m पुरुषों और n महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ ना बैठें । यदि m > n, तो इन सभी के बैठने के तरीकों की संख्या है :
- (1)(|m |m – 1) / (|m – n + 1)
- (2)(|m – 1 |m + 1) / (|n |n – 1)
- (3)(|m |m + 1) / (|m – n + 1)
- (4)(|m |m – 1) / (|m – n – 1)
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (3), (|m |m + 1) / (|m – n + 1).
विकल्पों में |m, m क्रमगुणित (m!) छापने का एक पुराना तरीका है। विकल्प (3) का अर्थ है m! × (m + 1)! ÷ (m − n + 1)!।
चरण 1 — पहले पुरुषों को बैठाएँ। m पुरुष एक पंक्ति में m! तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
चरण 2 — रिक्त स्थान गिनें। m पुरुषों की पंक्ति में उनके बीच m − 1 रिक्त स्थान और दोनों सिरों पर एक-एक रिक्त स्थान होता है।
_ M _ M _ … _ M _
रिक्त स्थान = (m − 1) + 2 = m + 1
चरण 3 — महिलाओं को बैठाएँ। हर रिक्त स्थान में अधिकतम एक महिला रखने से कोई दो महिलाएँ साथ नहीं बैठतीं। n महिलाओं में से हर एक को, क्रम से, अलग रिक्त स्थान देने पर:
ᵐ⁺¹Pₙ = (m + 1)! ÷ (m + 1 − n)!
शर्त m > n सुनिश्चित करती है कि रिक्त स्थान पर्याप्त हों।
चरण 4 — दोनों चरणों को गुणा करें।
तरीके = m! × (m + 1)! ÷ (m − n + 1)! = (|m |m + 1) / (|m – n + 1)
जाँच, m = 3, n = 2 लेकर: 3! × 4! ÷ 2! = 6 × 24 ÷ 2 = 72। सीधे गिनने पर 5 लोग 5! = 120 तरीकों से बैठते हैं; इनमें से 4! × 2! = 48 में दोनों महिलाएँ साथ बैठती हैं; 120 − 48 = 72।
याद रखने की बात: पहले बिना शर्त वाले लोगों को बैठाएँ, फिर जिन्हें अलग रखना है उन्हें रिक्त स्थानों में रखें।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (1)(|m |m – 1) / (|m – n + 1) — यह m! × (m − 1)! ÷ (m − n + 1)! है। m! के बाद वाला भाग n महिलाओं को रिक्त स्थानों में रखने के तरीकों की संख्या नहीं है।
m = 3 और n = 2 के लिए यह 6 × 2 ÷ 2 = 6 देता है, जबकि दोनों महिलाओं के अलग बैठने वाली व्यवस्थाओं की वास्तविक संख्या 72 है, जिसकी पुष्टि 120 − 48 = 72 से होती है।
- (2)(|m – 1 |m + 1) / (|n |n – 1) — यह (m − 1)! × (m + 1)! ÷ [n! × (n − 1)!] है। इसका पहला गुणनखंड (m − 1)! m लोगों को एक गोल मेज़ के चारों ओर बैठाने के तरीकों की संख्या है, पर प्रश्न सभी को एक पंक्ति में बैठाता है, जहाँ m पुरुष m! तरीकों से व्यवस्थित होते हैं।
m = 3 और n = 2 के लिए यह सूत्र 2 × 24 ÷ 2 = 24 देता है, 72 नहीं।
- (4)(|m |m – 1) / (|m – n – 1) — यह m! × (m − 1)! ÷ (m − n − 1)! = m! × ᵐ⁻¹Pₙ है। यह केवल पुरुषों के बीच के m − 1 रिक्त स्थानों का उपयोग करता है, इसलिए यह केवल वे व्यवस्थाएँ गिनता है जिनमें पंक्ति के किसी भी सिरे पर कोई महिला नहीं बैठती।
प्रश्न केवल दो महिलाओं के साथ बैठने को वर्जित करता है, इसलिए सिरों की सीटें खुली हैं। m = 3 और n = 2 के लिए यह 12 देता है, 72 नहीं।
अवधारणा
गुणन सिद्धांत: यदि एक चरण a तरीकों से और अगला चरण b तरीकों से किया जा सकता है, तो दोनों साथ a × b तरीकों से किए जा सकते हैं।
n! = 1 × 2 × … × n, और 0! = 1। n भिन्न स्थानों में से r स्थान क्रम से चुनने के तरीकों की संख्या ⁿPᵣ = n! ÷ (n − r)! है।
रिक्त-स्थान विधि लोगों को अलग रखती है। पहले बाकी सभी को व्यवस्थित करें; उनके बीच और दोनों सिरों पर बचे स्थान ही वे सीटें हैं जहाँ अलग रखे जाने वाले लोग एक-दूसरे को छुए बिना बैठ सकते हैं।
RPSC के प्रारंभिक परीक्षा पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के अंतर्गत "आधारभूत संख्यात्मक दक्षता" में "क्रमचय एवं संचय" और "प्रायिकता (सरल समस्याएं)" शामिल हैं।
यही रिक्त-स्थान विधि अक्षरों को इस प्रकार व्यवस्थित करती है कि कोई दो स्वर साथ न आएँ: पहले व्यंजनों को व्यवस्थित करें, फिर स्वरों को रिक्त स्थानों में रखें।
गोल मेज़ पर गिनती बदल जाती है। m पुरुष (m − 1)! तरीकों से बैठते हैं और m रिक्त स्थान छोड़ते हैं, जिनमें कोई सिरा नहीं होता, इसलिए n महिलाएँ फिर ᵐPₙ तरीकों से रखी जा सकती हैं।
मुख्य तथ्य
- n! = 1 × 2 × … × n और 0! = 1; कुछ पुरानी पुस्तकें n! को |n के रूप में छापती हैं।
- ⁿPᵣ = n! ÷ (n − r)! n स्थानों में से r स्थानों के क्रमबद्ध चयन गिनता है।
- m लोगों की पंक्ति में m + 1 रिक्त स्थान होते हैं: उनके बीच m − 1 और हर सिरे पर एक।
- m पुरुषों और n महिलाओं की पंक्ति-व्यवस्थाएँ, जिनमें कोई दो महिलाएँ साथ न हों: m! × ᵐ⁺¹Pₙ = m!(m + 1)!/(m − n + 1)!।
- यदि कोई महिला सिरे पर भी न बैठ सके, तो केवल भीतर के m − 1 रिक्त स्थान बचते हैं: m! × ᵐ⁻¹Pₙ।
m = 3 और n = 2 के लिए विकल्प (3) 3! × 4! ÷ 2! = 72 देता है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- केवल पुरुषों के बीच के m − 1 रिक्त स्थान गिनना। दोनों सिरों की सीटें भी किसी महिला के लिए खुली हैं, इसलिए रिक्त स्थान m + 1 हैं।
- रिक्त स्थानों को ᵐ⁺¹Cₙ से चुनकर रुक जाना। महिलाएँ अलग-अलग व्यक्ति हैं, इसलिए कौन-सी महिला किस रिक्त स्थान में बैठती है, यह मायने रखता है: ᵐ⁺¹Cₙ × n! = ᵐ⁺¹Pₙ।
- केवल वे व्यवस्थाएँ घटाना जिनमें सभी महिलाएँ एक ब्लॉक में हों। तीन या अधिक महिलाओं के साथ इससे वे व्यवस्थाएँ बची रह जाती हैं जिनमें उनमें से दो साथ-साथ बैठती हैं।
कोई प्रश्न पंक्ति या गोल मेज़ पर बैठने की ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या पूछ सकता है जिनमें कुछ लोग अलग रखे जाएँ या साथ रखे जाएँ।
कोई प्रश्न किसी शब्द के अक्षरों की ऐसी व्यवस्थाएँ भी पूछ सकता है जिनमें कोई दो स्वर साथ न हों; इसमें यही रिक्त-स्थान विधि लगती है।
संबंधित PYQ
किसी वृत्त पर एकसमान दूरी पर आठ बिन्दु स्थित हैं । इन बिन्दुओं को शीर्ष लेकर समकोण त्रिभुज खींचे जाते हैं, जहाँ प्रत्येक त्रिभुज की एक भुजा वृत्त का व्यास है । ऐसे सभी सम्भव समकोण त्रिभुजों की संख्या है :
- (1) 8
- (2) 16
- (3) 20
- (4) 24
उत्तर(4)
दो चरणों में वही गुणन सिद्धांत। वह प्रश्न किसी वृत्त पर एकसमान दूरी पर स्थित आठ बिन्दुओं को शीर्ष लेकर ऐसे समकोण त्रिभुज गिनता है जिनकी एक भुजा वृत्त का व्यास हो (RPSC की कुंजी: 24, यानी 4 व्यास × तीसरे शीर्ष के 6 विकल्प); यह प्रश्न पुरुषों की m! व्यवस्थाओं को महिलाओं की ᵐ⁺¹Pₙ व्यवस्थाओं से गुणा करता है।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
4 लड़के और 3 लड़कियाँ एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठ सकते हैं कि कोई दो लड़कियाँ साथ न बैठें?
- (a)144
- (b)1,440
- (c)240
- (d)5,040
उत्तर(2) — लड़कों को 4! = 24 तरीकों से बैठाएँ, जिससे 5 रिक्त स्थान बनते हैं; 3 लड़कियों को ⁵P₃ = 60 तरीकों से रखें; 24 × 60 = 1,440। विकल्प (1) केवल लड़कों के बीच के 3 रिक्त स्थान लेता है; विकल्प (3) ⁵C₃ = 10 लेता है और यह नहीं देखता कि कौन-सी लड़की कहाँ बैठी; विकल्प (4) 7! है, बिना किसी शर्त के। - अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
3 पुरुष और 2 महिलाएँ एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठ सकते हैं कि दोनों महिलाएँ साथ बैठें?
- (a)24
- (b)48
- (c)72
- (d)120
उत्तर(2) — दोनों महिलाओं को एक ब्लॉक मानें: 4 इकाइयाँ 4! = 24 तरीकों से, और ब्लॉक के भीतर महिलाएँ 2! = 2 तरीकों से स्थान बदलती हैं; 24 × 2 = 48। विकल्प (1) यह अदला-बदली भूल जाता है; विकल्प (3) महिलाओं के अलग बैठने वाली व्यवस्थाएँ गिनता है; विकल्प (4) सभी 5! व्यवस्थाएँ है।