BPSC 69वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 145 / 144

सही — B, 182। जो पद प्रश्नपत्र वास्तव में छापता है, उन्हीं के प्रथम अंतर निकालिए। 156 − 132 = 24; अगला अंतराल अज्ञात वाला है; फिर 210 → 240 = 30 और 240 → 272 = 32। पूँछ के ये दो अंतराल 2 से भिन्न हैं, इसलिए अंतरों की सीढ़ी हर क़दम पर 2 से चढ़ रही है, जो दोनों अज्ञात अंतरालों को 26 और 28 होने पर बाध्य कर देती है। इससे मिलता है 132 + 24 = 156, 156 + 26 = 182, और 182 + 28 = 210 — और 210 वह पद है जो प्रश्नपत्र छापता है, इसलिए नियम प्रश्न के विरुद्ध जाँचा जा रहा है, प्रश्न से मान नहीं लिया जा रहा। एक दूसरा, स्वतंत्र पाठ भी उसी संख्या पर उतरता है: हर पद दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है, 11 × 12 = 132, 12 × 13 = 156, 14 × 15 = 210, 15 × 16 = 240, 16 × 17 = 272, इसलिए बीच का लुप्त गुणनफल 13 × 14 = 182 है। इस रूप n(n + 1) की संख्याएँ प्रोनिक या आयताकार (oblong) संख्याएँ कहलाती हैं। परीक्षा-कक्ष के लिए याद रखने योग्य एक पंक्ति का शॉर्टकट भी है: जब द्वितीय अंतर कोई अचर d हो, तो दो ज्ञात पदों के बीच पड़ने वाला कोई भी पद बराबर होता है (उसके दोनों पड़ोसियों का योग − d) ÷ 2 के। यहाँ वह है (156 + 210 − 2) ÷ 2 = 364 ÷ 2 = 182, और कोई सीढ़ी लिखनी ही नहीं पड़ती।

• (a)196 — 196, 14² है, और ठीक यही चारा है: जो अभ्यर्थी देख लेता है कि 210 = 14 × 15 और 240 = 15 × 16, और फिर पीछे की ओर काम करता है, वह 13 × 14 के बजाय 14 × 14 पर फिसल सकता है। इसे छपे हुए पदों पर कसिए और यह ढह जाता है — 156 → 196 का अंतराल 40 है और 196 → 210 का 14, इसलिए सीढ़ी पढ़ी जाएगी 24, 40, 14, 30, 32, जो कोई पैटर्न ही नहीं है।
• (c)199 — एकमात्र विषम संख्या जो दी गई है, और उसे कोई नियम खोजने से पहले ही काटा जा सकता है: दो क्रमागत पूर्णांकों में से एक हमेशा सम होता है, इसलिए इस शृंखला का हर पद सम है। 199 अभाज्य भी है, जिससे समय समाप्त हो जाने पर वह स्वाभाविक-सा दिखने वाला यादृच्छिक अनुमान बन जाता है। अंतर वाली कसौटी पर यह 43 और 11 के अंतराल देता है, जो शृंखला की पूँछ में दिख रही सधी हुई चढ़ाई जैसा कुछ भी नहीं है।
• (d)204 — यह उस अभ्यर्थी के लिए जाल है जो आरंभिक अंतराल 24 लेकर मान लेता है कि अंतराल दुगुने होते जाते हैं: 156 + 48 = 204। यह अगले ही क़दम पर विफल हो जाता है, क्योंकि 204 → 210 का अंतराल 6 है — उस 24 से भी छोटा जिससे शृंखला शुरू हुई थी — जबकि छपे हुए पूँछ वाले अंतराल 30 और 32 स्पष्टतः अब भी चढ़ रहे हैं। 204 का गुणनखंडन 12 × 17 है, जो किसी क्रमागत-पूर्णांक पैटर्न में भी नहीं बैठता।

संख्या-शृंखला वाली मद एक नियम छिपाती है और आपसे कहती है कि दिखाए गए पदों से उसे फिर से खड़ा कीजिए। देखते ही पहचानने योग्य परिवार थोड़े ही हैं: अचर अंतर (समांतर), अचर अनुपात (गुणोत्तर), ऐसा अंतर जो स्वयं किसी पैटर्न में चले (जिसका अर्थ है कि भीतर का नियम द्विघात या उससे ऊँचा है), वर्ग या घन जिनमें कोई अचर जोड़ा या घटाया गया हो, क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल, और वे एकांतर शृंखलाएँ जिनमें विषम तथा सम स्थानों के पद अलग-अलग नियमों से चलते हैं। सबसे उपजाऊ पहला क़दम हमेशा एक ही है — पदों के नीचे प्रथम अंतर लिख दीजिए। यदि वे अचर हों तो नियम रैखिक है। यदि न हों तो उन्हीं अंतरों के अंतर लीजिए। अचर द्वितीय अंतर द्विघात नियम की पहचान है, और यह प्रश्न ठीक वही स्थिति है: द्वितीय अंतर पूरे में 2 है, जो नियम n² + n = n(n + 1) से मेल खाता है।

इस विशेष शृंखला की बनावट एक उपहार है, और यह पहचानना कि क्यों, वही हस्तांतरणीय कौशल है। प्रश्न-चिह्न तीसरे स्थान पर बैठा है, जिससे पूँछ के तीन क्रमागत पद अछूते रह जाते हैं — 210, 240, 272। केवल वे तीन ही दो साफ़ अंतर देते हैं, 30 और 32, और इस तरह सीढ़ी की पूरी संरचना दे देते हैं, इससे पहले कि आपने ख़ाली जगह की ओर देखा भी हो। शृंखला के उस हिस्से से नियम निकालना जिसे परीक्षक ने अक्षत छोड़ा है, और उसके बाद ही उसे छेद के आर-पार पीछे ले जाना, प्रश्न-चिह्न के सबसे पास वाले दो पदों से अनुमान लगाने की तुलना में कहीं अधिक सुरक्षित है। विभेदक प्रेक्षण यह है कि द्वितीय अंतर 2 है, यह नहीं कि पद प्रोनिक संख्याएँ हैं — गुणनफल वाला रूप सुरुचिपूर्ण है और उपयोगी प्रति-जाँच है, पर जिस अभ्यर्थी को 13 × 14 कभी नहीं सूझता वह भी अंतर-सीढ़ी से लगभग पंद्रह सेकंड में 182 तक पहुँच जाता है। यहाँ दो आदतें अपनी क़ीमत वसूल लेती हैं। पहली, संभावित नियम को हमेशा प्रश्नपत्र में छपे किसी पद पर जाँचिए, केवल ख़ाली जगह पर नहीं: 182 + 28 = 210 वही क़दम है जो अनुमान को उत्तर में बदल देता है। दूसरी, सम-विषम को मुफ़्त की छन्नी की तरह प्रयोग कीजिए — जब हर छपा पद सम हो, तो कोई विषम विकल्प पहुँचते ही मर जाता है।

• छहों पद n = 11 से 16 तक प्रोनिक (आयताकार) संख्याएँ n(n + 1) हैं: 11 × 12 = 132, 12 × 13 = 156, 13 × 14 = 182, 14 × 15 = 210, 15 × 16 = 240, 16 × 17 = 272
• प्रथम अंतर चलते हैं 24, 26, 28, 30, 32 — सार्व अंतर 2 वाली समांतर श्रेढ़ी, इसलिए द्वितीय अंतर अचर 2 है और भीतर का नियम द्विघात है
• अचर द्वितीय अंतर d के लिए अंतर्वेशन का शॉर्टकट: लुप्त बीच का पद = (दोनों पड़ोसियों का योग − d) ÷ 2, यहाँ (156 + 210 − 2) ÷ 2 = 182
• प्रोनिक संख्या हमेशा सम होती है, क्योंकि किन्हीं दो क्रमागत पूर्णांकों में से एक सम होता है, और वह किसी त्रिभुजाकार संख्या की दुगुनी होती है: 182 = 2 × 91, और 91 तेरहवीं त्रिभुजाकार संख्या है
• शृंखला आगे चलती है 17 × 18 = 306 और 18 × 19 = 342, जिनके अंतराल 34 और 36 हैं

• नियम को प्रश्न-चिह्न के बग़ल वाले दो पदों से बनाना, न कि पूँछ पर पड़े अछूते पदों की कड़ी से
• ऐसा नियम स्वीकार कर लेना जो ख़ाली जगह पर बैठ जाए, बिना उसे प्रश्नपत्र में सचमुच छपे किसी पद पर दुबारा जाँचे
• सम-विषम की अनदेखी करना — यहाँ हर छपा पद सम है, जो कोई भी अंकगणित करने से पहले ही विषम विकल्प को मार देता है

BPSC सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्र के बिलकुल अंत में तर्कशक्ति का एक छोटा खंड रखता है, और उसमें आने वाली संख्यात्मक मदें जानबूझकर यंत्रवत् होती हैं — एक छिपा नियम, चार संख्यात्मक विकल्प, कोई शब्द-क्रीड़ा नहीं — इसलिए तैयार अभ्यर्थी के लिए ये प्रश्नपत्र के सबसे तेज़ अंक हैं। UPSC इस परिवार को सी-सैट प्रश्नपत्र II में आधारभूत संख्यात्मकता और सामान्य मानसिक योग्यता के अंतर्गत रखता है, जहाँ यह आम तौर पर संख्याओं की नंगी पंक्ति के रूप में नहीं, किसी व्यावहारिक स्थिति के भीतर बैठे अनुक्रम की पोशाक में आता है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  निम्नलिखित संख्या शृंखला में, प्रश्न-चिह्न (?) के स्थान पर क्या आना चाहिए? 210 240 272 ? 342

  • (a)292
  • (b)306
  • (c)300
  • (d)312

  उत्तर(b) 306 — पद n(n + 1) हैं: 14 × 15 = 210, 15 × 16 = 240, 16 × 17 = 272, 17 × 18 = 306, 18 × 19 = 342; समान रूप से अंतराल चलते हैं 30, 32, 34, 36।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  निम्नलिखित संख्या शृंखला में, प्रश्न-चिह्न (?) के स्थान पर क्या आना चाहिए? 6 12 20 30 ? 56

  • (a)40
  • (b)42
  • (c)44
  • (d)46

  उत्तर(b) 42 — अंतर 6, 8, 10, 12, 14 हैं, इसलिए लुप्त पद 30 + 12 = 42 है; पद गुणनफल 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5, 5 × 6, 6 × 7, 7 × 8 हैं।