BPSC 70वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 121 / 143

सही — (c) 22। इसे सापेक्ष-चाल की समस्या की तरह देखिए; उँगलियों पर गिने बिना सही उत्तर तक पहुँचने का यही एकमात्र रास्ता है। मिनट की सूई 60 मिनट में 360° घूमती है, यानी 6° प्रति मिनट; घंटे की सूई 12 घंटे में 360° घूमती है, यानी 0.5° प्रति मिनट। इसलिए मिनट की सूई घंटे की सूई पर 6 − 0.5 = 5.5° प्रति मिनट की दर से बढ़त बनाती है। सूइयाँ हर उस क्षण मेल खाती हैं जब यह बढ़त पूरे 360° का एक चक्कर पूरा कर लेती है, और इसमें 360 ÷ 5.5 = 720/11 = 65 5/11 मिनट लगते हैं — एक घंटे से थोड़ा अधिक, ठीक एक घंटा नहीं। 12 घंटे यानी 720 मिनट के एक चक्र में पूरे चक्करों की संख्या 720 ÷ (720/11) = 11 होती है, इसलिए सूइयाँ 12 घंटे में 11 बार और पूरे 24 घंटे के दिन में 11 + 11 = 22 बार मेल खाती हैं। 12:00 से गिनना शुरू कीजिए तो ये ग्यारह मेल 12:00, 1:05 5/11, 2:10 10/11, 3:16 4/11, 4:21 9/11, 5:27 3/11, 6:32 8/11, 7:38 2/11, 8:43 7/11, 9:49 1/11 और 10:54 6/11 पर पड़ते हैं — और उसके बाद अगला मेल फिर 12:00 पर ही होता है। यही अंतराल पूरे प्रश्न की जान है: 11 बजे वाले घंटे के भीतर कहीं कोई मेल होता ही नहीं, क्योंकि 11:00 तक मिनट की सूई इतनी पीछे रह चुकी होती है कि वह तभी पकड़ पाती है जब दोनों सूइयाँ 12 पर पहुँच जाएँ। बारह में से एक घंटा ऐसा है जिसमें एक भी मेल नहीं पड़ता, इसलिए गिनती आधे दिन में 12 नहीं, 11 है।

• (a)12 — यह वह गिनती है जो हर घंटे में एक मेल मान लेने पर मिलती है, और फिर उसे भूल से 24 घंटे के दिन के बजाय केवल 12 घंटे के डायल पर लागू कर देने से बनती है। इसमें दो चूकें एक साथ हैं: वास्तविक दर 12 घंटे में 12 नहीं, 11 है; और प्रश्न डायल के बारे में नहीं, पूरे दिन के बारे में पूछ रहा है।
• (b)23 — यह चिरपरिचित 'ज़रा-सा चूकने वाला' उत्तर है। यह तब बनता है जब दिन के एक आधे भाग पर '12 घंटे में 11' वाली दर सही लगा दी जाए पर दूसरे आधे पर फिर 12 पर लौट आया जाए, या फिर 12 बजे वाले मेल को दो बार गिन लिया जाए। दिन के दोनों आधे भाग बिल्कुल एक जैसे हैं, इसलिए कुल संख्या सम ही होनी चाहिए — केवल इसी आधार पर 23 गलत है।
• (d)24 — भोला-भाला उत्तर: प्रति घंटा एक मेल × 24 घंटे। यह इस तथ्य की उपेक्षा करता है कि घंटे की सूई स्वयं चल रही है, इसलिए मिनट की सूई को उसे दोबारा पकड़ने में 60 नहीं, 65 5/11 मिनट लगते हैं। पूरे दिन में प्रति चक्कर के ये अतिरिक्त 5 5/11 मिनट ठीक दो मेल की कीमत वसूल लेते हैं।

घड़ी की सूइयों वाला हर प्रश्न अंततः एक ही संख्या पर सिमट जाता है — दोनों सूइयों की सापेक्ष कोणीय चाल, 5.5° प्रति मिनट (मिनट की सूई के 6° प्रति मिनट में से घंटे की सूई के 0.5° प्रति मिनट घटाकर)। इसी एक आँकड़े से बाकी सारे मानक परिणाम निकल आते हैं। सूइयाँ हर 720/11 = 65 5/11 मिनट पर उसी सापेक्ष स्थिति में लौट आती हैं, इसलिए कोई भी निर्दिष्ट विन्यास — 0° पर मेल, 180° पर आमने-सामने, या 90° पर लंबवत — इसी चक्र पर दोहराता है। H घंटे M मिनट पर सूइयों के बीच का कोण निकालने का सामान्य सूत्र |30H − 5.5M| डिग्री है, जिसमें इस मान और 360° में से इसे घटाने पर मिले मान में से छोटा लिया जाता है। चूँकि 12 घंटे में 12 नहीं बल्कि 11 चक्र समाते हैं, घड़ी के बारे में 'घंटे में एक बार' वाली हर सहज धारणा पूरे दिन में ठीक दो घटनाओं से चूक जाती है।

जाल यह है कि 'सूइयाँ लगभग हर घंटे मिलती हैं' बात लगभग सच है, और प्रश्न 'लगभग' शब्द पर ही टिका है। मेल गिनने मत बैठिए; चक्कर गिनिए। 12 घंटे में मिनट की सूई 12 चक्कर पूरे करती है और घंटे की सूई 1, इसलिए मिनट की सूई घंटे की सूई को 12 − 1 = 11 बार लैप करती है। यही घटाव पूरी व्युत्पत्ति है और इसमें दो सेकंड लगते हैं। फिर 24 घंटे के लिए दोगुना कीजिए: 22। यही चक्कर-गिनती वाला तर्क उन दो अन्य मानक परिणामों को भी दे देता है जो परीक्षक इसकी जगह पूछ सकता है — सूइयाँ 12 घंटे में 11 बार एक-दूसरे के विपरीत (180° पर) होती हैं, यानी दिन में 22 बार; और प्रत्येक चक्र में दो बार समकोण बनाती हैं, यानी 12 घंटे में 22 और दिन में 44 बार। यदि केवल एक बात याद रखनी हो तो यह याद रखिए कि '12 नहीं, 11' ही निर्णायक बिंदु है, और दिन पर आधारित उत्तर सम संख्या ही हो सकता है।

• मिनट की सूई 6° प्रति मिनट, घंटे की सूई 0.5° प्रति मिनट; सापेक्ष बढ़त 5.5° प्रति मिनट
• लगातार दो मेलों के बीच अंतराल = 360 ÷ 5.5 = 720/11 = 65 5/11 मिनट, यानी 65 मिनट 27 3/11 सेकंड
• हर 12 घंटे में 11 मेल (मिनट की सूई घंटे की सूई को 12 − 1 = 11 बार लैप करती है), इसलिए 24 घंटे में 22
• दिन के किसी भी आधे भाग में 11 बजे वाले घंटे के दौरान कोई मेल नहीं होता — 11 बजे और 12 बजे वाले मेल 12:00 की एक ही घटना में मिल जाते हैं
• इसी चक्र से निकलने वाले सहवर्ती परिणाम: सूइयाँ दिन में 22 बार विपरीत दिशा में; दिन में 44 बार समकोण पर; दिन में 44 बार सीधी रेखा में (0° या 180°)
• H:M पर सूइयों के बीच का कोण |30H − 5.5M| डिग्री है, जिसे इस मान और उसके 360° पूरक में से छोटे मान तक घटा लिया जाता है

• हर घंटे एक मेल मान लेना और 24 उत्तर देना — घंटे की सूई की अपनी गति अंतराल को 65 5/11 मिनट तक खींच देती है
• प्रश्न 'एक दिन में' (24 घंटे) पूछे और उत्तर 12 घंटे के डायल के लिए दे देना, या इसका उल्टा
• तीनों मानक गिनतियों को आपस में गड्डमड्ड कर देना: मेल दिन में 22, विपरीत दिन में 22, समकोण दिन में 44

बी० पी० एस० सी० अपना तर्कशक्ति खंड छोटा और सीधा रखता है — घड़ी, कैलेंडर, कूट-लेखन या दिशा का एक-पंक्ति वाला प्रश्न, चार संख्यात्मक विकल्प और कोई हल दिखाने की माँग नहीं, ठीक जैसा यहाँ है। यू० पी० एस० सी० ने ऐतिहासिक रूप से यही सापेक्ष-चाल वाली मशीनरी गणनात्मक रूप में पूछी है: 'घंटे की सूई कितने अंश घूमेगी', '3:25 पर सूइयों के बीच न्यून कोण कितना है', या समकोणों की सहवर्ती गिनती। 5.5° प्रति मिनट वाला आँकड़ा याद कर लीजिए और दोनों शैलियाँ एक ही विधि में सिमट जाती हैं।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक दिन में घड़ी की सूइयाँ कितनी बार सीधी रेखा में परंतु विपरीत दिशाओं में इंगित करती हुई होती हैं ?

  • (a)44
  • (b)24
  • (c)22
  • (d)11

  उत्तर(c) 22 — सूइयाँ 720/11 मिनट के हर चक्र में एक बार 180° की दूरी पर होती हैं, यानी 12 घंटे में 11 बार और एक दिन में 22 बार।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  4 बजे और 5 बजे के बीच घड़ी की सूइयाँ किस समय मेल खाएँगी ?

  • (a)4 : 20
  • (b)4 : 21 9/11
  • (c)4 : 22 2/11
  • (d)4 : 24

  उत्तर(b) 4 : 21 9/11 — 4:00 पर घंटे की सूई 120° आगे है; मिनट की सूई यह अंतर 5.5° प्रति मिनट की दर से पाटती है, जिसमें 120 ÷ 5.5 = 21 9/11 मिनट लगते हैं।