर्षकों के तीन स्तंभ बनाइए और एक भी समीकरण लिखने से पहले हर स्तंभ में हर व्यक्ति भर दीजिए; इस विषय में अंक तीनों क्षणों को आपस में मिला देने से जाते हैं, अंकगणित से नहीं, जो यहाँ 3 से एक भाग और एक दुगुना करने से आगे जाता ही नहीं। राहुल से आरम्भ कीजिए क्योंकि केवल उसी का स्तंभ किसी संख्या से नियत है, फिर शेष दोनों वाक्यों को समीकरण नहीं, निर्देश की तरह पढ़िए। विभेद करने वाली एकमात्र गणना अंतिम वाली है: लक्ष्मी की बीती हुई आयु 46 को आगे बढ़ाकर 50 करना ही होगा। तब तक प्रश्न में शेष सब कुछ तय हो चुका होता है, और चार में से तीन विकल्प पहले ही सहमत हैं कि सीमा 9 की है। दो जाँचों को सावधानी से अलग रखना उपयोगी है। आयु-अंतर की जाँच — लक्ष्मी में से राहुल आज 50 − 27 = 23 और चार वर्ष पूर्व 46 − 23 = 23 — यह सत्यापित करती है कि आपने दोनों व्यक्तियों को उन्हीं चार वर्षों से खिसकाया, परन्तु वह अकेले दुगुने होने की पुष्टि नहीं कर सकती, क्योंकि किसी भी आयु-युग्म का अंतर स्थिर रहता है। मान की पुष्टि संबंध की जाँच करती है: 46 को ठीक 23 का दुगुना होना चाहिए। हिन्दी माध्यम के अभ्यर्थियों को पुस्तिका की अपनी हिन्दी की एक शब्द-रचना पर ध्यान देना चाहिए, जो पहले वाक्य को 'राहुल की आयु सीमा से 3 गुणा अधिक है' के रूप में रखती है। बिल्कुल कड़ाई से पढ़ें तो '3 गुणा अधिक' का अर्थ चार गुना होगा, जिससे सीमा 27 ÷ 4 = 6.75 बनती — जो न पूर्णांक है और न विकल्पों में है — इसलिए प्रश्नपत्र का अभीष्ट पाठ अंग्रेज़ी वाला ही है, अर्थात् तीन गुनी आयु।

• राहुल चार वर्ष में 31 का होगा, इसलिए उसकी वर्तमान आयु 31 − 4 = 27 है; यही एकमात्र आयु है जो किसी संख्या से नियत है और प्रश्न का हर दूसरा मान इसी से निकलता है।
• राहुल = 3 × सीमा, इसलिए सीमा 27 ÷ 3 = 9 की है — यह आँकड़ा चार में से तीन विकल्पों में साझा है, अर्थात् काम की पहली पंक्ति केवल विकल्प (a) को बाहर करती है।
• चार वर्ष पूर्व राहुल 27 − 4 = 23 का था, इसलिए लक्ष्मी उस समय 2 × 23 = 46 की थी, और उसकी वर्तमान आयु 46 + 4 = 50 है, जिससे विकल्प (d) मिलता है।
• सूत्र रूप में लक्ष्मी की वर्तमान आयु 2x − 4 है, जहाँ x राहुल की वर्तमान आयु है, इसलिए राहुल में एक वर्ष की भूल लक्ष्मी में दो वर्ष की भूल बना देती है: 27 से 50 और 28 से 52।
• लक्ष्मी और राहुल के बीच का अंतर हर क्षण 23 वर्ष है — आज 50 − 27 और चार वर्ष पूर्व 46 − 23 — जो यह जाँचता है कि दोनों व्यक्ति उन्हीं चार वर्षों से खिसके, यद्यपि दुगुने होने की पुष्टि अलग से 46 = 2 × 23 के रूप में करनी पड़ती है।
• आयोग का प्रकाशित हल x = 3y, z − 4 = 2(x − 4) और x + 4 = 31 लेता है, जो एक त्रिकोणीय निकाय है और केवल प्रतिस्थापन से हल हो जाता है, विलोपन की कोई आवश्यकता नहीं।

• 'चार वर्ष पूर्व' को केवल लक्ष्मी पर लगाना और राहुल को भी पीछे ले जाना भूल जाना — पूरे विषय की सबसे आम भूल
• लक्ष्मी को उसकी बीती आयु 46 पर ही छोड़ देना, वर्तमान 50 तक आगे न लाना, जिससे 45 प्रशंसनीय लगने लगता है
• सीमा के साथ अनुपात में राहुल की वर्तमान आयु 27 के बजाय उसकी भावी आयु 31 प्रयोग करना, जिससे विकल्प (a) का 10 निकलता है
• 'अगले चार वर्षों में' को समावेशी रूप से गिनकर राहुल को 28 मान लेना, एक वर्ष की वह चूक जो दुगुनी होकर विकल्प (b) के पीछे की दो वर्ष की भूल बन जाती है
• यह मान लेना कि बताया गया अनुपात हर क्षण टिका रहता है — राहुल आज सीमा का तीन गुना है, पर चार वर्ष पूर्व नहीं था और चार वर्ष बाद नहीं होगा

BPSC अधिकांश प्रारम्भिक प्रश्नपत्रों में आयु की एक समस्या रखता है और उसे सीधे-सादे ढंग से पूछता है, पूर्णांक उत्तरों, एक पूरी तरह निर्धारित लंगर-आयु और ऐसे विकल्पों के साथ जो माँगे गए दो मानों में से केवल एक में भिन्न होते हैं, ताकि आधा प्रश्न हल कर लेने वाले अभ्यर्थी को शेष आधा भी हल करना ही पड़े। शब्द-रचना सदैव तीन क्षणों को मिलाती है — कुछ वर्ष पूर्व, अब, और कुछ वर्ष बाद — और अंक अंकगणित से नहीं, इन्हें आपस में गड्डमड्ड कर देने से जाता है। UPSC ने 2011 में मानसिक योग्यता के प्रारम्भिक परीक्षा प्रश्नपत्र-II में चले जाने के बाद सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्र में आयु की समस्या नहीं पूछी है, और वह प्रश्नपत्र 2015 से केवल 33 प्रतिशत पर अर्हकारी है; परन्तु पुराने सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्रों ने इन्हें बार-बार और अधिक कठिन रूप में पूछा, जिनमें चार रिश्तेदारों की या दो अलग-अलग कैलेंडर वर्षों की शृंखला बनाई जाती थी, ताकि कोई भी संख्या निकालने से पहले सचमुच का युगपत निकाय खड़ा करना पड़े।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  एक पिता की वर्तमान आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी है। पाँच वर्ष पूर्व पिता की आयु उस समय के पुत्र की आयु की चार गुनी थी। पुत्र की वर्तमान आयु क्या है?

  • (a)15 वर्ष
  • (b)10 वर्ष
  • (c)20 वर्ष
  • (d)12 वर्ष

  उत्तर(a) 15 वर्ष — पुत्र को s और पिता को 3s मानने पर 3s − 5 = 4(s − 5) से s = 15 मिलता है, और जाँच टिकती है: पाँच वर्ष पूर्व पिता 40 का और पुत्र 10 का था, और 40, 10 का चार गुना है।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 4 : 5 है। अब से छह वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 14 : 17 होगा। B की वर्तमान आयु क्या है?

  • (a)40 वर्ष
  • (b)45 वर्ष
  • (c)36 वर्ष
  • (d)50 वर्ष

  उत्तर(b) 45 वर्ष — आयु को 4x और 5x मानने पर (4x + 6) : (5x + 6) = 14 : 17 से 68x + 102 = 70x + 84 मिलता है, इसलिए x = 9, B 45 का और A 36 का है; जाँच में 42 : 51 सचमुच 14 : 17 पर सिमट जाता है। विकल्प (c) 36 A की आयु है, B की नहीं।