यदि + का अर्थ ×, × का अर्थ −, ÷ का अर्थ + तथा − का अर्थ ÷, तब 175 − 25 ÷ 5 + 20 × 3 + 10 के समान है :
- (a)77
- (b)87
- (c)140
- (d)70
सही उत्तर — (a) 77। दो सर्वथा अलग चरणों में काम कीजिए और उन्हें कभी आपस में मिलने मत दीजिए। पहला चरण विशुद्ध अनुवाद है: छपी हुई पंक्ति को फिर से लिखिए, हर चिह्न की जगह वही अर्थ रखते हुए जो प्रश्न उसे देता है, और इसके अतिरिक्त कुछ भी मत बदलिए — अभी कोई अंकगणित नहीं, आसान हिस्सा भी नहीं। संयोग से चारों निर्देश एक बंद चक्र बनाते हैं, + बनता है ×, × बनता है −, − बनता है ÷ और ÷ बनता है +, इसलिए हाशिये में बना एक ही चक्र हर प्रतिस्थापन दे देता है और प्रश्न दोबारा पढ़ना नहीं पड़ता, और यह यह चेतावनी भी देता है कि कोई भी चिह्न ज्यों का त्यों बचने वाला नहीं है। इसे लगाने पर 175 − 25 ÷ 5 + 20 × 3 + 10 फिर से लिखा जाता है 175 ÷ 25 + 5 × 20 − 3 × 10। दूसरा चरण केवल नई पंक्ति पर साधारण अंकगणित है: गुणा और भाग जोड़ और घटाव से पहले बँधते हैं, इसलिए 175 ÷ 25 = 7, 5 × 20 = 100 और 3 × 10 = 30, जिससे 7 + 100 − 30 = 77 बचता है। इस प्रश्न को तय करने वाला संरचनात्मक तथ्य यह है कि आरम्भ वाले चिह्न के साथ क्या होता है। पन्ने पर 175 − 25 एक घटाव है — पंक्ति की सबसे कम प्राथमिकता वाली संक्रिया और वह चीज़ जिसे आप सामान्यतः सबसे अंत में छूते। प्रतिस्थापन के बाद वह एक भाग बन जाता है, अर्थात् सर्वोच्च प्राथमिकता वाली संक्रिया, इसलिए वह सबसे पहले चलता है और कुछ भी होने से पहले प्रश्न की सबसे बड़ी संख्या को 175 से घटाकर 7 कर देता है। यही एक पदोन्नति है जिसके कारण उत्तर छोटा है, और यह आपको एक मुफ़्त ऊपरी सीमा भी सौंप देती है: पुनर्लेखन के बाद केवल दो पद धनात्मक हैं, 7 और 100, इसलिए मूल्यांकन का कोई भी क्रम मान को 107 से ऊपर नहीं ले जा सकता, जिससे अंकगणित पूरा होने से पहले ही 140 बाहर हो जाता है। संख्याएँ स्वयं दयालु चुनी गई हैं — 175 ÷ 25 पूरा-पूरा कटता है, और 5 × 20 तथा 3 × 10 एक नज़र के गुणनफल हैं — इसलिए इस प्रश्न का हर गलत विकल्प हिसाब रखने की विफलता है, गणना की नहीं।
- (b)87 — 87 ठीक 77 में 10 जोड़ने पर बनता है — अंतिम संख्या दो बार गिन ली गई, एक बार सही ढंग से 3 × 10 = 30 के भीतर और फिर एक बार बची-खुची जोड़ के रूप में, और ऐसा तब होता है जब पुनर्लेखन मन ही मन किया जाए और अंतिम पद नई पंक्ति के बजाय छपी हुई पंक्ति से पढ़ लिया जाए। यही 87 तब भी निकलता है जब 175 ÷ 25 को 7 से खिसकाकर 17 पढ़ लिया जाए, क्योंकि 17 + 100 − 30 = 87। दोनों रास्तों में संरचना सही रहती है और ठीक एक संख्या गलत, और इसीलिए यह प्रशंसनीय लगता है।
- (c)140 — यह परिमाण वाला छलावा है, और 100 से ऊपर का एकमात्र विकल्प। यह 7 × 20 है — पहले भागफल को 20 से गुणा कर देना, जबकि 20 से गुणा 5 को होना था — और यह इस प्रवृत्ति को लुभाता है कि 175 से आरम्भ होने वाली पंक्ति का उत्तर बड़ा ही होना चाहिए। 175 ÷ 25 + 5 × 20 में गुणनफल 5 × 20 पहले बनता है और फिर उसे 7 में जोड़ा जाता है। पुनर्लेखन 140 को अंकगणितीय रूप से अप्राप्य भी बना देता है: धनात्मक पद केवल 7 और 100 हैं, इसलिए मूल्यांकन के किसी भी क्रम में मान 107 से ऊपर नहीं जा सकता।
- (d)70 — 70 यानी 5 × 20 − 3 × 10, अर्थात् 100 − 30, जिसमें आरम्भ का 175 ÷ 25 = 7 योग से पूरी तरह छूट गया है। यह उस अभ्यर्थी का उत्तर है जो बीच और अंत का ठीक-ठीक अनुवाद कर लेता है, दोनों आसान गुणनफल जमा कर लेता है, और भूल जाता है कि पंक्ति का सिरा अब भी प्रतीक्षा में है — और सिरा ही सबसे आसानी से छूटता है, ठीक इसलिए कि उसका चिह्न एक परिचित घटाव से बदलकर भाग हो गया था। 70 और 77 के बीच की पूरी दूरी वही छोड़ा हुआ भागफल है।
चिह्न-प्रतिस्थापन का प्रश्न आपको चारों संक्रियाओं के लिए एक निजी कूट थमा देता है और फिर सामान्य चिह्नों में एक व्यंजक छाप देता है, इसलिए पन्ने पर छपी पंक्ति अंकगणितीय कथन है ही नहीं — वह एक कूटबद्ध कथन है, और एकमात्र वैध पहला कदम उसे पूरा-पूरा विकोडित करना है। काम दो कड़ाई से अलग चरणों का है: पहले व्यंजक को चिह्न-दर-चिह्न उन्हीं अर्थों में फिर से लिखिए जो आपको दिए गए हैं, फिर उस पुनर्लिखित व्यंजक का मूल्यांकन संक्रियाओं के सामान्य क्रम से कीजिए — कोष्ठक, घात, फिर भाग और गुणा बाएँ से दाएँ, फिर जोड़ और घटाव बाएँ से दाएँ। छपे हुए व्यंजक का मूल्यांकन ज्यों का त्यों कभी नहीं किया जाता। प्राथमिकता की दो बातें स्मृति में बैठा लेने योग्य हैं क्योंकि ये प्रश्नपत्र दोनों का लाभ उठाते हैं: गुणा और भाग बराबर श्रेणी के हैं और बाएँ से दाएँ चलते हैं, इसलिए 48 ÷ 6 × 2 का मान 16 है, 4 नहीं; और इसी प्रकार जोड़ और घटाव भी बराबर श्रेणी के हैं और बाएँ से दाएँ चलते हैं। प्रतिस्थापन यहाँ इसलिए इतना गहरा काटता है कि यह केवल संक्रियाओं का नाम नहीं बदलता, उनकी श्रेणी भी बदल देता है। छपा हुआ − पन्ने पर सबसे कम प्राथमिकता रखता है, परन्तु यदि प्रश्न उसे ÷ बना दे तो वही स्थान पुनर्लिखित पंक्ति में सर्वोच्च प्राथमिकता पर पहुँच जाता है और पूरी गणना का आकार उलट जाता है। इस विशेष प्रश्न के चारों निर्देश दो अदला-बदली किए गए युग्मों के बजाय एक ही चार-चरणीय चक्र बनाते हैं, और इसीलिए अधूरा पुनर्लेखन लगभग-सही नहीं बल्कि पूरी तरह गलत उत्तर देता है।
पहले अनुवाद, फिर गणना, और घड़ी के लगभग 48 सेकंड प्रति प्रश्न होने पर भी पुनर्लिखित पंक्ति पूरी लिखिए — इस प्रश्न की सारी कठिनाई हिसाब रखने की है, और मन ही मन रखा गया हिसाब ही वह जगह है जहाँ अंक जाता है। प्रतिस्थापन के निर्देश एक बार पढ़िए और उनका आकार नोट कीजिए: + → × → − → ÷ → + एक बंद फंदा है, इसलिए हर चिह्न हिलता है और कोई अपनी जगह नहीं रहता; यदि आपकी पुनर्लिखित पंक्ति में कोई चिह्न मूल पंक्ति के उसी स्थान पर वैसा ही दिख रहा है, तो एक प्रतिस्थापन छूट गया है। एक अधिक सूक्ष्म दिशात्मक जाल भी है। नियम कहता है '+ का अर्थ ×', जो यह बताता है कि छपे हुए + की जगह क्या रखना है; यह नहीं कहता कि हर × को + से बदल दीजिए। व्यंजक को छूने से पहले रफ़ पन्ने पर चारों प्रतिस्थापन एक स्तंभ में लिख लेना दोनों जोखिम एक साथ हटा देता है। फिर प्राथमिकता केवल नई पंक्ति पर लगाइए: 175 ÷ 25 + 5 × 20 − 3 × 10 में किसी भी जोड़ या घटाव से पहले तीन उच्च-प्राथमिकता संक्रियाएँ निपटानी हैं। विभेद करने वाली एकमात्र पहचान यह है कि आरम्भ का ऋण-चिह्न भाग बन चुका है, क्योंकि वही 175 को घटाकर 7 करता है और उस पंक्ति को, जो देखने में सैकड़ों देती लगती है, 77 देने वाली पंक्ति में बदल देता है। हर गलत विकल्प उसी के नीचे की धारा में बैठा है — 140 यह मान लेता है कि उत्तर बड़ा ही रहेगा, 70 भागफल खो देता है, 87 अंतिम पद दो बार गिन लेता है।
- यहाँ का कूट: छपा + का अर्थ ×, छपा × का अर्थ −, छपा ÷ का अर्थ +, और छपा − का अर्थ ÷ — चार निर्देश जो + → × → − → ÷ → + का एक ही बंद चक्र बनाते हैं, इसलिए पुनर्लेखन में कोई चिह्न ज्यों का त्यों नहीं बचता।
- पूरा फिर से लिखने पर 175 − 25 ÷ 5 + 20 × 3 + 10 बन जाता है 175 ÷ 25 + 5 × 20 − 3 × 10, और संक्रियाओं का क्रम उसी पुनर्लिखित पंक्ति पर लगता है, छपी हुई पंक्ति पर कभी नहीं।
- उच्च-प्राथमिकता संक्रियाएँ निपटाने पर 175 ÷ 25 = 7, 5 × 20 = 100 और 3 × 10 = 30 मिलता है, इसलिए मान 7 + 100 − 30 = 77 है, अर्थात् विकल्प (a)।
- निर्णायक संरचनात्मक परिवर्तन यह है कि आरम्भ का − पन्ने की सबसे कम प्राथमिकता वाली संक्रिया से पदोन्नत होकर पुनर्लेखन की सर्वोच्च प्राथमिकता वाली संक्रिया बन जाता है, और किसी भी अन्य मूल्यांकन से पहले 175 को घटाकर 7 कर देता है।
- समय के दबाव में जाँच के लिए एक मुफ़्त सीमा: पुनर्लेखन के बाद केवल 7 और 100 धनात्मक हैं, इसलिए मान 107 से ऊपर नहीं जा सकता — अकेला यही 140 को बाहर कर देता है, और एकमात्र ऋणात्मक पद 30 घटाने पर उत्तर 77 पर स्थिर हो जाता है।
- वह प्राथमिकता-नियम जिसका ये प्रश्नपत्र बार-बार लाभ उठाते हैं: × और ÷ बराबर श्रेणी के हैं और बाएँ से दाएँ चलते हैं, और + तथा − भी वैसे ही, इसलिए 48 ÷ 6 × 2 का मान 4 नहीं बल्कि 16 है।
छपी हुई पंक्ति केवल एक कूटबद्ध रूप है; सब कुछ उसके नीचे लिखी पुनर्लिखित पंक्ति से तय होता है। आरम्भ का छपा ऋण-चिह्न भाग बन जाता है, सबसे कम प्राथमिकता से उछलकर सर्वोच्च पर पहुँच जाता है और 175 को घटाकर 7 कर देता है, और ठीक इसीलिए परिणाम 77 है, वह बड़ी संख्या नहीं जिसका संकेत छपी हुई पंक्ति देती है।
- अनुवाद से पहले ही छपे हुए व्यंजक का मूल्यांकन कर बैठना — छपी हुई पंक्ति एक कूट है, अंकगणितीय कथन नहीं
- किसी नियम की दिशा उल्टी कर देना, जैसे हर × को + से बदल देना जबकि नियम था '+ का अर्थ ×'
- केवल कुछ चिह्न बदलना, जिसे इस नियम की बंद-चक्र संरचना घातक बना देती है, क्योंकि यहाँ कोई भी चिह्न वैसा ही रहने वाला नहीं है
- पुनर्लिखित पंक्ति को कड़ाई से बाएँ से दाएँ हल करना, यह भूलकर कि × और ÷ को + और − से पहले निपटाना ही है
- यह मान लेना कि छपी हुई बड़ी संख्या बड़ा उत्तर देगी ही, जबकि यहाँ आरम्भ का घटाव भाग बन जाता है और 175 सिकुड़कर 7 रह जाता है
BPSC अधिकांश तर्कशक्ति खंडों में एक चिह्न-प्रतिस्थापन या चिह्न-अदला-बदली वाला प्रश्न रखता है और उसे साफ़ संख्याओं, पूरे कटने वाले भाग और संख्यात्मक रूप से पास-पास चार विकल्पों के साथ एक सादी गणना के रूप में पूछता है, इसलिए अंक पूरी तरह इस पर टिकता है कि पुनर्लेखन कागज़ पर हुआ या नहीं — 48 सेकंड के औसत और गलत निशान पर एक-तिहाई अंक के दंड के सामने एक अंक। UPSC ने 2011 में मानसिक योग्यता के प्रारम्भिक परीक्षा प्रश्नपत्र-II में चले जाने के बाद सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्र में संक्रिया-प्रतिस्थापन वाला प्रश्न नहीं पूछा है, और वह प्रश्नपत्र 2015 से केवल 33 प्रतिशत पर अर्हकारी है। जब पुराने सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्रों ने यही विचार परखा तो उन्होंने उसे अंकगणितीय चिह्नों के बजाय अर्थ के प्रतिस्थापन के रूप में परखा — एक ऐसा ग्रह जहाँ पानी का शब्द 'प्रकाश' है, या किसी बीजगणितीय व्यंजक में डाला गया कोई मान जहाँ चिह्नों का अनुशासन उत्तर तय करता है — इसलिए 'पहले विकोडित, फिर गणना' वाला अंतर्निहित कौशल वही है, बस सतह प्रतीकात्मक न होकर शाब्दिक या बीजगणितीय है।
किसी अन्य ग्रह पर पृथ्वी, जल, प्रकाश, वायु और आकाश के लिए स्थानीय शब्द क्रमशः ‘आकाश’, ‘प्रकाश’, ‘वायु’, ‘जल’ और ‘पृथ्वी’ हैं। यदि वहाँ किसी को प्यास लगे, तो वह क्या पिएगा?
- (a) आकाश
- (b) जल
- (c) वायु
- (d) प्रकाश
उत्तर(d) प्रकाश
वही प्रतिस्थापन वाला अनुशासन, बस अंकगणितीय चिह्नों की जगह शब्दों के साथ: पाँच पदों की नई परिभाषा दी गई है, अभ्यर्थी को उत्तर देने से पहले पूरे कथन का अनुवाद करना है, और जाल भी वही है — मानचित्रण को उल्टी दिशा में पढ़ लेना और उसके स्थानीय नाम के बजाय रोज़मर्रा का उत्तर 'जल' चुन लेना।
यदि X = −2 हो, तो X³ − X² − X − 1 का मान है
- (a) 1
- (b) −3
- (c) −11
- (d) −15
उत्तर(c) −11
उसी कौशल का दूसरा आधा भाग — पहले प्रतिस्थापन, फिर कड़ाई से प्राथमिकता के अनुसार मूल्यांकन, चिह्नों से पहले घात: (−2)³ − (−2)² − (−2) − 1 = −8 − 4 + 2 − 1 = −11। वहाँ का हर गलत विकल्प, ठीक यहाँ के 87 और 70 की तरह, एक पद के गलत बरते जाने से आता है जबकि समग्र संरचना सही रहती है।
- अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं
यदि '+' का अर्थ '÷' हो, '−' का अर्थ '×' हो, '÷' का अर्थ '+' हो और '×' का अर्थ '−' हो, तो 15 − 3 + 5 × 2 ÷ 8 का मान क्या है?
- (a)9
- (b)17
- (c)15
- (d)12
उत्तर(c) 15 — पंक्ति फिर से लिखने पर 15 × 3 ÷ 5 − 2 + 8 बनती है; बराबर श्रेणी के × और ÷ को बाएँ से दाएँ निपटाने पर 45 ÷ 5 = 9, फिर 9 − 2 + 8 = 15।
- अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं
यदि P का अर्थ +, Q का अर्थ −, R का अर्थ × और S का अर्थ ÷ हो, तो 18 R 3 S 9 P 12 Q 6 का मान क्या है?
- (a)18
- (b)12
- (c)6
- (d)24
उत्तर(b) 12 — पंक्ति 18 × 3 ÷ 9 + 12 − 6 पढ़ी जाती है, इसलिए 54 ÷ 9 = 6 और 6 + 12 − 6 = 12। 24 उत्तर बाएँ से दाएँ चलकर और भाग निपटाने से पहले जोड़ कर देने से आता है।