BPSC 69वीं CCE प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 15 / 144

सही — B, वक्रता के केन्द्र पर। अवतल दर्पण के लिए वस्तु की छह मानक स्थितियों में ठीक एक ऐसी है जो वस्तु के बराबर आकार का प्रतिबिंब देती है, और वह वक्रता केंद्र C है। दो स्वतंत्र उपपत्तियाँ इसका निपटारा कर देती हैं। पहली किरण का तर्क है: C से निकलने वाली कोई भी किरण त्रिज्या के अनुदिश चलती है, इसलिए वह दर्पण-सतह से अभिलंब के अनुदिश टकराती है और अपने ही पथ पर सीधी लौट आती है। ऐसी हर किरण C पर वापस आती है, इसलिए प्रतिबिंब C पर ही बनेगा, और चूँकि वस्तु तथा प्रतिबिंब ध्रुव से समान दूरी पर हैं, इसलिए दोनों का आकार बराबर होना ही चाहिए — उल्टा, क्योंकि किरणें अक्ष पर एक-दूसरे को काटती हैं, और वास्तविक, क्योंकि वे दर्पण के सामने सचमुच अभिसरित होती हैं। दूसरी उपपत्ति गणित की है। छोटे द्वारक वाले गोलीय दर्पण के लिए R = 2f, इसलिए C पर रखी वस्तु u = 2f पर होती है। दर्पण-सूत्र 1/v + 1/u = 1/f में रखने पर 1/v = 1/f − 1/(2f) = 1/(2f) मिलता है, अर्थात् v = 2f: प्रतिबिंब भी C पर ही बनता है। आवर्धन m = −v/u = −2f/2f = −1 होता है, और चिह्न तथा परिमाण उत्तर के दोनों आधे हिस्से ढोते हैं — ऋण चिह्न कहता है उल्टा और वास्तविक, और 1 कहता है आकार में बराबर। प्रयोगशालाएँ अवतल दर्पण की वक्रता त्रिज्या मापने के लिए ठीक यही व्यवस्था इसीलिए प्रयोग करती हैं: परदे को तब तक सरकाइए जब तक स्पष्ट प्रतिबिंब वस्तु जितनी ऊँचाई का न हो जाए, और जो वस्तु-दूरी आपने पाई वही R है, जिसका आधा फोकस दूरी है।

• (a)फोकस पर — यह मानक 'वस्तु अनंत पर' वाली स्थिति का उलटा है, और यह किसी भी परिमित दूरी पर कोई प्रतिबिंब बनाता ही नहीं। दर्पण-सूत्र में u = f रखिए तो 1/v = 1/f − 1/f = 0, अर्थात् v अनंत: परावर्तित किरणें दर्पण से एक-दूसरे के समांतर निकलती हैं। टॉर्च, सर्चलाइट और वाहन की हेडलाइट ठीक इसी तरह बनाई जाती हैं, जिनमें बल्ब अवतल परावर्तक के फोकस पर बैठाया जाता है ताकि समांतर पुंज निकले। एन० सी० ई० आर० टी० यहाँ प्रतिबिंब को अनंत पर और अत्यधिक बड़ा दर्ज करती है — बराबर आकार का ठीक उलटा।
• (c)फोकस और वक्रता केन्द्र के बीच — यह वास्तविक, उल्टा प्रतिबिंब देता है, और इसीलिए प्रश्न की पहली आधी शर्त पर टिक जाता है, पर प्रतिबिंब C से परे बनता है और बड़ा होता है, बराबर नहीं। यही प्रक्षेपक (प्रोजेक्टर) वाली व्यवस्था है — फोकस के पास रखी छोटी वस्तु दूर के परदे पर बड़ा प्रतिबिंब फेंकती है। जिन अभ्यर्थियों को केवल 'वास्तविक और उल्टा' याद रहता है और आवर्धन नहीं, वे यहीं रुक जाते हैं, और यह विकल्प ठीक इसी के लिए है।
• (d)वक्रता केन्द्र से परे — विकल्प (c) का दर्पण-प्रतिरूप, और उतना ही वास्तविक तथा उल्टा, पर अब प्रतिबिंब F और C के बीच बनता है और छोटा होता है। वस्तु जैसे-जैसे और दूर जाती है, प्रतिबिंब सिकुड़कर फोकस पर एक बिंदु की ओर बढ़ता है, और यही सीमांत 'वस्तु अनंत पर' वाली स्थिति है, जिसका उपयोग तब होता है जब अवतल दर्पण किसी दूरस्थ स्रोत का प्रकाश एकत्र करता है। छोटा होना बराबर आकार का होना नहीं है, इसलिए यह प्रश्न की तीसरी शर्त पर विफल हो जाता है।

गोलीय दर्पण पाँच पदों से वर्णित होता है: ध्रुव P (परावर्तक सतह का केंद्र), वक्रता केंद्र C (उस गोले का केंद्र जिससे दर्पण काटा गया), वक्रता त्रिज्या R = PC, मुख्य फोकस F, और फोकस दूरी f = PF। छोटे द्वारक वाले दर्पण के लिए ये R = 2f से बँधे हैं, इसलिए C सदा फोकस दूरी से दुगुनी दूरी पर बैठता है। प्रतिबिंब की रचना चार मानक किरणों में से किन्हीं दो से होती है: मुख्य अक्ष के समांतर आती किरण F से होकर परावर्तित होती है; F से होकर आती किरण अक्ष के समांतर परावर्तित होती है; C से होकर आती किरण अपने ही पथ पर लौट आती है, क्योंकि वह सतह से अभिलंब के अनुदिश मिलती है; और ध्रुव पर टकराती किरण अक्ष के परितः सममित रूप से परावर्तित होती है। प्रतिबिंब तब वास्तविक होता है जब परावर्तित किरणें दर्पण के सामने सचमुच मिलती हैं और परदे पर पकड़ी जा सकती हैं, और तब आभासी जब वे केवल दर्पण के पीछे किसी बिंदु से आती हुई प्रतीत होती हैं। यह सब दर्पण-सूत्र 1/v + 1/u = 1/f और आवर्धन m = h′/h = −v/u से संख्यात्मक रूप ले लेता है, जिन्हें नई कार्तीय चिह्न परिपाटी के अनुसार पढ़ा जाता है: ध्रुव मूल बिंदु है, वस्तु सदा बाईं ओर रखी जाती है, मूल बिंदु के दाईं ओर मापी गई दूरियाँ धनात्मक और बाईं ओर की ऋणात्मक होती हैं — और इसी से अवतल दर्पण की फोकस दूरी ऋणात्मक तथा उत्तल दर्पण की धनात्मक हो जाती है।

प्रश्न तीन शर्तें देता है — वास्तविक, उल्टा, बराबर आकार — और काम केवल तीसरी कर रही है। अवतल दर्पण फोकस के बाहर की हर वस्तु-स्थिति के लिए वास्तविक, उल्टा प्रतिबिंब बनाता है, इसलिए विकल्प (c) और (d) दोनों पहली दो कसौटियाँ पार कर जाते हैं और केवल आवर्धन से कटते हैं। इसके बजाय |m| से तर्क कीजिए। बराबर आकार का अर्थ है |m| = 1, और चूँकि m = −v/u है, इसका अर्थ हुआ |v| = |u|: वस्तु और उसका प्रतिबिंब ध्रुव से समान दूरी पर होने चाहिए। अवतल दर्पण पर ठीक एक परिमित बिंदु ऐसा है जहाँ यह होता है, क्योंकि जैसे-जैसे वस्तु अनंत से भीतर F की ओर आती है, प्रतिबिंब F से बाहर अनंत की ओर जाता है, और दोनों स्थितियाँ एक बार आपस में कटती हैं — C पर। बाक़ी सब इसी पर निर्भर है कि वस्तु C के किस ओर है: C से बाहर हो तो प्रतिबिंब दर्पण के अधिक निकट और छोटा, C के भीतर (पर F से बाहर) हो तो अधिक दूर और बड़ा। यदि आप गणना करना ही न चाहें, तो लंबवत आपतन वाली किरण काम में लीजिए: वक्रता केंद्र से आती किरण दर्पण पर समकोण बनाकर टकराती है और सीधी लौट आती है, इसलिए C पर रखी वस्तु का प्रतिबिंब उसी पर बनना चाहिए। विकल्प (a) को अलग से जाँच लेना उपयोगी है, क्योंकि 'फोकस पर' कोई परिमित प्रतिबिंब बनाता ही नहीं — परावर्तित पुंज समांतर होता है, और यह प्रतिबिंब बनाने की नहीं, टॉर्च तथा हेडलाइट वाली व्यवस्था है।

• अवतल दर्पण के लिए एन० सी० ई० आर० टी० कक्षा X की प्रतिबिंब-सारणी इस प्रकार चलती है: वस्तु अनंत पर → प्रतिबिंब F पर, बिंदु के आकार का, वास्तविक तथा उल्टा; C से परे → F और C के बीच, छोटा, वास्तविक तथा उल्टा; C पर → C पर, बराबर आकार, वास्तविक तथा उल्टा; C और F के बीच → C से परे, बड़ा, वास्तविक तथा उल्टा; F पर → अनंत पर, अत्यधिक बड़ा, वास्तविक तथा उल्टा; P और F के बीच → दर्पण के पीछे, बड़ा, आभासी तथा सीधा।
• छोटे द्वारक वाले गोलीय दर्पण के लिए R = 2f, इसलिए वक्रता केंद्र पर रखी वस्तु u = 2f पर होती है; दर्पण-सूत्र 1/v + 1/u = 1/f से फिर v = 2f और आवर्धन m = −v/u = −1 मिलता है, जिसमें ऋण चिह्न का अर्थ वास्तविक तथा उल्टा और परिमाण का अर्थ बराबर आकार है।
• नई कार्तीय चिह्न परिपाटी में ध्रुव मूल बिंदु होता है और वस्तु सदा बाईं ओर रहती है, तथा दाईं ओर की दूरियाँ धनात्मक ली जाती हैं; इसी परिपाटी पर अवतल दर्पण की फोकस दूरी ऋणात्मक और उत्तल दर्पण की धनात्मक होती है, और आवर्धन m = h′/h = −v/u है।
• अवतल दर्पण पर वक्रता केंद्र ही अकेला परिमित बिंदु है जहाँ वस्तु और प्रतिबिंब एक-दूसरे पर आते हैं, क्योंकि C से निकली किरण त्रिज्या के अनुदिश चलती है, सतह से अभिलंब के अनुदिश मिलती है और अपने ही पथ पर लौट आती है — और इसीलिए 'वस्तु तथा प्रतिबिंब बराबर आकार के' होना वक्रता त्रिज्या मापने की मानक प्रयोगशाला विधि है।
• उपयोग सीधे उसी सारणी से निकलते हैं: अवतल परावर्तक के फोकस पर रखा बल्ब टॉर्च या हेडलाइट का समांतर पुंज देता है, ध्रुव और फोकस के बीच रखी वस्तु दाढ़ी बनाने या दंत-चिकित्सक के दर्पण का बड़ा, सीधा आभासी प्रतिबिंब देती है, और दूरस्थ स्रोत सौर कुकर या परावर्ती दूरबीन में फोकस के पास संकेंद्रित होता है।

• 'वास्तविक और उल्टा' पर रुक जाना, जो अवतल दर्पण पर फोकस के बाहर की हर वस्तु-स्थिति के लिए सही है; उत्तर वस्तुतः 'वस्तु के आकार के बराबर' वाला वाक्यांश चुनता है
• 'फोकस पर' को प्रतिबिंब बनाने वाली स्थिति मान लेना — वह किसी परिमित दूरी पर प्रतिबिंब बनाता ही नहीं, क्योंकि परावर्तित किरणें समांतर निकलती हैं
• C के दोनों ओर की दिशाएँ गड्डमड्ड कर देना: C से परे रखी वस्तु छोटा प्रतिबिंब देती है, C और F के बीच रखी बड़ा, और बराबरी केवल C पर ही मिलती है

BPSC अपने प्रकाशिकी को एन० सी० ई० आर० टी० कक्षा X के भीतर रखता है और एक पंक्ति में विन्यास-स्मरण पूछता है, जिसमें गणना करने को कुछ नहीं होता — यहाँ बराबर आकार के प्रतिबिंब के लिए वस्तु की स्थिति, और 2025 की 71वीं सी० सी० ई० में समतल दर्पण की फोकस दूरी। UPSC किरण-आरेख का अभ्यास लगभग कभी नहीं कराता; वह पूछता है कि कोई परिघटना किस चीज़ को चलाती या समझाती है, इसीलिए उसके प्रकाशिकी प्रश्न प्रकाशिक तंतुओं तथा एंडोस्कोपी में पूर्ण आंतरिक परावर्तन, इंद्रधनुष में विक्षेपण तथा अपवर्तन, पानी में हवा का बुलबुला किसकी तरह व्यवहार करता है, और दर्पण घूमने पर परावर्तित किरण कितना घूमती है — इन पर रहे हैं। BPSC के लिए दोनों दर्पण-सारणियाँ याद कीजिए, और UPSC के लिए परिघटनाएँ तथा उनके उपयोग सीखिए।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  किसी अवतल दर्पण के मुख्य फोकस और वक्रता केंद्र के बीच एक वस्तु रखी गई है। बनने वाला प्रतिबिंब कैसा होगा?

  • (a)आभासी, सीधा और बड़ा, दर्पण के पीछे
  • (b)वास्तविक, उल्टा और बड़ा, वक्रता केंद्र से परे
  • (c)वास्तविक, उल्टा और छोटा, फोकस तथा वक्रता केंद्र के बीच
  • (d)वास्तविक, उल्टा और बराबर आकार का, वक्रता केंद्र पर

  उत्तर(b) वास्तविक, उल्टा और बड़ा, वक्रता केंद्र से परे — यही प्रक्षेपक वाली व्यवस्था है; विकल्प (c) C से परे रखी वस्तु का वर्णन है और विकल्प (d) C पर रखी वस्तु का।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  अवतल परावर्तक लगी टॉर्च या वाहन की हेडलाइट में बल्ब कहाँ रखा जाता है?

  • (a)वक्रता केंद्र पर
  • (b)मुख्य फोकस पर
  • (c)ध्रुव और मुख्य फोकस के बीच
  • (d)वक्रता केंद्र से परे

  उत्तर(b) मुख्य फोकस पर — F पर रखा स्रोत परावर्तित किरणों को मुख्य अक्ष के समांतर बाहर भेजता है, और इसी से प्रतिबिंब के बजाय एक दिशात्मक पुंज बनता है।