BPSC 69वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 143 / 144

सही — B, सुरेश की भूमि, रमेश से अधिक है। रमेश के पास अंत में 99 वर्ग गज बचते हैं और सुरेश के पास 101। चरण 1 — हस्तांतरण। दोनों 100-100 वर्ग गज से शुरू करते हैं। रमेश अपनी जोत 10 प्रतिशत बढ़ाता है, और 100 का 10 प्रतिशत 10 वर्ग गज होता है, जो सुरेश के प्लॉट से निकलता है। रमेश 110, सुरेश 90। यह चरण केवल इसलिए असंदिग्ध है कि दोनों बराबर से शुरू करते हैं: रमेश की जोत का 10 प्रतिशत और सुरेश की जोत का 10 प्रतिशत वही एक जैसे 10 वर्ग गज हैं। चरण 2 — वापस बिक्री। दो वर्ष बाद रमेश अपने कुल प्लॉट का 10 प्रतिशत वापस बेच देता है। उसका कुल अब 110 है, 100 नहीं, इसलिए उसका 10 प्रतिशत 11 वर्ग गज हुआ, 10 नहीं। रमेश 110 − 11 = 99, सुरेश 90 + 11 = 101। सुरेश 2 वर्ग गज आगे है, जो विकल्प (b) है। एक पंक्ति वाला रूप। रमेश की भूमि पहले 1.10 से गुणा होती है और फिर 0.90 से, और 1.10 × 0.90 = 0.99। दस प्रतिशत की वृद्धि के बाद दस प्रतिशत की कमी बराबरी नहीं है — वह ठीक एक प्रतिशत की शुद्ध हानि है, क्योंकि कमी उस बड़े आधार पर लगती है जो वृद्धि ने बनाया था। रमेश अपने मूल 100 का 99 प्रतिशत रखता है, यानी 99। और चूँकि इस जोड़ी से कोई भूमि बाहर नहीं जाती, इसलिए दोनों जोतें हमेशा मिलकर 200 बनेंगी, इसलिए सुरेश 200 − 99 = 101 है। आपको सुरेश का हिसाब रखने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। अब ईमानदार हिस्सा, क्योंकि दोनों स्वतंत्र व्युत्पत्तियों ने इसे उच्च नहीं, मध्यम चिह्नित किया। 'कुल प्लॉट' पद ढीला है: इसका अर्थ ख़रीद के बाद रमेश का अपना कुल, यानी 110, भी हो सकता है और दोनों प्लॉट मिलाकर, यानी 200, भी। दूसरे पाठ को जाँचिए। 200 का दस प्रतिशत 20 है; रमेश 110 − 20 = 90 और सुरेश 90 + 20 = 110। सुरेश फिर भी आगे है, और उत्तर फिर भी (b) है। पाठ बदलने से अंतर बदलता है — एक में 2 वर्ग गज, दूसरे में 20 — पर यह नहीं बदलता कि अंत में किसके पास अधिक है, और प्रश्न केवल यही पूछ रहा है कि किसके पास अधिक है। ढीले पद वाली मद भी इसीलिए सुरक्षित रूप से हल हो जाती है। एक आख़िरी बात: '2 साल बाद' गणित का कोई काम नहीं करता। प्रश्न में न कोई वृद्धि-दर है, न ब्याज, न मूल्य-वृद्धि; दो वर्ष केवल इसलिए हैं कि कहानी किसी सौदे जैसी लगे और आप ऐसे चक्रवृद्धि चरण की तलाश में फँस जाएँ जो है ही नहीं।

• (a)रमेश की भूमि, सुरेश से अधिक है — पहले सौदे के बाद सही और दूसरे के बाद ग़लत — यह उस अभ्यर्थी का विकल्प है जो रमेश 110 बनाम सुरेश 90 निकालकर पढ़ना बंद कर देता है। आप यहाँ तब भी उतरते हैं जब वापस बिक्री को रमेश के प्लॉट का नहीं, बल्कि उसके ख़रीदे हुए टुकड़े का दस प्रतिशत मान लेते हैं: अर्जित 10 वर्ग गज का दस प्रतिशत 1 होता है, जिससे रमेश 109 और सुरेश 91 बचते। यह पाठ टिक नहीं सकता, क्योंकि प्रश्न कहता है कुल प्लॉट का दस प्रतिशत, और दस वर्ग गज का टुकड़ा किसी का कुल नहीं है।
• (c)दोनों बराबर हैं — इस आकार के हर प्रश्न पर गढ़ा गया जाल, और वह जिसे तब तक दुहराते रहना चाहिए जब तक यह प्रतिवर्त मिट न जाए। यह मान लेता है कि दस प्रतिशत जोड़ना और फिर दस प्रतिशत हटा देना आरंभिक स्थिति लौटा देता है। ऐसा नहीं होता, क्योंकि दोनों प्रतिशत अलग-अलग आधारों पर लगते हैं — रमेश की ओर जाते समय 100 के आधार पर 10, और लौटते समय 110 के आधार पर 11। दोनों जोतें तभी फिर बराबर होतीं जब वह उतना ही लौटाता जितना लिया था, यानी 10 वर्ग गज, जो उसके मूल प्लॉट का दस प्रतिशत है, उसके कुल प्लॉट का नहीं।
• (d)उपर्युक्त में से कोई नहीं — यह उस अभ्यर्थी के लिए है जो 'कुल प्लॉट' को अस्पष्ट पढ़कर निष्कर्ष निकाल लेता है कि प्रश्न का उत्तर दिया ही नहीं जा सकता। सहज बोध ठीक है और निष्कर्ष ग़लत, क्योंकि उस पद के दोनों बचाव-योग्य पाठ — रमेश के 110 का दस प्रतिशत, या संयुक्त 200 का दस प्रतिशत — सुरेश को ही रमेश से अधिक भूमि पर छोड़ते हैं। जब प्रश्न ढीला हो तो सर्व-समावेशी विकल्प पकड़ने से पहले जाँचिए कि वह ढीलापन उत्तर बदलता भी है या नहीं; यहाँ वह केवल अंतर बदलता है।

प्रतिशत अपने आप में कभी कोई राशि नहीं होता — वह राशि तभी बनता है जब आप वह आधार बता दें जिसका वह लिया जा रहा है। इस प्रश्न की और BPSC तथा UPSC द्वारा पूछे जाने वाले अधिकांश प्रतिशत-गणित की पूरी अंतर्वस्तु यही है। क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों को सँभालने का सबसे साफ़ तरीक़ा हर एक को गुणक में बदल देना है: x प्रतिशत की वृद्धि (1 + x/100) से गुणा करती है, x प्रतिशत की कमी (1 − x/100) से गुणा करती है, और क्रमिक परिवर्तन किसी भी क्रम में आपस में गुणा हो जाते हैं। इसलिए x प्रतिशत की वृद्धि के बाद x प्रतिशत की कमी देती है (1 + x/100)(1 − x/100) = 1 − x²/10000, यानी x²/100 प्रतिशत की शुद्ध कमी, आरंभिक स्थिति की वापसी कभी नहीं। दस और दस से एक प्रतिशत की कमी बनती है; बीस और बीस से चार प्रतिशत; पच्चीस और पच्चीस से 6.25 प्रतिशत; पचास और पचास से पूरा एक-चौथाई। यही असमानता उलटी पढ़ने पर उसका मानक साथी प्रश्न हल कर देती है: x प्रतिशत की वृद्धि को पलटने के लिए आपको x/(100 + x) की कटौती करनी पड़ती है, इसलिए 25 प्रतिशत की वृद्धि पलटने में 20 प्रतिशत की कटौती लगती है, और 10 प्रतिशत की वृद्धि पलटने में 1/11 यानी लगभग 9.09 प्रतिशत की। एक दूसरा विचार यहाँ आधा काम कर देता है — संरक्षण। भूमि केवल दो मालिकों के बीच घूम रही है, इसलिए जोड़ी हमेशा 200 वर्ग गज बनाएगी; एक व्यक्ति का हिसाब कीजिए और दूसरा घटाने से निकल आता है।

समय के दबाव में तालिका बनाने की इच्छा रोकिए। ध्यान दीजिए कि प्रश्न केवल यह पूछता है कि किसके पास अधिक है, कितना अधिक है यह नहीं, इसलिए आपको एक संख्या चाहिए, चार नहीं। रमेश का गुणा कीजिए — 100 × 1.1 × 0.9 = 99 — देखिए कि वह 100 से नीचे है, और काम पूरा: रमेश ने जो खोया वह सुरेश को मिला है, इसलिए सुरेश आगे है। एकमात्र विभेदक तथ्य यह है कि 1.1 × 0.9 = 0.99 है, 1 नहीं। यदि आप यह एक गुणनफल याद रख सकें तो इस प्रश्न के किसी भी संस्करण पर आप 'दोनों बराबर हैं' कभी चिह्नित नहीं करेंगे, और आप तुरंत यह भी देख लेंगे कि दोनों संक्रियाओं का क्रम मायने नहीं रखता: 0.9 × 1.1 भी वही 0.99 है, इसलिए जो पहले बेचकर बाद में वापस ख़रीदता, वह भी 99 पर ही पहुँचता। प्रश्न की दो बातें आपको धीमा करने के लिए हैं, प्रयोग के लिए नहीं। '2 साल बाद' न कोई दर लाता है न चक्रवृद्धि। और दोनों व्यक्तियों का एक जैसे 100-100 वर्ग गज के प्लॉट से शुरू होना पहले वाक्य की उस अस्पष्टता को हटा देता है जो अन्यथा वास्तविक होती, क्योंकि रमेश की भूमि का दस प्रतिशत अधिक और सुरेश की भूमि का दस प्रतिशत संयोग से वही दस वर्ग गज बनते हैं। जो ढीलापन बचता है वह दूसरे वाक्य में है, और जैसा ऊपर दिखाया गया, वह उत्तर तक नहीं पहुँचता।

• चरण-दर-चरण: दोनों 100 से शुरू; रमेश 100 का 10 प्रतिशत = 10 लेता है, जिससे 110 और 90 बनते हैं; वह 110 का 10 प्रतिशत = 11 लौटाता है, जिससे 99 और 101 बनते हैं
• गुणक रूप: 1.10 × 0.90 = 0.99, इसलिए रमेश अपनी मूल जोत का 99 प्रतिशत रखता है, चाहे वह जोत कुछ भी रही हो, और दोनों संक्रियाओं का क्रम अप्रासंगिक है
• सामान्य नियम: x प्रतिशत की वृद्धि के बाद x प्रतिशत की कमी से x²/100 प्रतिशत की शुद्ध कमी बनती है — x = 10 पर 1 प्रतिशत, x = 20 पर 4 प्रतिशत, x = 25 पर 6.25 प्रतिशत, x = 50 पर 25 प्रतिशत
• x प्रतिशत की वृद्धि पलटने के लिए x/(100 + x) की कटौती करनी होती है: 25 प्रतिशत की वृद्धि के लिए 20 प्रतिशत की कटौती, 10 प्रतिशत की वृद्धि के लिए लगभग 9.09 प्रतिशत की
• दोनों जोतें हमेशा मिलकर 200 वर्ग गज बनती हैं, क्योंकि भूमि केवल हाथ बदलती है, इसलिए एक व्यक्ति का हिसाब दूसरे को भी तय कर देता है
• उत्तर 'कुल प्लॉट' की अस्पष्टता से अप्रभावित है: उसे संयुक्त 200 वर्ग गज पढ़ने पर रमेश 90 और सुरेश 110 मिलते हैं, और सुरेश फिर भी बड़ा जोतदार है
• '2 साल बाद' कोई गणित नहीं ढोता — प्रश्न में किसी भी प्रकार की वृद्धि-दर, ब्याज या मूल्य-वृद्धि बताई ही नहीं गई है

• यह मान लेना कि x प्रतिशत की वृद्धि और x प्रतिशत की कमी एक-दूसरे को काट देती हैं — वे हमेशा x²/100 प्रतिशत की शुद्ध कमी छोड़ती हैं
• दूसरा प्रतिशत नए आँकड़े के बजाय मूल आँकड़े पर लगा देना
• '2 साल बाद' को चक्रवृद्धि का संकेत पढ़ लेना, जबकि प्रश्न कोई दर देता ही नहीं

BPSC प्रतिशत-गणित को दो नामित लोगों की छोटी कहानी की पोशाक पहनाता है और फिर केवल तुलना पूछता है — किसके पास अधिक है, किसे लाभ हुआ, कौन-सा सही है — इसलिए संख्याएँ आम तौर पर एक पंक्ति में निपट जाती हैं और अंक इस बात पर टिकते हैं कि आपने देखा या नहीं कि हर प्रतिशत किस आधार पर लगाया जा रहा है। UPSC ने यही सामग्री 2010 तक सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्र I में रखी, पर वह संख्या ही पूछना पसंद करता था: क़ीमत को मूल स्तर पर लाने के लिए कितने प्रतिशत घटाना होगा, या एक छूट वाला आँकड़ा दूसरे से कितने प्रतिशत नीचे है। 2011 में सी-सैट आने के बाद से यह सामग्री अर्हकारी प्रश्नपत्र II में बैठती है, और इसीलिए BPSC का सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्र अब वह जगह है जहाँ UPSC का अभ्यर्थी इसे अंकन के दबाव में मिलता है।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  किसी वस्तु की क़ीमत पहले 20% बढ़ाई जाती है और फिर 20% घटाई जाती है। क़ीमत में शुद्ध परिवर्तन है

  • (a)कोई परिवर्तन नहीं
  • (b)4% वृद्धि
  • (c)4% कमी
  • (d)20% कमी

  उत्तर(c) 4% कमी — गुणक देते हैं 1.20 × 0.80 = 0.96, और सामान्य नियम x²/100 देता है 400/100 = 4 प्रतिशत की कमी।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  A का वेतन B के वेतन से 25% अधिक है। B का वेतन A के वेतन से कितने प्रतिशत कम है?

  • (a)20%
  • (b)25%
  • (c)16.67%
  • (d)33.33%

  उत्तर(a) 20% — B = 100 लीजिए, तो A = 125; 25 का अंतर A के 125 के सामने नापा जाता है, जिससे 25/125 = 20 प्रतिशत बनता है।