BPSC 69वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 150 / 144

सही — A, 5·34। रेखाचित्र बनाने के बजाय निर्देशांक बिठाइए: O को मूल बिंदु पर रखिए, पूर्व को धनात्मक x-अक्ष के साथ और उत्तर को धनात्मक y-अक्ष के साथ, और सब कुछ किलोमीटर में नापिए। P, O के ठीक दक्षिण में 2 कि० मी० पर है, इसलिए P = (0, −2)। N, O से 1 कि० मी० दक्षिण-पूर्व में है, और ऐसी मदों में दक्षिण-पूर्व का अर्थ हमेशा ठीक 45 अंश का अर्धक होता है, इसलिए वह 1 कि० मी० बराबर-बराबर पूर्व और दक्षिण के घटकों में बँट जाता है, हर एक 1 ÷ √2 ≈ 0·707 कि० मी०: N = (0·707, −0·707)। M, N के ठीक उत्तर में 4 कि० मी० पर है, जिससे केवल y-निर्देशांक बदलता है: M = (0·707, −0·707 + 4) = (0·707, 3·293)। अब वे दोनों बिंदु तय हो गए जिनकी ज़रूरत थी। उनका क्षैतिज अंतर 0·707 कि० मी० है — और वह पूरा का पूरा N के पूर्व की ओर के खिसकाव से विरासत में आया है, क्योंकि M ठीक N के ऊपर बैठा है और P ठीक O के नीचे। उनका ऊर्ध्वाधर अंतर 3·293 − (−2) = 5·293 कि० मी० है। पाइथागोरस देता है MP = √(0·707² + 5·293²) = √(0·5 + 28·01) = √28·51 ≈ 5·34 कि० मी०। सटीक रूप में MP = √(37 − 6√2) है, जिसका मान 5·3399 निकलता है, इसलिए छपा हुआ 5·34 ठीक-ठीक पूर्णांकित मान है।

• (b)6·74 — यह विकर्ण पर दक्षिण की जगह उत्तर पढ़ लेने से बनता है। N को O के दक्षिण-पूर्व के बजाय उत्तर-पूर्व में एक किलोमीटर पर रखिए और M चढ़कर y = 4 + 0·707 = 4·707 पर पहुँच जाता है, जिससे ऊर्ध्वाधर भुजा 6·707 हो जाती है और √(0·5 + 44·99) ≈ 6·74 मिलता है। प्रश्न कहता है दक्षिण-पूर्व, जो N को O से होकर जाती पूर्व-पश्चिम रेखा के नीचे ले जाता है और M को उसी 0·707 कि० मी० से नीचे खींचता है, ऊपर नहीं।
• (c)28·5 — 28·51 वस्तुतः MP का वर्ग है, और यह उस अभ्यर्थी के लिए रखा गया है जो सब कुछ ठीक करता है और फिर अंतिम वर्गमूल भूल जाता है। इसे बिना किसी अंकगणित के भी अस्वीकार किया जा सकता है: प्रश्न जो तीन दूरियाँ देता है वे 4, 2 और 1 कि० मी० हैं, इसलिए यदि सारी शाखाएँ एक सीधी रेखा में भी पिरो दी जाएँ तो भी किन्हीं दो के बीच 7 कि० मी० से अधिक नहीं हो सकता। इस आकृति में 28·5 कि० मी० का अंतर असंभव है।
• (d)उपर्युक्त में से कोई नहीं — यह तभी सही होता जब तीनों संख्यात्मक विकल्पों में से कोई भी मेल न खाता, और 5·34 छपे हुए दो दशमलव स्थानों तक मेल खाता है। यह उस अभ्यर्थी के लिए ईमानदार चुनाव है जो किसी विकर्ण को घटकों में नहीं तोड़ सकता — पर यह विभाजन मानक है: चारों अंतर-दिशाओं में से किसी के साथ d कि० मी० का विस्थापन उन दो मुख्य दिशाओं में से हर एक में d ÷ √2 होता है जिनके बीच वह पड़ता है।

दिशा-और-दूरी वाली मदें बिंदुओं को दिक्सूचक की मदद से एक-दूसरे के सापेक्ष रखती हैं और फिर कोई अंतर, कोई अंतिम दिशा या कोई शुद्ध विस्थापन पूछती हैं। दो परिपाटियाँ इन्हें हल करने योग्य बनाती हैं और दोनों तय हैं। उत्तर पन्ने के ऊपर की ओर लिया जाता है और पूर्व दाईं ओर, इसलिए उत्तर से दायाँ मोड़ पूर्व की ओर मुँह कर देता है। और चारों अंतर-दिशाएँ — उत्तर-पूर्व, दक्षिण-पूर्व, दक्षिण-पश्चिम, उत्तर-पश्चिम — ठीक 45 अंश के अर्धक का अर्थ रखती हैं, कोई धुँधला चतुर्थांश कभी नहीं; इसलिए दक्षिण-पूर्व की ओर d कि० मी० की यात्रा d ÷ √2 कि० मी० पूर्व और साथ ही d ÷ √2 कि० मी० दक्षिण होती है। इन्हें मान लेने के बाद पूरा परिवार निर्देशांक ज्यामिति में सिमट जाता है: किसी एक बिंदु को मूल बिंदु दीजिए, हर निर्देश को x या y या दोनों के परिवर्तन में बदलिए, और अंत में दूरी-सूत्र लगाइए। जहाँ भुजाएँ लंबवत हों वहाँ अंतिम क़दम इतनी बार पाइथागोरस त्रिक होता है — 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 — कि किसी एक को पहचान लेना समय बचाता है, यद्यपि यहाँ नहीं।

पहले वही निर्देश पढ़िए जो साझा संदर्भ तय करता है। यहाँ O का नाम दो बार आता है, P वाले उपवाक्य में और N वाले में, इसलिए O स्वाभाविक मूल बिंदु है; इसके बजाय M या P से शुरू करने का अर्थ है पूरे हल में एक अज्ञात ढोते रहना। उसके बाद क्रम मायने नहीं रखता। जो क़दम प्रश्न तय करता है वह अकेले विकर्ण को घटकों में तोड़ना है: N, O से एक किलोमीटर दक्षिण-पूर्व में है, जो 0·707 कि० मी० पूर्व और 0·707 कि० मी० दक्षिण है, और पूर्व की ओर का वह 0·707 पूरी आकृति का इकलौता क्षैतिज विस्थापन है — M, N के ठीक उत्तर में है और P, O के ठीक दक्षिण में, इसलिए दोनों बस उसी बिंदु का x-निर्देशांक विरासत में ले लेते हैं जिससे उन्हें नापा गया था। यह पहचान लेना चार बिंदुओं वाली समस्या को एक समकोण त्रिभुज में बदल देता है, जिसकी भुजाएँ 1 ÷ √2 और 6 − 1 ÷ √2 हैं। परीक्षा-कक्ष की दो आदतें यहाँ काम आती हैं। एक सीमा साथ रखिए: दी गई भुजाएँ मिलकर 4 + 1 + 2 = 7 कि० मी० बनती हैं, इसलिए 7 से ऊपर का कोई विकल्प इस आकृति में दूरी हो ही नहीं सकता, और यह 28·5 को एक सेकंड में मार देता है। और अंतिम संक्रिया जाँचिए: लंबाई के रूप में पेश की गई कोई वर्ग-राशि मानक अंतिम जाल है, और 28·5 ठीक MP² है। एक चेतावनी साफ़-साफ़ कह देने योग्य है — उत्तर इस पर निर्भर है कि दक्षिण-पूर्व का अर्थ ठीक 45 अंश है। ढीले ढंग से दक्षिण-पूर्व चतुर्थांश में कहीं भी पढ़ लिया जाए तो आकृति अनिर्धारित रह जाती और MP कुछ भी हो सकता था, 5 कि० मी० से, यदि N, O के ठीक दक्षिण में होता, लेकर लगभग 6·08 कि० मी० तक, यदि वह ठीक पूर्व में होता; 45 अंश की परिपाटी ही इस प्रश्न को सुगठित बनाती है, और ऐसी मदें बनाने वाला हर प्रश्न-निर्माता उसी परिपाटी का प्रयोग करता है।

• अंतर-दिशा की परिपाटी: दक्षिण-पूर्व की ओर d कि० मी० का विस्थापन d ÷ √2 कि० मी० पूर्व और d ÷ √2 कि० मी० दक्षिण होता है — d = 1 कि० मी० के लिए हर दिशा में लगभग 0·707 कि० मी०
• O को मूल बिंदु, पूर्व को +x और उत्तर को +y लेकर निर्देशांक: O (0, 0), P (0, −2), N (0·707, −0·707), M (0·707, 3·293)
• MP की क्षैतिज भुजा 1 ÷ √2 ≈ 0·707 कि० मी० है और ऊर्ध्वाधर भुजा 6 − 1 ÷ √2 ≈ 5·293 कि० मी०, इसलिए MP = √(37 − 6√2) = 5·3399 ≈ 5·34 कि० मी०
• विवेक की सीमा: दी गई तीनों भुजाएँ मिलकर 4 + 1 + 2 = 7 कि० मी० बनती हैं, इसलिए इस आकृति में कोई दो शाखाएँ 7 कि० मी० से अधिक दूर नहीं हो सकतीं — जो किसी गणना से पहले ही 28·5 को दूरी होने से बाहर कर देता है
• 28·51, MP² है, और 6·74 वह है जो N को दक्षिण-पूर्व के बजाय उत्तर-पूर्व में रखने के बाद √(0·5 + 6·707²) से मिलता है

• किसी अंतर-दिशा को ठीक 45 अंश के अर्धक के बजाय मोटा-मोटा चतुर्थांश मान लेना, जिससे आकृति अनिर्धारित रह जाती है
• विकर्ण वाली भुजा पर उत्तर-पूर्व और दक्षिण-पूर्व को गड्डमड्ड कर देना — यही भूल 6·74 पैदा करती है
• वर्ग वाले मान पर रुक जाना: 28·51, MP² है, और विकल्प-सूची ठीक इसी को पकड़ने के लिए 28·5 छापती है

BPSC ने लगातार सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्रों के तर्कशक्ति खंड में दिशा वाली मद रखी है और उसे एक वर्णक्रम पर हिलाता रहता है — 2025 के खंड में केवल मोड़, जिसका उत्तर कोई दिशा है, और यहाँ 2023 में दूरियों तथा दशमलव उत्तर वाली पूरी निर्देशांक-समस्या। दशमलव उत्तर ही वह संकेत है कि किसी विकर्ण को केवल ढोना नहीं, घटकों में तोड़ना है। UPSC दिशा-बोध को सी-सैट प्रश्नपत्र II में सामान्य मानसिक योग्यता के अंतर्गत रखता है, और वहाँ वह आम तौर पर दूरी की गणना के बजाय मोड़-और-मुख वाली पहेली होती है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  एक साइकिल सवार बिंदु X से 2√2 कि० मी० उत्तर-पूर्व की ओर चलता है और फिर 2 कि० मी० ठीक दक्षिण की ओर। वह X से कितनी दूर है?

  • (a)2 कि० मी०
  • (b)2√2 कि० मी०
  • (c)4 कि० मी०
  • (d)6 कि० मी०

  उत्तर(a) 2 कि० मी० — उत्तर-पूर्व की ओर 2√2 कि० मी० का अर्थ है 2 कि० मी० पूर्व और 2 कि० मी० उत्तर, जिससे वह (2, 2) पर पहुँचता है; 2 कि० मी० दक्षिण चलने पर वह (2, 0) पर आता है, जो X से ठीक 2 कि० मी० पूर्व है।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  एक व्यक्ति बिंदु X से चलकर 4 कि० मी० उत्तर, फिर 3 कि० मी० पूर्व, फिर 8 कि० मी० दक्षिण जाता है। वह X से कितनी दूर है?

  • (a)5 कि० मी०
  • (b)7 कि० मी०
  • (c)15 कि० मी०
  • (d)25 कि० मी०

  उत्तर(a) 5 कि० मी० — वह (3, −4) पर पहुँचता है, इसलिए दूरी √(3² + 4²) = 5 कि० मी० है; 15 कि० मी० कुल चली गई दूरी है और 25 कि० मी० उत्तर का वर्ग।