BPSC 71वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 125 / 150

सही — B, ऊर्जा संरक्षण सिद्धान्त का उल्लंघन नहीं है। प्रश्न प्रश्न के रूप में नहीं, कथन के रूप में छपा है, और चारों विकल्प उससे निकाले जाने वाले वैकल्पिक निष्कर्ष हैं। कथन जो कहता है वह पूरी तरह सत्य है — पिण्ड गिरता है तो उसकी ऊँचाई h घटती है, इसलिए उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा mgh भी उसी के साथ घटती है — और प्रश्न यह जाँच रहा है कि अभ्यर्थी देख पाता है या नहीं कि कुछ लुप्त नहीं हुआ। हुआ नहीं है। पिण्ड स्थितिज ऊर्जा के रूप में जो भी जूल खोता है, वह उसी क्षण गतिज ऊर्जा के रूप में फिर प्रकट हो जाता है, और दोनों परिवर्तन लगभग नहीं, ठीक-ठीक बराबर होते हैं। प्रमाण एक पंक्ति का है। विराम से h ऊँचाई तक गिरने के बाद समीकरण v² = 2gh से गतिज ऊर्जा (1/2)mv² = (1/2)m(2gh) = mgh निकलती है, जो ठीक वही स्थितिज ऊर्जा है जिसे छोड़ा गया। समान रूप से, कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार गिरने के दौरान गुरुत्व बल mg पिण्ड पर mgh धनात्मक कार्य करता है, और पिण्ड पर किया गया कार्य ही उसे दी गई ऊर्जा है। संख्याएँ इसे ठोस बना देती हैं। 1 किलोग्राम का पिण्ड 20 मीटर से गिराइए और g = 10 मीटर/सेकेण्ड² लीजिए। ऊपर स्थितिज ऊर्जा mgh = 200 जूल है और गतिज ऊर्जा शून्य। बीच में 10 मीटर पर स्थितिज ऊर्जा 100 जूल है, जबकि v² = 2 × 10 × 10 = 200, इसलिए गतिज ऊर्जा 100 जूल। ज़मीन पर स्थितिज ऊर्जा 0, v = 20 मीटर/सेकेण्ड, और गतिज ऊर्जा पूरी 200 जूल। इनमें से हर क्षण पर कुल 200 जूल ही रहता है। आयोग ने 31 अक्टूबर 2025 को अभ्यर्थियों की आपत्तियों का निपटारा करते हुए स्वयं यह बात तय की, यह कहते हुए कि यहाँ भौतिकी के किसी नियम का उल्लंघन नहीं होता और स्थितिज तथा गतिज ऊर्जाओं का योग वही बना रहता है। वही योग, गतिज जमा स्थितिज, पिण्ड की यांत्रिक ऊर्जा है, और वह तब तक नियत रहती है जब तक कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्व जैसा कोई संरक्षी बल हो। दो ईमानदार शर्तें। पहली, यांत्रिक ऊर्जा तभी तक संरक्षित है जब तक वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जाए; कर्षण के साथ यह योग घटता है, और जो यांत्रिक खाते से निकलता है वह पिण्ड तथा आसपास की वायु में ऊष्मा बनकर पहुँचता है, इसलिए कुल ऊर्जा फिर भी संरक्षित रहती है। दूसरी, टकराने पर भी गतिज ऊर्जा लुप्त नहीं होती — वह ध्वनि, ऊष्मा और ज़मीन के स्थायी विरूपण में बदल जाती है, और ठीक इसी तरह गिरता हुआ हथौड़ा कील ठोकता है।

• (a)ऊर्जा संरक्षण सिद्धान्त का उल्लंघन है। — वही जाल जिसके चारों ओर यह प्रश्न बना है, और वह इस तरह काम करता है कि आपको दोनों के बजाय एक ही खाता देखने को उकसाता है। स्थितिज ऊर्जा सचमुच ग़ायब हो रही है, और यदि यही पूरा बहीखाता होता तो ऊर्जा वास्तव में लुप्त हो रही होती। पर संरक्षण निकाय की कुल ऊर्जा पर लागू होता है, और गतिज खाता ठीक उसी दर से भर रहा है जिस दर से स्थितिज खाता खाली हो रहा है : हर ऊँचाई पर mgh खोया, (1/2)mv² = mgh पाया।
• (c)गुरूत्वाकर्षण बल का उल्लंघन है। — सरासर ग़लत, और यह भौतिकी को उलट देता है। गिरने के दौरान गुरुत्व की अवहेलना नहीं हो रही — गुरुत्व ही वह कारक है जो गिरना करा रहा है। बल mg पूरे समय नीचे की ओर लगता है, पिण्ड पर mgh धनात्मक कार्य करता है, और वही कार्य गतिज ऊर्जा के रूप में प्रकट होता है। गुरुत्व हटा दीजिए तो न गिरना बचेगा, न स्थितिज ऊर्जा का ह्रास, न प्रश्न। साथ ही बल ऐसी चीज़ है ही नहीं जिसका ‘उल्लंघन’ हो सके; नियमों का पालन होता है या वे टूटते हैं, बल तो बस लगते हैं।
• (d)गुरूत्वाकर्षण बल का उल्लंघन नही है। — सूक्ष्म वाला विकल्प, क्योंकि जल्दबाज़ अभ्यर्थी इसे निर्दोष और सत्य मानकर पढ़ता है — गुरुत्व निश्चय ही नहीं तोड़ा जा रहा — और वहीं रुक जाता है। उत्तर के रूप में यह इसलिए विफल है कि यह प्रश्न का उत्तर देता ही नहीं : कथन ऊर्जा के प्रकट रूप से लुप्त होने की पहेली उठाता है, इसलिए उसे सुलझाने वाला विकल्प ऊर्जा संरक्षण वाला ही होना चाहिए। यह ढीले ढंग से गढ़ा भी गया है, क्योंकि ‘गुरुत्वाकर्षण बल’ एक बल का नाम है, कोई ऐसा नियम नहीं जिसका उल्लंघन पहले स्थान पर सम्भव हो।

ऊर्जा अनेक रूपों में होती है — गतिज, स्थितिज, तापीय, रासायनिक, विद्युत, नाभिकीय, विकिरण — और ऊर्जा संरक्षण का सिद्धान्त कहता है कि किसी विलगित निकाय में सभी रूपों का कुल योग नियत रहता है : ऊर्जा एक रूप से दूसरे रूप में बदली जा सकती है, पर न बनाई जा सकती है न नष्ट की जा सकती है। ऊष्मा और कार्य के लिए कहा जाए तो यही ऊष्मागतिकी का पहला नियम है, और यह 1840 के दशक में यूलिउस रोबर्ट फ़ॉन मायर (1842), जेम्स प्रेस्कॉट जूल (1843–45) तथा हरमन फ़ॉन हेल्महोल्ट्ज़ (1847) के काम से जुड़कर बना। एमी नोएदर ने 1918 में दिखाया कि यह प्रेक्षण का कोई संयोग नहीं बल्कि सममिति का परिणाम है — ऊर्जा इसीलिए संरक्षित रहती है कि भौतिकी के नियम समय के साथ बदलते नहीं। गिरता पिण्ड पाठ्यक्रम का सबसे सरल उदाहरण है। पृथ्वी की सतह के पास गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा U = mgh है, वह ऊर्जा जो पिण्ड अपनी स्थिति के कारण रखता है और जिसे आप जिस भी सन्दर्भ तल से चाहें मापें; गतिज ऊर्जा K = (1/2)mv² है, जो वह अपनी गति के कारण रखता है। इनका योग यांत्रिक ऊर्जा है। गुरुत्व संरक्षी बलों नामक विशेष वर्ग का है, जिनके लिए दो बिंदुओं के बीच किया गया कार्य केवल उन्हीं बिंदुओं पर निर्भर करता है, लिए गए पथ पर नहीं, और जिनके लिए इसीलिए स्थितिज ऊर्जा परिभाषित की जा सकती है। जब भी कार्य केवल संरक्षी बल कर रहे हों, अकेली यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। कोई असंरक्षी बल ले आइए — घर्षण, वायु कर्षण, श्यानता — और यांत्रिक ऊर्जा नियत नहीं रहती : कमी तापीय ऊर्जा में बदल जाती है, इसलिए कुल ऊर्जा तब भी संरक्षित रहती है जबकि गतिज जमा स्थितिज का योग नहीं। यही भेद, यांत्रिक ऊर्जा बनाम कुल ऊर्जा, वह जगह है जहाँ इस विषय के अधिकांश परीक्षा-प्रश्न असल में तय होते हैं।

यहाँ तर्क अंकगणित का नहीं है; यह जानने का है कि परिघटना किस नियम से जुड़ी है और आधी सुनाई गई कहानी से चौंक न जाने का। पहली चाल : कथन को वैसा ही पढ़िए जैसा वह है — ऊर्जा के एक रूप के घटने के बारे में एक सत्य कथन, जिसे इस तरह रखा गया है कि वह विरोधाभास जैसा दिखे। दूसरी चाल : पूछिए कि वह ऊर्जा गई कहाँ, और उसका उत्तर दावे से नहीं संख्या से दीजिए, क्योंकि बराबरी ठीक-ठीक है। विराम से छोड़ा गया और h गिर चुका पिण्ड v² = 2gh रखता है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा (1/2)m(2gh) = mgh है, यानी ठीक उतनी ही जितनी स्थितिज ऊर्जा उसने छोड़ी। लगभग बराबर नहीं, अधिकतर नहीं — समान। तीसरी चाल : वह विकल्प चुनिए जो ऊर्जा की बात करता है, क्योंकि कथन उसी के बारे में है। एकमात्र निर्णायक तथ्य यह है कि संरक्षण कुल के बारे में कथन है, किसी एक रूप के बारे में कभी नहीं। भौतिकी का कोई सिद्धान्त यह नहीं कहता कि स्थितिज ऊर्जा नियत रहनी चाहिए; कई कहते हैं कि योग नियत रहना चाहिए। यह स्पष्ट होते ही विकल्प (a) ढह जाता है, क्योंकि वह खातों के बीच के हस्तांतरण को बैंक से हुई हानि मान लेता है। विकल्प (c) और (d) अलग-अलग कारणों से विफल होते हैं और उन्हें अलग करके देखना उपयोगी है। विकल्प (c) बस उलटा है — गुरुत्व का उल्लंघन नहीं हो रहा, वह तो वही कार्य कर रहा है जो पूरी प्रक्रिया चला रहा है। विकल्प (d) दोनों में अधिक ख़तरनाक है क्योंकि वह आपत्तिहीन लगता है, और समय के दबाव में अभ्यर्थी उसे ‘यहाँ कुछ ग़लत नहीं है’ वाला सुरक्षित उत्तर मानकर लगा सकता है; वह इसलिए विफल है कि वह कथन की उठाई पहेली को छूता ही नहीं, और इसलिए भी कि बल ऐसी वस्तु नहीं जिसका उल्लंघन हो। अन्त में वह ईमानदार सीमा-शर्त, जो सबसे आम अगला प्रश्न भी है : यह सब वायु प्रतिरोध की उपेक्षा मानकर चलता है। कर्षण जोड़ दीजिए तो गिरते पिण्ड का गतिज जमा स्थितिज घटता है और लुप्त ऊर्जा वायु तथा पिण्ड को गरम करती है; सीमान्त वेग पर पहुँचा स्काईडाइवर गतिज ऊर्जा बढ़ाना पूरी तरह बंद कर चुका होता है जबकि ऊँचाई अब भी खो रहा होता है, और मुक्त होती स्थितिज ऊर्जा का हर जूल सीधे ऊष्मा और ध्वनि में जा रहा होता है।

• विराम से छोड़े गए और h ऊँचाई गिरे पिण्ड के लिए v² = 2gh, इसलिए प्राप्त गतिज ऊर्जा (1/2)m(2gh) = mgh होती है — ठीक उतनी ही जितनी स्थितिज ऊर्जा खोई गई। यह बराबरी कोई सन्निकटन नहीं है, और यह गिरने के हर बिंदु पर लगातार बनी रहती है, केवल आरम्भ और अंत में नहीं।
• g = 10 मीटर/सेकेण्ड² पर 20 मीटर से गिराए गए 1 किलोग्राम पिण्ड का हल किया हुआ उदाहरण : ऊपर स्थितिज ऊर्जा 200 जूल और गतिज 0; 10 मीटर पर स्थितिज 100 जूल और v = 14.1 मीटर/सेकेण्ड, इसलिए गतिज 100 जूल; ज़मीन पर स्थितिज 0 और v = 20 मीटर/सेकेण्ड, इसलिए गतिज 200 जूल। हर क्षण कुल 200 जूल।
• 31 अक्टूबर 2025 को अभ्यर्थियों की आपत्तियों का निपटारा करते हुए बिहार लोक सेवा आयोग ने कहा कि इस स्थिति में भौतिकी के किसी नियम का उल्लंघन नहीं होता और स्थितिज तथा गतिज ऊर्जाओं का योग वही बना रहता है।
• ऊर्जा संरक्षण का सिद्धान्त — ऊर्जा रूपांतरित की जा सकती है पर न बनाई जा सकती है न नष्ट की जा सकती है — 1840 के दशक में यूलिउस रोबर्ट फ़ॉन मायर (1842), जेम्स प्रेस्कॉट जूल (1843–45) और हरमन फ़ॉन हेल्महोल्ट्ज़ (1847) के काम से स्थापित हुआ; एमी नोएदर ने 1918 में सिद्ध किया कि यह समय में स्थानांतरण के प्रति भौतिक नियमों की अपरिवर्तनीयता से निकलता है।
• यांत्रिक ऊर्जा, यानी गतिज जमा स्थितिज का योग, केवल तभी संरक्षित रहती है जब कार्य करने वाले बल संरक्षी हों, जैसा गुरुत्व है। वायु प्रतिरोध के अधीन यह योग घटता है और अंतर ऊष्मा के रूप में प्रकट होता है : सीमान्त वेग पर पहुँचा स्काईडाइवर, पेट-नीचे मुद्रा में लगभग 53 मीटर/सेकेण्ड पर, आगे कोई गतिज ऊर्जा अर्जित करता ही नहीं, जबकि स्थितिज ऊर्जा तब भी मुक्त हो रही होती है।
• टकराव पर भी कुछ नष्ट नहीं होता। 20 मीटर/सेकेण्ड पर उस 1 किलोग्राम पिण्ड के पास जो 200 जूल हैं वे ध्वनि, ऊष्मा और ज़मीन के स्थायी विरूपण में बदल जाते हैं — वही रूपांतरण जो गिरते हथौड़े से कील ठुकवाता है, और वही जिसे जलविद्युत संयंत्र संचित जल की स्थितिज ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में बदलते समय काम में लेता है।

• ऊर्जा का केवल एक रूप देखते रहना : स्थितिज ऊर्जा सचमुच घटती है, पर संरक्षण कुल के बारे में कथन है, और हर ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा ठीक उतनी ही बढ़ रही होती है
• गुरुत्वाकर्षण बल वाला विकल्प इसलिए चुन लेना कि वह निर्दोष लगता है — कथन ऊर्जा के बारे में पहेली रखता है, इसलिए उत्तर देने वाला विकल्प ऊर्जा संरक्षण वाला ही है, और बल ऐसी चीज़ नहीं जिसका ‘उल्लंघन’ हो सके
• यह भूल जाना कि वायु प्रतिरोध न होने की शर्त केवल यांत्रिक ऊर्जा को चाहिए : कर्षण के साथ गतिज जमा स्थितिज घटता ज़रूर है, पर कुल ऊर्जा फिर भी संरक्षित रहती है क्योंकि कमी ऊष्मा बन जाती है

BPSC प्रस्ताव को सादे कथन के रूप में छापता है और ‘उल्लंघन है’ तथा ‘उल्लंघन नहीं है’ शब्दों पर बने चार पूरक विकल्प देता है, इसलिए असली काम यह चुनना है कि परिघटना किस नियम से जुड़ी है — और अनूदित प्रश्नपत्र में उस विकल्प से बचना जो केवल निरापद सुनाई देता है। UPSC यह ढाँचा कभी काम में नहीं लेता। वह स्थितिज-से-गतिज के उसी आदान-प्रदान को किसी भौतिक स्थिति के भीतर रखकर आपसे लागू कराता है : 1997 में उसने पूछा कि दीर्घवृत्तीय कक्षा में बुध की गतिज ऊर्जा कहाँ सर्वाधिक होती है, और 2001 में पूछा कि दोलन करते सरल लोलक के बारे में कौन-से कथन सही हैं, जिनमें यह भी था कि आयाम समय के साथ घटता है क्योंकि ऊर्जा वायु में रिसती रहती है।

• अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं

  2 किलोग्राम द्रव्यमान का एक पिण्ड 10 मीटर की ऊँचाई से गिराया जाता है। g = 10 मीटर/सेकेण्ड² लेते हुए और वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए, ज़मीन से टकराने से ठीक पहले उसकी गतिज ऊर्जा होगी

  • (a)20 जूल
  • (b)100 जूल
  • (c)200 जूल
  • (d)400 जूल

  उत्तर(c) 200 जूल — खोई गई स्थितिज ऊर्जा mgh = 2 × 10 × 10 = 200 जूल है, और वायु प्रतिरोध न होने पर वह पूरी की पूरी गतिज ऊर्जा के रूप में प्रकट होती है; वही आँकड़ा v² = 2gh = 200 से भी निकलता है, जिससे (1/2) × 2 × 200 = 200 जूल मिलता है।

• अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं

  जब कोई पिण्ड गुरुत्व के अधीन मुक्त रूप से गिरता है और वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जाती है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा नियत रहता है ?

  • (a)उसकी स्थितिज ऊर्जा
  • (b)उसकी गतिज ऊर्जा
  • (c)उसका संवेग
  • (d)उसकी स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं का योग

  उत्तर(d) उसकी स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं का योग — स्थितिज ऊर्जा घटती है और गतिज ऊर्जा ठीक उतनी ही बढ़ती है, इसलिए यांत्रिक ऊर्जा नियत रहती है। संवेग लगातार बढ़ता रहता है क्योंकि गुरुत्व पिण्ड पर लगने वाला बाह्य बल है।