निम्न आरेख में विभिन्न अक्षरों को अंकों 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 से प्रदर्शित किया गया है, जो इस प्रकार है कि प्रत्येक “M + N + P”, “P + Q + R”, “R + S + T” और “T + U + V”, 13 के बराबर हैं। R किस अंक को प्रदर्शित करता है?
- (1)2
- (2)4
- (3)3
- (4)1
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — विकल्प (2), 4.
आरेख में अक्षर दो पंक्तियों (M N P और R S T) और दो स्तंभों (P Q R और T U V) में हैं, और तीन अक्षर वहाँ हैं जहाँ कोई पंक्ति किसी स्तंभ से मिलती है।
P "M + N + P" और "P + Q + R" दोनों में है। R "P + Q + R" और "R + S + T" दोनों में है। T "R + S + T" और "T + U + V" दोनों में है।
हिन्दी प्रश्न कहता है कि विभिन्न अक्षरों को अंकों 1 से 9 से प्रदर्शित किया गया है; वह स्पष्ट नहीं लिखता कि हर अक्षर का अंक अलग है। अंग्रेज़ी संस्करण हर अंक को एक भिन्न अक्षर देता है, और यहाँ का हल यही मानता है: नौ अक्षर, हर अक्षर एक अलग अंक, हर अंक एक बार।
चरण 1 — चारों योग जोड़ें: 13 × 4 = 52।
चरण 2 — नौ अंक जोड़ें, हर अंक एक बार: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45।
चरण 3 — घटाएँ: 52 − 45 = 7। यह अधिकता P, R और T से आती है, जो दो-दो बार गिने गए हैं, इसलिए P + R + T = 7।
चरण 4 — तीन भिन्न अंक जिनका योग 7 हो: ऐसा एकमात्र समूह 1, 2 और 4 है।
चरण 5 — R = 1 जाँचें: तब P और T, 2 और 4 होंगे। इनमें से जो 2 है, उसके बीच वाले अक्षर (Q या S) के लिए 13 − 1 − 2 = 10 बचता है। 10 अंक नहीं है, इसलिए R ≠ 1।
चरण 6 — R = 2 जाँचें: तब P और T, 1 और 4 होंगे। जो 1 है, उसके बीच वाले अक्षर के लिए 13 − 2 − 1 = 10 बचता है। इसलिए R ≠ 2।
चरण 7 — R = 4 जाँचें: तब P और T, 1 और 2 होंगे। Q = 13 − 4 − P और S = 13 − 4 − T तब 8 और 7 होते हैं (P = 1 हो तो Q = 8, P = 2 हो तो Q = 7), दोनों अंक हैं।
चरण 8 — पुष्टि के लिए एक पूरा आरेख भरें: P = 1, R = 4, T = 2, Q = 8, S = 7। 3, 5, 6, 9 में से M + N = 12 के लिए 3 और 9। U + V = 11 के लिए 5 और 6। हर अंक एक बार प्रयुक्त हुआ।
इसलिए R = 4।
याद रखने की बात: जब हर अंक एक बार प्रयुक्त हो और योग एक-दूसरे पर चढ़े हों, तो सभी योग जोड़कर अंकों का कुल योग घटाएँ; अंतर दो बार गिने गए अक्षरों का योग होता है।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (1)2 — यदि R = 2, तो P + T = 7 − 2 = 5, इसलिए P और T, 1 और 4 होंगे।
इनमें से जो 1 है, उसे 13 − 2 − 1 = 10 का बीच वाला अक्षर चाहिए, जो अंक नहीं है।
2 हर मान्य आरेख में आता है, पर अन्य दो कोने वाले अक्षरों, P या T, में से एक के रूप में।
- (3)3 — 3 न R हो सकता है, न कोई भी कोने वाला अक्षर। तीन भिन्न अंकों से P + R + T = 7 केवल 1, 2 और 4 से बनता है।
हर मान्य आरेख में 3 सिरे वाले अक्षरों M, N, U और V में आता है: वह 9 के साथ जुड़कर M + N = 12 या U + V = 12 बनाता है।
- (4)1 — यदि R = 1, तो P + T = 7 − 1 = 6, इसलिए P और T, 2 और 4 होंगे।
इनमें से जो 2 है, उसे 13 − 1 − 2 = 10 का बीच वाला अक्षर चाहिए, जो अंक नहीं है।
1 हर मान्य आरेख में आता है, पर P या T के रूप में, दूसरे कोने पर 2 के साथ।
अवधारणा
दोहरी गिनती: जब वही वस्तुएँ एक-दूसरे पर चढ़े समूहों में जोड़ी जाती हैं, तो सभी समूह-योगों का जोड़ वस्तुओं के कुल योग से उतना अधिक होता है जितना एक से अधिक बार गिनी गई वस्तुओं का योग है।
यहाँ नौ अक्षर 1 से 9 तक के अंक लेते हैं, हर अक्षर एक अलग अंक, और इन अंकों का योग 45 है। तीन-तीन अक्षरों वाले चार समूहों में से हर एक का योग 13 है, कुल 52। कोने वाले तीन अक्षर दो-दो समूहों में आते हैं, इसलिए 7 की अधिकता उन्हीं से है।
कोनों का योग पता चलने पर कोने के हर संभव मान को उन समूहों पर जाँचा जाता है जिनमें वह आता है। जो मान किसी अक्षर को 1 से 9 के बाहर ले जाए, वह हट जाता है।
RPSC के प्रारंभिक परीक्षा पाठ्यक्रम में "तार्किक विवेचन एवं मानसिक योग्यता" के "तार्किक दक्षता (निगमनात्मक, आगमनात्मक, अपवर्तनात्मक)" के अंतर्गत "विश्लेषणात्मक तर्कक्षमता" सूचीबद्ध है।
गिनती का एक मिलता-जुलता चरण जादुई वर्गों में प्रयुक्त होता है। 1 से 9 से बने 3 × 3 जादुई वर्ग में तीनों पंक्तियों में हर अंक एक बार आता है, इसलिए उनका योग 45 है और हर पंक्ति का योग 15 है।
पहली n गिनती-संख्याओं का योग n(n + 1)/2 है; n = 9 के लिए यह 9 × 10 / 2 = 45 है।
मुख्य तथ्य
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45।
- आरेख के चारों योगों का जोड़ 4 × 13 = 52 है।
- हर अक्षर का अंक अलग होने पर, P, R और T दो-दो समूहों में आते हैं, इसलिए P + R + T = 52 − 45 = 7।
- योग 7 वाले तीन भिन्न अंक केवल 1, 2 और 4 हो सकते हैं।
- R = 4; P और T किसी भी क्रम में 1 और 2 हैं, और तब Q = 9 − P तथा S = 9 − T।
R अंक 4 को प्रदर्शित करता है: विकल्प (2)।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- केवल एक समूह से हल करना: 13 तीन भिन्न अंकों में कई तरह से बँटता है, जैसे 1 + 3 + 9 और 2 + 5 + 6, इसलिए एक समूह से R तय नहीं होता।
- साझा कोनों को भूल जाना: P, R और T दो-दो समूहों में आते हैं, इसलिए चारों योगों का जोड़ 45 से 7 अधिक है।
- P + R + T = 7 पर रुक जाना: इससे समूह 1, 2, 4 मिलता है पर यह नहीं कि R कौन है; हर स्थिति को बीच वाले अक्षर पर जाँचना पड़ता है।
कोई प्रश्न एक-दूसरे पर चढ़ी पंक्तियों में अक्षर छापकर, हर पंक्ति का योग तय करके, किसी एक अक्षर का अंक पूछ सकता है।
कोई प्रश्न पंक्ति का योग या पंक्तियों की संख्या भी बदल सकता है, या उन अक्षरों का योग पूछ सकता है जहाँ पंक्तियाँ मिलती हैं।
संबंधित PYQ
RAS प्री 2018 और 2013 के मिलते-जुलते प्रश्न, उन प्रश्न-पत्रों के इस साइट पर प्रकाशित होने पर UnlockIAS यहाँ जोड़ेगा।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
उसी आरेख में (ऊपर की पंक्ति में M N P, नीचे की ओर P Q R, आड़े R S T, नीचे की ओर T U V), 1 से 9 तक का हर अंक एक भिन्न अक्षर से प्रदर्शित है, और प्रत्येक "M + N + P", "P + Q + R", "R + S + T" और "T + U + V", 13 के बराबर है। P + R + T का मान क्या है?
- (a)5
- (b)6
- (c)7
- (d)9
उत्तर(3) — चारों योगों का जोड़ 52 है और 1 से 9 तक के अंकों का योग 45 है। P, R और T दो-दो बार गिने गए हैं, इसलिए P + R + T = 52 − 45 = 7। विकल्प (1), (2) और (4) 52 − 45 के बराबर नहीं हैं। - अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
1 से 7 तक का हर अंक एक भिन्न अक्षर A, B, C, D, E, F और G से प्रदर्शित है, और प्रत्येक "A + B + C", "C + D + E" और "E + F + G", 11 के बराबर है। C + E का मान क्या है?
- (a)4
- (b)5
- (c)6
- (d)7
उत्तर(2) — योगों का जोड़ 33 है; 1 से 7 तक के अंकों का योग 28 है। C और E दो-दो बार गिने गए हैं, इसलिए C + E = 33 − 28 = 5। एक मान्य हल: A = 1, B = 7, C = 3, D = 6, E = 2, F = 4, G = 5। विकल्प (1), (3) और (4) 5 नहीं हैं।