चार संख्याओं के गुणनफ़ल की 5 अथवा 10 से विभाजित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।

सही उत्तर — विकल्प (2), 369/625.

प्रश्न यह नहीं बताता कि चार संख्याएँ कैसे चुनी जाती हैं, इसलिए केवल उसके शब्दों से कोई प्रायिकता नहीं निकलती। यह कार्ड वह मान लेता है जो प्रश्न नहीं कहता: हर संख्या का इकाई अंक 0 से 9 तक का कोई भी अंक होने की समान संभावना रखता है, बाकी तीन संख्याओं से स्वतंत्र रूप से। इस मान्यता पर उत्तर 369/625 है।

चरण 1 — दोनों शर्तों को एक करें। 10 का हर गुणज 5 का भी गुणज है, इसलिए "5 अथवा 10 से विभाजित" वही घटना है जो "5 से विभाजित"।

चरण 2 — इस तथ्य का उपयोग करें कि 5 अभाज्य है। गुणनफल 5 से तभी विभाजित होता है जब उसका कम से कम एक गुणनखंड 5 से विभाजित हो।

चरण 3 — एक संख्या। वह 5 का गुणज तब होती है जब उसका इकाई अंक 0 या 5 हो। मान्यता के अनुसार, यह 10 में से 2 समान संभावना वाले अंक हैं।
P(5 का गुणज) = 2/10 = 1/5
P(5 का गुणज नहीं) = 1 − 1/5 = 4/5

चरण 4 — चारों में से कोई भी संख्या 5 का गुणज नहीं।
P(कोई नहीं) = 4/5 × 4/5 × 4/5 × 4/5 = 256/625

चरण 5 — पूरक लें।
P(कम से कम एक) = 1 − 256/625 = (625 − 256)/625 = 369/625

याद रखने की बात: गुणनफल किसी अभाज्य p से ठीक तब विभाजित होता है जब कम से कम एक गुणनखंड हो, इसलिए प्रायिकता = 1 − P(कोई गुणनखंड p से विभाजित नहीं)।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (1)
  256/369 — 256/369 उस प्रायिकता को कि कोई भी संख्या 5 का गुणज न हो (256/625), उस प्रायिकता से भाग देता है कि कम से कम एक हो (369/625)। यह अनुपात घटना के विपक्ष में संयोगानुपात (odds against) है, उसकी प्रायिकता नहीं।

  प्रायिकता में सभी स्थितियों से भाग दिया जाता है। कार्ड की मान्यता पर 5 से भाग देने पर हर शेषफल समान संभावना वाला है, इसलिए चार संख्याओं से 5⁴ = 625 समान संभावना वाली स्थितियाँ बनती हैं, जिनमें से 369 में गुणनफल 5 से विभाजित होता है।

• (3)
  273/2500 — 273/2500 लगभग 0.11 है। कार्ड की मान्यता पर यह 1/5 से छोटा है, जो अकेले पहली संख्या के 5 का गुणज होने की संभावना है।

  चारों में से कोई एक भी संख्या 5 से विभाजित हो तो गुणनफल 5 से विभाजित होता है, इसलिए उस मान्यता पर प्रायिकता 1/5 से कम नहीं हो सकती। पूरक विधि 369/625 देती है, लगभग 0.59।

• (4)
  256/625 — 256/625 = (4/5)⁴ इस बात की प्रायिकता है कि चारों में से कोई भी संख्या 5 का गुणज नहीं है, जो पूछी गई घटना का उलटा है।

  संयोग से यह ठीक एक संख्या के 5 का गुणज होने की संभावना के बराबर भी है: 4 × 1/5 × (4/5)³ = 256/625। गुणनफल 5 से तब विभाजित होता है जब कम से कम एक संख्या हो, इसलिए उत्तर 1 − 256/625 = 369/625 है।

पूरक नियम: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। यह कई स्थितियों (ठीक एक, दो, तीन या चार) की गिनती को एक ही स्थिति में बदल देता है।

स्वतंत्र घटनाओं के सभी के घटित होने की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं का गुणनफल होती है। इस कार्ड के माने गए मॉडल पर, (4/5)⁴ इस बात की संभावना है कि चार में से कोई भी संख्या 5 का गुणज न हो।

अभाज्य p किसी गुणनफल को तभी विभाजित करता है जब वह कम से कम एक गुणनखंड को विभाजित करे। और जब एक घटना दूसरी के भीतर हो (10 का हर गुणज 5 का गुणज है), तो उनका सम्मिलन बस बड़ी घटना होता है।

मुख्य तथ्य

• कोई पूर्ण संख्या 5 से ठीक तब विभाजित होती है जब उसका इकाई अंक 0 या 5 हो।
• 10 का हर गुणज 5 का गुणज है, इसलिए "5 अथवा 10 से विभाजित" वही घटना है जो "5 से विभाजित"।
• 5 अभाज्य है, इसलिए गुणनफल 5 से तभी विभाजित होता है जब कम से कम एक गुणनखंड हो।
• P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं); माने गए इकाई-अंक मॉडल पर 1 − (4/5)⁴ = 1 − 256/625 = 369/625।
• उसी मॉडल पर चार संख्याओं का गुणनफल 1107/2000 प्रायिकता से 10 से विभाजित होता है।

सामान्य भ्रम

• "5 से विभाजित" की एक प्रायिकता और "10 से विभाजित" की दूसरी प्रायिकता को जोड़ देना। 10 का हर गुणज पहले से 5 का गुणज है, इसलिए जोड़ने पर वे स्थितियाँ दो बार गिनी जाती हैं।
• 256/625 पर रुक जाना। यह इस बात की संभावना है कि कोई भी संख्या 5 का गुणज न हो, जो पूछी गई घटना का पूरक है।
• जहाँ प्रायिकता पूछी गई हो वहाँ 256/369 जैसा संयोगानुपात लिख देना। प्रायिकता में अनुकूल स्थितियों को सभी स्थितियों से भाग दिया जाता है, प्रतिकूल स्थितियों से नहीं।

RAS प्री 2021 के मिलते-जुलते प्रश्न, उस प्रश्न-पत्र के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  तीन संख्याएँ इस प्रकार चुनी जाती हैं कि हर संख्या का इकाई अंक, बाकी से स्वतंत्र रूप से, 0 से 9 तक का कोई भी अंक होने की समान संभावना रखता है। उनके गुणनफल के 5 से विभाजित होने की प्रायिकता क्या है?

  • (a)64/125
  • (b)61/125
  • (c)48/125
  • (d)3/5
  उत्तर(2) — P(कोई भी संख्या 5 का गुणज नहीं) = (4/5)³ = 64/125, इसलिए P(गुणनफल 5 से विभाजित) = 1 − 64/125 = 61/125। विकल्प (1) पूरक है; विकल्प (3) ठीक एक संख्या के 5 का गुणज होने की संभावना है; विकल्प (4) 1/5 को तीन बार जोड़ता है, जिससे एक-दूसरे पर चढ़ी स्थितियाँ एक से अधिक बार गिनी जाती हैं।
• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक निष्पक्ष पाँसा दो बार फेंका जाता है। दोनों संख्याओं के गुणनफल के सम होने की प्रायिकता क्या है?

  • (a)1/4
  • (b)1/2
  • (c)3/4
  • (d)2/3
  उत्तर(3) — गुणनफल विषम तभी होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों: 1/2 × 1/2 = 1/4। इसलिए P(सम) = 1 − 1/4 = 3/4। विकल्प (1) विषम गुणनफल की संभावना है; विकल्प (2) और (4) 1 − 1/4 के बराबर नहीं हैं।