BPSC 71वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 121 / 150

सही — B, 200 न्यूटन। प्रश्न में निर्णायक शब्द हैं ‘नियत वेग’, और बाक़ी सब सजावट है। नियत वेग का अर्थ है कि वेग बदल नहीं रहा, इसलिए त्वरण शून्य है; और न्यूटन के दूसरे नियम F(नेट) = ma के अनुसार शून्य त्वरण बक्से पर लगने वाले कुल बाह्य बल को ठीक शून्य कर देता है। बक्से पर लगने वाले बलों को अलग-अलग देखिए : ऊर्ध्वाधर दिशा में उसका भार नीचे की ओर और फर्श की अभिलम्ब प्रतिक्रिया ऊपर की ओर, और ये दोनों एक-दूसरे को काट देते हैं क्योंकि बक्सा न धँस रहा है न उठ रहा है; क्षैतिज दिशा में केवल दो बल हैं — आपका 200 न्यूटन का आगे की ओर धक्का और फर्श का पीछे की ओर घर्षण। क्षैतिज योग को शून्य होने के लिए घर्षण 200 न्यूटन होना ही चाहिए, परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत। यही विकल्प (b) है, और कोई दूसरा विकल्प एकसमान गति के साथ बैठता ही नहीं। ध्यान दीजिए कि प्रश्न आपको कितना कम देता है : न द्रव्यमान, न घर्षण गुणांक, न फर्श का पदार्थ। यह अभाव जान-बूझकर है और वही संकेत है — परीक्षक ने वह हर राशि हटा दी है जिसकी f = μN से घर्षण अलग से निकालने में ज़रूरत पड़ती, क्योंकि उत्तर केवल साम्यावस्था की शर्त से आना है। पारिभाषिक शब्द पर एक ईमानदार स्पष्टीकरण, क्योंकि यही प्रश्न को उससे कठिन दिखाता है जितना वह है। हिन्दी प्रश्नपत्र का ‘सीमान्त घर्षण बल’ भारतीय पाठ्यपुस्तकों का मानक शब्द है, जिसे अंग्रेज़ी में सामान्यतः limiting friction कहा जाता है; अंग्रेज़ी संस्करण में इसे ‘marginal friction force’ छापा गया है, जो उसी हिन्दी पद का शब्दानुवाद है। कड़ाई से देखें तो सीमान्त घर्षण वह अधिकतम मान है जहाँ तक स्थैतिक घर्षण उस क्षण पहुँच सकता है जब सरकना शुरू ही होने वाला हो, जबकि पहले से सरक रहे पिण्ड पर जो बल लगता है वह गतिज या सर्पी घर्षण है, जो उन्हीं दो सतहों के लिए थोड़ा कम होता है। प्रश्न का बक्सा पहले से चल रहा है, इसलिए आपके हाथ को जो संतुलित कर रहा है वह गतिज घर्षण है — और चूँकि बक्सा न तेज़ होता है न धीमा, वह गतिज घर्षण ठीक 200 न्यूटन है। दोनों में से कोई भी नाम दे दीजिए, विकल्प-सूची में 200 न्यूटन ही एकमात्र मान है जो वर्णित गति के अनुरूप है। संख्या का ठोस अनुभव : यदि लकड़ी-और-फर्श का गतिज गुणांक सामान्य 0.2 हो, तो अभिलम्ब प्रतिक्रिया N = f/μ = 200/0.2 = 1,000 न्यूटन होगी, यानी लगभग 102 किलोग्राम का बक्सा — एक भारी पेटी, जिसे एक दृढ़-निश्चयी व्यक्ति एकसमान गति से धकेल रहा है।

• (a)100 न्यूटन — सहज-बुद्धि वाला उत्तर, और यह प्रश्न इसी को दंडित करने के लिए बना है। इसमें मान लिया जाता है कि आपके धक्के का आधा हिस्सा घर्षण में ‘खप’ जाता है और आधा बक्से को चलाए रखने के लिए ‘बच’ जाता है। पर आगे की ओर बिना कटा 100 न्यूटन एक कुल बल होगा, और कुल बल का अर्थ है त्वरण : 100 किलोग्राम का बक्सा हर सेकेण्ड 1 मीटर/सेकेण्ड चाल बढ़ाता और दस सेकेण्ड बाद 10 मीटर/सेकेण्ड से चल रहा होता। यह सीधे ‘नियत वेग’ का खंडन है। यह अरस्तू का भौतिकी-बोध है — गति के लिए किसी बचे हुए बल की ज़रूरत — न कि न्यूटन का, जिसमें बल केवल गति के परिवर्तन के लिए चाहिए।
• (c)300 न्यूटन — यदि 200 न्यूटन के धक्के के विरुद्ध घर्षण 300 न्यूटन होता, तो कुल बल 100 न्यूटन पीछे की ओर होता, बक्सा मंदित होता और कुछ ही सेकेण्ड में रुक जाता। जिस पिण्ड पर पीछे की ओर कुल बल लग रहा हो, वह अपरिवर्तित चाल से सरक नहीं सकता। अभ्यर्थी यहाँ इसलिए पहुँचते हैं कि वे घर्षण को एक सक्रिय विरोधी शक्ति मान लेते हैं जो आरोपित बल पर हमेशा ‘भारी’ पड़ती है, जबकि वह एक निष्क्रिय स्पर्श-बल है जिसका मान एकसमान सर्पण के दौरान संतुलन की शर्त से ठीक धक्के के बराबर बँध जाता है।
• (d)400 न्यूटन — आरोपित बल का दुगुना — आमतौर पर तब चुना जाता है जब f = μN आधा-अधूरा याद हो और किसी याद रह गई संख्या को धक्के का गुणक मान लिया जाए, जो घर्षण का नियम कभी होने नहीं देता : घर्षण अभिलम्ब प्रतिक्रिया N से तय होता है, आरोपित बल से नहीं। यह एक दूसरी, और सरल, जाँच में भी विफल होता है। यदि यह फर्श सचमुच 400 न्यूटन का प्रतिरोध दे सकता, तो सीमान्त स्थैतिक घर्षण आपके 200 न्यूटन के धक्के से बड़ा होता और बक्सा चलना शुरू ही न करता — जबकि प्रश्न कहता है कि वह चल रहा है।

घर्षण वह स्पर्श-बल है जो दो सतहों के बीच सापेक्ष सर्पण का विरोध करता है, और वह तीन रूपों में आता है जिन्हें परीक्षक जान-बूझकर आपस में घुला देते हैं। स्थैतिक घर्षण स्वयं-समायोजी है : स्थिर पेटी को 40 न्यूटन से धकेलिए तो स्थैतिक घर्षण ठीक 40 न्यूटन लौटाता है, 90 न्यूटन से धकेलिए तो 90 न्यूटन — एक ऊपरी सीमा तक, जिसे सीमान्त घर्षण कहते हैं और जो μs·N के बराबर है। उस सीमा से ज़्यादा ज़ोर लगाइए तो पेटी छूट जाती है; उसके बाद प्रतिरोध गतिज (सर्पी) घर्षण होता है, f = μk·N, जो सर्पण के दौरान लगभग नियत रहता है और सीमान्त मान से छोटा होता है — और यही कारण है कि भारी आलमारी को चलाना कठिन और चलती रखना स्पष्ट रूप से आसान होता है। इसके आनुभविक नियम अमोंतों-कूलॉम नियम कहलाते हैं, जिन्हें 1699 में गीयोम अमोंतों ने रखा और 1785 में शार्ल-ऑगस्तें द कूलॉम ने संख्यात्मक आधार दिया : घर्षण अभिलम्ब प्रतिक्रिया के समानुपाती होता है, स्पर्श के आभासी क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है, और सर्पण की चाल से लगभग स्वतंत्र होता है। क्षेत्रफल वाला नियम तब तक बेतुका लगता है जब तक सूक्ष्म कारण न मालूम हो — दो सतहें केवल सूक्ष्म उभारों की नोकों पर छूती हैं, इसलिए वास्तविक स्पर्श-क्षेत्र दिखाई देने वाले क्षेत्र का बहुत छोटा अंश होता है और वह भार के अनुपात में बढ़ता है, न कि इस बात से कि गुटका किस करवट रखा है। इस सबके नीचे न्यूटन का पहला नियम बैठा है, जो 1687 के प्रिंसिपिया से आता है : विराम और सरल रेखा में एकसमान गति एक ही गत्यात्मक अवस्था है, और पिण्ड उसमें तब तक बना रहता है जब तक कोई असंतुलित बाह्य बल न लगे। इसलिए एकसमान चाल से सरकता बक्सा उतना ही साम्यावस्था में है जितना खड़ा हुआ बक्सा — इस स्थिति को भौतिकविद् गत्यात्मक साम्य कहते हैं।

इस उत्तर तक तीन क़दमों में पहुँचिए और लगभग दस सेकेण्ड लगेंगे। पहला, ‘नियत वेग’ को रेखांकित कीजिए। ये दो शब्द गतिकी की समस्या को स्थैतिकी की समस्या में बदल देते हैं, क्योंकि नियत वेग का अर्थ है शून्य त्वरण, और शून्य त्वरण का अर्थ है शून्य कुल बल। दूसरा, मुक्त पिण्ड आरेख खींचिए : भार नीचे, अभिलम्ब प्रतिक्रिया ऊपर (ये आपस में कट जाते हैं), 200 न्यूटन का धक्का आगे, और घर्षण f पीछे। तीसरा, क्षैतिज योग को शून्य रखिए, जिससे तुरंत f = 200 न्यूटन मिल जाता है। एकमात्र निर्णायक तथ्य यह तुल्यता है कि ‘नियत वेग = शून्य त्वरण = शून्य कुल बल’; सूची का हर ग़लत विकल्प किसी कुल बल से, और इसलिए बदलती चाल से मेल खाता है, इसलिए हर एक प्रश्न की अपनी ही शर्त का खंडन करता है। विकल्प (a) बक्से को त्वरित करेगा, विकल्प (c) और (d) उसे मंदित करेंगे। इस पूरे प्रश्नपत्र के भौतिकी खंड के लिए एक और संकेत आत्मसात करने लायक़ है : प्रश्न न द्रव्यमान देता है, न गुणांक, न सतह का विवरण। जब एक अंक का कोई संख्यात्मक प्रश्न वह हर राशि रोक ले जो किसी सूत्र में चाहिए होती, तो परीक्षक यह बता रहा होता है कि उत्तर किसी संरक्षण या संतुलन सिद्धान्त से आएगा, प्रतिस्थापन से नहीं। जाल गणितीय से ज़्यादा मनोवैज्ञानिक है। रोज़मर्रा का अनुभव कहता है कि धकेलना बंद कर दें तो पेटी रुक जाती है, इसलिए धकेलना घर्षण को ‘हरा’ रहा होगा — यहीं से विकल्प (a) आता है। रोज़मर्रा का अनुभव असल में यह दिखाता है कि आपका धक्का हटते ही घर्षण असंतुलित हो जाता है, जो पेटी को मंदित करता है। घर्षण से अधिक बल केवल तब चाहिए जब बक्से को चलाना शुरू करना हो, जहाँ बड़े सीमान्त मान को हराना पड़ता है, या जब उसे त्वरित करना हो। एकसमान चाल से चलाने के लिए आप घर्षण की ठीक बराबरी करते हैं, उससे अधिक कभी नहीं।

• न्यूटन का पहला नियम, जो प्रिंसिपिया (1687) में दिया गया, विराम और सरल-रेखीय एकसमान गति को एक ही अवस्था बनाता है : पिण्ड उस अवस्था को केवल असंतुलित बाह्य बल के अधीन बदलता है। इसलिए नियत वेग का अर्थ शून्य त्वरण और शून्य त्वरण का अर्थ शून्य कुल बल — यही इस प्रश्न की पूरी सामग्री है।
• शुष्क घर्षण के अमोंतों-कूलॉम नियम (गीयोम अमोंतों, 1699; शार्ल-ऑगस्तें द कूलॉम, 1785) : घर्षण अभिलम्ब प्रतिक्रिया N के समानुपाती होता है, स्पर्श के आभासी क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है, और सर्पण की चाल से लगभग स्वतंत्र होता है। स्थैतिक घर्षण 0 और सीमान्त मान μs·N के बीच स्वयं-समायोजी होता है; गतिज घर्षण का नियत मान μk·N होता है।
• एक ही जोड़ी सतहों के लिए μk, μs से छोटा होता है, यही कारण है कि भार को चलाना शुरू करने के लिए आवश्यक धक्का उसे चलाए रखने के धक्के से बड़ा होता है। प्रतिनिधि शुष्क मान : लकड़ी पर लकड़ी में μs लगभग 0.25–0.5 और μk लगभग 0.2; सूखे कंक्रीट पर रबड़ में μs लगभग 1.0; इस्पात पर इस्पात शुष्क अवस्था में लगभग 0.57 पर स्नेहन के साथ मोटे तौर पर 0.06।
• 0.2 के गतिज गुणांक पर 200 न्यूटन का घर्षण बल 1,000 न्यूटन की अभिलम्ब प्रतिक्रिया दर्शाता है और इसलिए लगभग 102 किलोग्राम का बक्सा (g = 9.8 मीटर/सेकेण्ड वर्ग लेने पर) — वही गणित जिसे प्रश्न जान-बूझकर रोक लेता है, और यह जाँचने का उपयोगी तरीक़ा कि वर्णित स्थिति भौतिक रूप से सामान्य है।
• लोटनिक घर्षण सर्पी घर्षण से एक से दो घात कम होता है — इस्पात की रेल पर इस्पात के रेलवे पहिये का गुणांक लगभग 0.001 है — यही कारण है कि पहिये, बॉल बेयरिंग और रोलर बेयरिंग मौजूद हैं, और यही कि वही 200 न्यूटन नंगे फर्श की तुलना में ठेले पर कहीं अधिक भारी बोझ चला देगा।
• गत्यात्मक साम्य कोई विशेष स्थिति नहीं है : सीमान्त वेग पर गिरता स्काईडाइवर (पेट-नीचे मुद्रा में लगभग 53 मीटर/सेकेण्ड, मोटे तौर पर 195 किलोमीटर/घंटा), समतल सड़क पर नियत चाल से चलती कार, और यह लकड़ी का बक्सा — तीनों ऐसे पिण्ड हैं जिन पर कुल बल शून्य है और जिनका वेग शून्य नहीं है।

• ‘नियत वेग’ को केवल ‘चल रहा है’ के अर्थ में पढ़ लेना — वही तो पूरा प्रश्न है, क्योंकि वही त्वरण को, और इसलिए कुल बल को, शून्य पर बाँधता है
• यह मान लेना कि गति के लिए कोई बचा हुआ कुल बल चाहिए, इसलिए आरोपित बल घर्षण से बड़ा होना चाहिए; कुल बल केवल गति शुरू करने या बदलने के लिए चाहिए, उसे बनाए रखने के लिए कभी नहीं
• सीमान्त घर्षण (अधिकतम स्थैतिक मान, सरकना शुरू होने से ठीक पहले) को गतिज घर्षण (जो सर्पण के दौरान लगता है और थोड़ा छोटा होता है) से गड्डमड्ड कर देना — प्रश्नपत्र का ‘सीमान्त घर्षण बल’ पहला पद है, पर प्रश्न का बक्सा पहले से सरक रहा है

BPSC यांत्रिकी को एक क़दम के प्रतिस्थापन के रूप में पूछता है, जिसे थोड़ी ग़ैर-मानक अनूदित भाषा में लपेटा जाता है — यहाँ अंग्रेज़ी संस्करण में limiting friction के लिए ‘marginal friction force’ — चार गोल संख्याओं के विकल्पों के साथ, जहाँ पूरा काम एक ही नियम करता है; भरोसेमंद रणनीति उस वाक्यांश को खोजना है जो त्वरण तय कर देता है। UPSC ने 1990 के दशक से प्रतिस्थापन वाले संख्यात्मक प्रश्न लगभग बंद कर दिए हैं और घर्षण को वैचारिक रूप से पूछता है : 2013 में उसने पूछा कि बॉल बेयरिंग मदद क्यों करती हैं (प्रभावी स्पर्श-क्षेत्रफल घट जाता है), और 2000 में घर्षणरहित सतह पर खड़े उस व्यक्ति पर कथन-कारण प्रश्न रखा जो सीटी बजाकर स्वयं को आगे बढ़ाता है, जिसे संवेग-संरक्षण से तर्क करके निकालना पड़ता था।

• अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं

  20 किलोग्राम द्रव्यमान का एक बक्सा 50 न्यूटन के क्षैतिज बल द्वारा क्षैतिज फर्श पर नियत चाल से खींचा जाता है। g = 10 मीटर/सेकेण्ड वर्ग लेने पर बक्से और फर्श के बीच गतिज घर्षण गुणांक होगा

  • (a)0.10
  • (b)0.25
  • (c)0.40
  • (d)0.50

  उत्तर(b) 0.25 — नियत चाल का अर्थ है शून्य कुल बल, इसलिए घर्षण आरोपित 50 न्यूटन के बराबर है; अभिलम्ब प्रतिक्रिया N = mg = 20 × 10 = 200 न्यूटन; अतः μ = f/N = 50/200 = 0.25।

• अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं

  घर्षण के विषय में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही नहीं है ?

  • (a)एक ही जोड़ी सतहों के लिए सीमान्त घर्षण गतिज घर्षण से अधिक होता है
  • (b)गतिज घर्षण अभिलम्ब प्रतिक्रिया के अनुक्रमानुपाती होता है
  • (c)घर्षण सतहों के बीच के आभासी स्पर्श-क्षेत्रफल के अनुक्रमानुपाती होता है
  • (d)लोटनिक घर्षण सर्पी घर्षण से बहुत कम होता है

  उत्तर(c) घर्षण सतहों के बीच के आभासी स्पर्श-क्षेत्रफल के अनुक्रमानुपाती होता है — यही एकमात्र असत्य कथन है : शुष्क घर्षण अभिलम्ब प्रतिक्रिया पर निर्भर करता है, आभासी स्पर्श-क्षेत्रफल पर नहीं, क्योंकि वास्तविक स्पर्श केवल सूक्ष्म उभारों पर होता है। शेष तीनों मानक परिणाम हैं।