BPSC 69वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 21 / 144

सही — C, किसी भी क्षण एक ही वेग होगा। "स्वतंत्र रूप से गिरना" का अर्थ है कि केवल गुरुत्व ही कार्य कर रहा है। न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम चंद्रमा की सतह पर रखे m द्रव्यमान वाले पिंड पर खिंचाव F = GMm/R² रखता है, जहाँ M चंद्रमा का द्रव्यमान (7.35 × 10²² किग्रा) और R उसकी त्रिज्या (1,737 किमी) है। इसके बाद न्यूटन का द्वितीय नियम उस पिंड का त्वरण a = F/m = GM/R² देता है — और गिरते पिंड का अपना द्रव्यमान m इस व्यंजक से पूरी तरह कट चुका है। इसलिए चंद्रमा की सतह के पास हर वस्तु एक ही त्वरण से गिरती है, चंद्रमा पर g = 1.62 मी/से², जो पृथ्वी के 9.8 मी/से² का मोटे तौर पर छठा भाग है। इस प्रकार विराम से एक साथ छोड़ी गई दो वस्तुएँ v = u + at को समान u = 0 और समान a के साथ संतुष्ट करती हैं, इसलिए हर क्षण उनकी चाल बराबर रहती है, और s = ½at² से वे समान दूरी भी तय कर चुकी होती हैं। यह श्यामपट का तर्क भर नहीं है: यह वस्तुतः चंद्रमा पर करके दिखाया गया। 2 अगस्त 1971 को, अपोलो 15 की तीसरी चंद्र-यात्रा में, डेविड स्कॉट ने एक हाथ में लगभग 1.32 किग्रा का ऐलुमिनियम भूविज्ञान हथौड़ा और दूसरे में लगभग 30 ग्राम का बाज़ का पंख लिया, दोनों को टेलीविज़न कैमरे के सामने एक साथ छोड़ा, और वे एक ही क्षण चंद्र-धूल पर गिरे। पृथ्वी पर पंख यह दौड़ इसलिए हारता है कि वायु का घर्षण उसके साथ अलग बर्ताव करता है, गुरुत्व नहीं — और चंद्रमा पर व्यावहारिक रूप से हवा है ही नहीं, उसका बहिर्मंडल पृथ्वी के सतही दाब के लगभग 10⁻¹⁵ भाग पर बैठा है, इसलिए वहाँ मुक्त पतन सचमुच मुक्त है। प्रश्न जिस एक शर्त को अनकहा छोड़ देता है उसे नाम दे देना चाहिए: हर क्षण वेग बराबर इसलिए है कि दोनों विराम से एक साथ गिर रही हैं; यदि उन्हें अलग-अलग क्षणों पर छोड़ा जाता तो त्वरण फिर भी साझा होता, चाल नहीं।

• (a)अलग-अलग त्वरण होगा — सहज-प्रवृत्ति वाला उत्तर, और वही जो अरस्तू लगभग दो हज़ार वर्ष तक पढ़ाते रहे — भारी चीज़ों को तेज़ गिरना ही चाहिए। गैलीलियो की सूझ, जिसे न्यूटन के बीजगणित ने पुष्ट किया, यह है कि गुरुत्वीय खिंचाव द्रव्यमान के ठीक अनुपात में बढ़ता है, जबकि त्वरित होने के विरुद्ध प्रतिरोध (जड़त्व) भी ठीक उसी अनुपात में बढ़ता है, इसलिए दोनों वृद्धियाँ कट जाती हैं और चंद्रमा पर हर पिंड 1.62 मी/से² से त्वरित होता है। अलग-अलग त्वरण तभी प्रकट होता है जब वायु-घर्षण जैसा कोई दूसरा बल आ जाए, और चंद्रमा पर वह मूलतः है ही नहीं।
• (b)उनके जड़त्व में परिवर्तन होगा — जड़त्व द्रव्यमान से मापा जाता है, और द्रव्यमान पिंड का आंतरिक गुण है — वह इसलिए नहीं बदलता कि पिंड चंद्रमा पर ले जाया गया है या इसलिए कि वह गिर रहा है। 60 किग्रा का व्यक्ति पृथ्वी पर, चंद्रमा पर और गहन अंतरिक्ष में — तीनों जगह 60 किग्रा द्रव्यमान ही लिए रहता है; जो बदलता है वह भार है, यानी बल mg, जो पृथ्वी पर लगभग 588 न्यूटन से घटकर चंद्रमा पर लगभग 97 न्यूटन हो जाता है। अभ्यर्थी इस विकल्प को तब चुनते हैं जब वे चुपचाप 'जड़त्व' की जगह 'भार' रख लेते हैं।
• (d)समान परिमाण के बल का अनुभव होगा — अति-सुधार वाला जाल: जिस अभ्यर्थी को अभी-अभी याद आया है कि त्वरण बराबर हैं, वह मान लेता है कि बल भी बराबर होंगे। नहीं होते। गुरुत्वीय बल F = mg है, इसलिए 10 किग्रा की चट्टान 16.2 न्यूटन से खिंचती है जबकि 1 किग्रा की चट्टान 1.62 न्यूटन से — दस गुना अंतर। त्वरण ठीक इसलिए बराबर निकलते हैं कि बड़ा बल आनुपातिक रूप से बड़े जड़त्व पर लगाया गया है, इसलिए नहीं कि बल समान हैं।

मुक्त पतन केवल गुरुत्व के अधीन होने वाली गति है, जिसमें हर दूसरा बल — सबसे बढ़कर वायु प्रतिरोध — अनुपस्थित या नगण्य होता है। इसका परिभाषक गुण यह है कि किसी दिए गए स्थान पर वह हर पिंड में एक ही त्वरण पैदा करता है, क्योंकि किसी पिंड पर गुरुत्वीय बल उसके द्रव्यमान के अनुपात में होता है जबकि त्वरण के विरुद्ध उसका प्रतिरोध भी उसी द्रव्यमान से मापा जाता है। औपचारिक रूप से, F = GMm/R² में आने वाला गुरुत्वीय द्रव्यमान और F = ma में आने वाला जड़त्वीय द्रव्यमान संख्यात्मक रूप से एक ही हैं — यही दुर्बल तुल्यता सिद्धांत है, जिसे आज 10¹⁵ में एक भाग से भी बेहतर परिशुद्धता पर जाँचा जा चुका है और जिसे आगे चलकर आइंस्टाइन ने सामान्य आपेक्षिकता की नींव में सामान्यीकृत किया। परिणाम यह कि g का मान आकर्षित करने वाले पिंड का होता है, गिरने वाले का नहीं: पृथ्वी की सतह पर 9.8 मी/से², चंद्रमा की सतह पर 1.62 मी/से², मंगल पर 3.72 मी/से², बृहस्पति पर लगभग 24.8 मी/से²। इस विषय में द्रव्यमान, भार और जड़त्व को अलग-अलग रखना ज़रूरी है: द्रव्यमान (किग्रा) आंतरिक है, भार (न्यूटन) बल mg है और स्थान-दर-स्थान बदलता है, और जड़त्व गति के परिवर्तन का विरोध करने वाली भूमिका में पिंड के द्रव्यमान का ही दूसरा नाम है।

छँटाई से तर्क कीजिए और यह मद सेकंडों में ढह जाती है। विकल्प (a) इसलिए विफल है कि a = GM/R² में से m कट जाता है, और गैलीलियो के परिणाम की पूरी अंतर्वस्तु यही है। विकल्प (b) परिभाषा पर विफल है — जड़त्व द्रव्यमान है, और द्रव्यमान न स्थान के साथ बदलता है न गति की अवस्था के साथ। विकल्प (d) वही है जो आधे-तैयार अभ्यर्थी को पकड़ लेता है, क्योंकि वह ऊपर से 'बराबर त्वरण' जैसा ही कथन लगता है और वस्तुतः उसका उलटा है: F = mg दोनों पिंडों में ठीक उतना ही भिन्न है जितने उनके द्रव्यमान, और उनमें साझा F नहीं, अनुपात F/m है। इससे (c) बचता है, जो एक ही आरंभिक क्षण और एक ही विराम-अवस्था से लगे साझा त्वरण का सही परिणाम है। इसलिए एकमात्र विभेदक विचार बल और त्वरण का अंतर है। इस प्रश्न में चंद्रमा सजावट नहीं है: BPSC ने प्रश्न वहाँ इसलिए रखा कि कोई अभ्यर्थी चोरी-छिपे वायु प्रतिरोध न घुसा सके, और 'g = 9.8' सहज-प्रवृत्ति से न लगाया जा सके। यह भी ध्यान दीजिए कि मंगल पर, या निर्वात कक्ष में पृथ्वी पर भी उत्तर वही रहता — केवल g का संख्यात्मक मान बदलता।

• चंद्रमा का सतही गुरुत्व 1.622 मी/से² है, जो पृथ्वी के g का लगभग 0.1654 भाग है — वही परिचित 'छठा भाग' वाला आँकड़ा। 60 किग्रा के अंतरिक्ष यात्री का भार पृथ्वी पर लगभग 588 न्यूटन और चंद्रमा पर लगभग 97 न्यूटन होता है, जबकि उनका द्रव्यमान दोनों जगह 60 किग्रा ही रहता है।
• मुक्त पतन में त्वरण a = GM/R² है, जो GMm/R² को ma के बराबर रखकर मिलता है: गिरते पिंड का अपना द्रव्यमान कट जाता है, और इसीलिए वह उत्तर में कभी आता ही नहीं। चंद्रमा के लिए M = 7.35 × 10²² किग्रा और R = 1,737 किमी।
• अपोलो 15, 2 अगस्त 1971: कमांडर डेविड स्कॉट ने 1.32 किग्रा का ऐलुमिनियम भूविज्ञान हथौड़ा और 0.03 किग्रा का बाज़ का पंख एक ही ऊँचाई से सजीव टेलीविज़न पर गिराया, और वे साथ-साथ उतरे। पंख इसलिए ले जाया गया था कि चंद्र-मॉड्यूल का नाम फ़ाल्कन (बाज़) था।
• यह प्रदर्शन चंद्रमा पर इसलिए चलता है कि वहाँ उल्लेखनीय वायुमंडल है ही नहीं — रात में सतही दाब 10⁻¹⁰ पास्कल की कोटि का, जो धूप में सतह से गैस निकलने पर बढ़कर लगभग 10⁻⁷ पास्कल हो जाता है — यानी क्रमशः पृथ्वी के समुद्र-तल दाब का मोटे तौर पर 10⁻¹⁵ और 10⁻¹² भाग — इसलिए न कोई घर्षण है, न सीमांत वेग, और न पतन का आकार या घनत्व पर कोई निर्भरता।
• गिरने का समय √(2h/g) के अनुपात में चलता है: 2 मीटर से गिराया गया पत्थर पृथ्वी पर लगभग 0.64 सेकंड लेता है पर चंद्रमा पर लगभग 1.57 सेकंड, यानी √6 का अनुपात। चंद्रयान-3 के विक्रम लैंडर को 23 अगस्त 2023 को चंद्र दक्षिण ध्रुव के पास सॉफ़्ट लैंडिंग के दौरान ठीक इसी 1.62 मी/से² के विरुद्ध ब्रेक लगाने पड़े थे, और वह दिन अब राष्ट्रीय अंतरिक्ष दिवस के रूप में मनाया जाता है।

• 'बराबर त्वरण' को 'बराबर बल' पढ़ लेना — बल mg हैं और द्रव्यमान के साथ भिन्न होते हैं; विकल्प (d) ठीक इसी को पकड़ने के लिए बनाया गया है
• यह मान बैठना कि भारी पिंड तेज़ गिरता है, जो केवल वहीं सही है जहाँ वायु-घर्षण मौजूद हो, और ठीक इसीलिए यह प्रयोग चंद्रमा पर या निर्वात में करने योग्य है
• भार को जड़त्व के बदले रख देना — चंद्रमा पर किसी पिंड का भार घटकर छठा भाग रह जाता है जबकि उसका द्रव्यमान और इसलिए उसका जड़त्व अपरिवर्तित रहता है, और विकल्प (b) यहीं से आता है

BPSC इसे एक पंक्ति और चार एक-उपवाक्य वाले विकल्पों में रखता है, बिना किसी गणित के, इसलिए पूरी मद इसी पर घूमती है कि त्वरण को बल से और द्रव्यमान को भार से अलग किया जा सके — यही शैली उसने 71वीं सी० सी० ई० में भी प्रयोग की, जहाँ स्वतंत्र रूप से गिरते पिंड की स्थितिज ऊर्जा पर एक सपाट कथन को ऊर्जा संरक्षण से मिलाना था। UPSC ने वही भौतिकी संख्यात्मक और तिरछे ढंग से ली है: यह पूछकर कि 100 किग्रा के पिंड का द्रव्यमान चंद्रमा पर क्या हो जाएगा (2001), और यह कि परिक्रमा करता उपग्रह नीचे क्यों नहीं गिरता (2011) — जो कक्षीय गति के जामे में मुक्त पतन ही है।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  किसी पिंड का भार पृथ्वी की सतह पर 60 न्यूटन है। चंद्रमा की सतह पर उसका भार क्या होगा, जहाँ गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के मान का लगभग छठा भाग है?

  • (a)10 न्यूटन
  • (b)60 न्यूटन
  • (c)360 न्यूटन
  • (d)शून्य

  उत्तर(a) 10 न्यूटन — भार बल mg है, इसलिए g के छठा भाग रह जाने पर वह 60 न्यूटन का छठा भाग रह जाता है; पिंड का द्रव्यमान, और इसलिए उसका जड़त्व, अपरिवर्तित रहता है।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  चंद्रमा की सतह के पास, जहाँ g = 1.6 मी/से² है और कोई वायु प्रतिरोध नहीं है, एक पत्थर विराम से गिराया जाता है। 5 सेकंड बाद उसकी चाल क्या होगी?

  • (a)3.2 मी/से
  • (b)8 मी/से
  • (c)32 मी/से
  • (d)80 मी/से

  उत्तर(b) 8 मी/से — v = u + at = 0 + 1.6 × 5 = 8 मी/से, और इस परिणाम में पत्थर का द्रव्यमान कहीं आता ही नहीं।