UPPSC 2024 प्रारंभिक प्रश्नपत्र-I · प्रश्न 106 / 150

सही उत्तर — (c) °F = 9/5 °C + 32। दो रैखिक (linear) तापमान पैमानों के बीच संबंध पूरी तरह से दो संदर्भ-बिंदुओं (reference points) से तय होता है। मानक वायुमंडलीय दाब पर जल 0 °C तथा 32 °F पर जमता है, और 100 °C तथा 212 °F पर उबलता है। इसलिए सेल्सियस पैमाने पर जो अंतराल 100 डिग्री चौड़ा है, वही फारेनहाइट पैमाने पर 212 − 32 = 180 डिग्री चौड़ा है, जिससे एक सेल्सियस डिग्री, 180/100 = 9/5 = 1.8 फारेनहाइट डिग्री के बराबर हो जाती है। यह अनुपात 9/5 गुणक है, और चूँकि फारेनहाइट का शून्य जल के हिमांक से अपनी ही 32 डिग्री नीचे बैठता है, इसलिए बाद में 32 जोड़ना आवश्यक है। दोनों को मिलाने पर °F = 9/5 °C + 32 प्राप्त होता है, जो विकल्प (c) है और अंकित उत्तर है। इसे दोनों आधार-बिंदुओं पर जाँचिए: °C = 0 रखने पर 32 °F मिलता है, जो हिमांक है; °C = 100 रखने पर 180 + 32 = 212 °F मिलता है, जो क्वथनांक है। इसी समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर व्युत्क्रम (inverse) मिलता है, °C = (5/9)(°F − 32) — ध्यान दें कि यहाँ 32 पहले घटाया जाता है और उसके बाद ही गुणा किया जाता है, जो कि अभ्यर्थी अक्सर उलट देते हैं। दो अंकगणितीय जाँच-बिंदु याद रखने योग्य हैं क्योंकि ये इस सूत्र के किसी भी रूप को क्षण भर में परखने देते हैं: सामान्य मानव शरीर का तापमान 37 °C = 98.6 °F होता है, और दोनों पैमाने −40 पर एक-दूसरे को काटते हैं, जहाँ −40 °C ठीक −40 °F के बराबर है।

• (a)°C = 9/5 °F + 32 — सही सूत्र को उल्टा लिखा गया है — इसमें सही गुणक और सही अचर (constant) तो हैं, लेकिन यह उलझा देता है कि किस पैमाने को किसमें बदला जा रहा है। किसी ज्ञात बिंदु पर इसे परखते ही यह ढह जाता है: जल का हिमांक 32 °F है, और °F = 32 रखने पर °C = 9/5(32) + 32 = 57.6 + 32 = 89.6 °C मिलता है, जबकि जल वास्तव में 0 °C पर जमता है। वास्तविक व्युत्क्रम °C = (5/9)(°F − 32) है — फारेनहाइट से सेल्सियस में जाने के लिए पहले 32 घटाना होता है और फिर 5/9 से गुणा करना होता है, न कि पहले 9/5 से गुणा करके फिर 32 जोड़ना। यह इस सेट का सबसे आकर्षक गलत विकल्प है, क्योंकि जिस अभ्यर्थी ने सूत्र का आकार तो याद रखा है पर उसकी दिशा नहीं, वह (a) और (c) में चुनाव नहीं कर पाता।
• (b)°C = °F - 273·15 — यह सेल्सियस-से-केल्विन संबंध है, जिसमें गलत पैमाना डाल दिया गया है। 273.15 की संख्या निरपेक्ष अथवा केल्विन पैमाने से जुड़ी है: K = °C + 273.15, अतः °C = K − 273.15। फारेनहाइट का 273.15 से कोई संबंध नहीं है; उसका संगत निरपेक्ष पैमाना रैंकाइन (Rankine) पैमाना है, जिसका ऑफ़सेट 459.67 है। इस विकल्प को जल के क्वथनांक, 212 °F, पर परखिए तो °C = 212 − 273.15 = −61.15 °C मिलता है, जबकि सही मान 100 °C है। यह विकल्प केवल उस अभ्यर्थी के लिए भ्रामक है जिसे 273.15 का अंक तो याद है, पर यह याद नहीं कि यह किन दो पैमानों को जोड़ता है।
• (d)°F = °C - 273·15 — यह विकल्प (b) की ही 273.15 की गलत प्रयोग है, बस दूसरी दिशा में लिखा गया है, और यह भी उतनी ही जल्दी असफल होता है। जल के हिमांक, °C = 0, को रखने पर °F = −273.15 मिलता है, जबकि जल 32 °F पर जमता है। यह इस तरह से भी गलत है जो बिना किसी गणना के ही दिख जाना चाहिए: सेल्सियस से फारेनहाइट का कोई भी सही सूत्र अवश्य एक स्केलिंग गुणक रखता है, क्योंकि दोनों पैमानों की डिग्री का आकार अलग-अलग है, जबकि इस विकल्प में कोई गुणक ही नहीं है — यह केवल संख्या को खिसकाता है, उसे फैलाता नहीं।

एक तापमान पैमाना एक शून्य-बिंदु और एक डिग्री-आकार चुनकर परिभाषित होता है, इसलिए किन्हीं भी दो रैखिक पैमानों के बीच रूपांतरण सदा एक ही दो-चरणीय रूप लेता है: डिग्री-आकारों के अनुपात से गुणा करना, फिर शून्य-बिंदुओं के अंतर से खिसकाना (shift)। सेल्सियस मानक वायुमंडलीय दाब पर जल के हिमांक को 0 और क्वथनांक को 100 पर तय करता है। फारेनहाइट इन्हीं दो बिंदुओं को 32 और 212 पर रखता है, इसलिए जहाँ सेल्सियस के पास 100 डिग्री हैं, वहाँ फारेनहाइट के पास 180 डिग्री हैं, और उसकी डिग्री सेल्सियस डिग्री की केवल 5/9 के बराबर है। केल्विन, ऊष्मागतिक (thermodynamic) तापमान की SI मूल इकाई, सेल्सियस डिग्री का आकार बनाए रखता है पर शून्य को निरपेक्ष शून्य तक नीचे ले जाता है, इसलिए K = °C + 273.15 में कोई गुणक नहीं है। यह पहचानना कि किन रूपांतरणों में गुणक चाहिए और किनमें केवल ऑफ़सेट, वही है जो यहाँ सही विकल्प को उन दो विकल्पों से अलग करता है जो 273.15 का गलत प्रयोग करते हैं।

चारों विकल्प एक दो-बटा-दो ग्रिड की तरह बने हैं, और इस संरचना को पहचान लेना ही इस प्रश्न से गुजरने का सबसे तेज़ रास्ता है। दो विकल्प गुणक 9/5 और अचर 32 का प्रयोग करते हैं, जो सही फारेनहाइट-सेल्सियस जोड़ी है, और केवल दिशा में भिन्न हैं; बाकी दो विकल्प 273.15 का प्रयोग करते हैं, जो केल्विन पैमाने से संबंधित है और फारेनहाइट-सेल्सियस रूपांतरण में सर्वथा गलत जगह है। अतः पहला कदम है (b) और (d) को देखते ही खारिज करना — कोई भी फारेनहाइट-से-सेल्सियस सूत्र जिसमें कोई स्केलिंग गुणक न हो, सही नहीं हो सकता, क्योंकि दोनों पैमानों की डिग्री का आकार अलग-अलग है। इससे बचता है (a) बनाम (c), और एक प्रतिस्थापन (substitution) से यह तय हो जाता है: जल के हिमांक पर, केवल °F = 9/5(0) + 32 = 32 ही ऐसा उत्तर देता है जो वास्तविकता से मेल खाता है। मुद्रित प्रश्नपत्र पर एक टिप्पणी दर्ज करने योग्य है। आधिकारिक सीरीज़ D पुस्तिका विकल्प (a) और (c) को ठीक ऊपर पुनरुत्पादित रूप में ही 9/5 गुणक के साथ छापती है; इस प्रश्नपत्र की कुछ व्यापक रूप से प्रचलित टंकित (typed) प्रतिलिपियाँ यह गुणक छोड़ देती हैं और (c) को '°F = °C + 32' के रूप में छापती हैं, जिससे अंकित उत्तर अंकगणितीय रूप से गलत हो जाता। यहाँ पुस्तिका का अपना ही शब्दांकन पुनरुत्पादित है, और उस पर कुंजी पूरी तरह संगत है।

• °F = 9/5 °C + 32, और पुनर्व्यवस्थित करने पर, °C = (5/9)(°F − 32)। गुणक 9/5 = 1.8, उन 180 फारेनहाइट डिग्रियों से आता है जो 100 सेल्सियस डिग्रियों जितने ही परास (range) को फैलाती हैं; 32, फारेनहाइट द्वारा जल के हिमांक को 0 के बजाय 32 पर रखे जाने से आता है।
• मानक वायुमंडलीय दाब पर स्थिर बिंदु: जल 0 °C = 32 °F = 273.15 K पर जमता है और 100 °C = 212 °F = 373.15 K पर उबलता है। सामान्य मानव शरीर का तापमान, 37 °C, 98.6 °F के बराबर है।
• दोनों पैमाने ठीक एक ही तापमान पर समान संख्या दिखाते हैं, −40 पर: −40 °C = −40 °F। यह किसी भी प्रस्तावित रूपांतरण सूत्र की सबसे तेज़ जाँच है।
• केल्विन ऊष्मागतिक तापमान की SI मूल इकाई है और सेल्सियस डिग्री-आकार साझा करता है, इसलिए K = °C + 273.15 में कोई गुणक नहीं है। निरपेक्ष शून्य 0 K = −273.15 °C = −459.67 °F है। फारेनहाइट डिग्री पर आधारित निरपेक्ष पैमाना रैंकाइन (Rankine) पैमाना है।
• डैनियल गैब्रियल फारेनहाइट, डच गणराज्य में काम करने वाले एक जर्मन-मूल के उपकरण-निर्माता, ने 1724 में अपना पैमाना प्रस्तावित किया; स्वीडिश खगोलशास्त्री एंडर्स सेल्सियस ने 1742 में अपना पैमाना प्रस्तावित किया, जिसमें 0 क्वथनांक और 100 हिमांक था, और शीघ्र ही इसे उलटकर आधुनिक रूप दिया गया। 'सेंटीग्रेड' के स्थान पर 'डिग्री सेल्सियस' नाम को अंतरराष्ट्रीय सहमति से 1948 में औपचारिक रूप से अपनाया गया।

• सूत्र की दिशा उलट देना। एक ओर जाते समय °F = 9/5 °C + 32; वापस आते समय °C = (5/9)(°F − 32)। गुणक और संक्रियाओं का क्रम, दोनों बदल जाते हैं।
• व्युत्क्रम रूपांतरण में घटाने से पहले गुणा कर देना। पहले 32 घटाना होता है और उसके बाद ही 5/9 से गुणा करना होता है।
• फारेनहाइट रूपांतरण में 273.15 लाना। यह संख्या सेल्सियस-केल्विन संबंध से जुड़ी है; फारेनहाइट-आधारित निरपेक्ष पैमाना रैंकाइन है, जिसका ऑफ़सेट 459.67 है।
• ऐसा विकल्प स्वीकार करना जो तापमान को बिना स्केल किए ही खिसका दे। चूँकि सेल्सियस डिग्री और फारेनहाइट डिग्री आकार में भिन्न हैं, इनके बीच किसी भी सही रूपांतरण में एक गुणक अवश्य होना चाहिए।

स्टेट PCS प्रश्नपत्र इसे या तो सीधे सूत्र के रूप में पूछते हैं, जैसा यहाँ है, या एक संख्यात्मक रूपांतरण के रूप में — '104 °F का तापमान कितने °C के बराबर है' — और कभी-कभी उस चतुर प्रश्न के रूप में जिसमें पूछा जाता है कि किस तापमान पर दोनों पैमाने समान संख्या दिखाते हैं, जो −40 है। UPSC पड़ोसी रूपांतरण, सेल्सियस से केल्विन, को सामान्य मानव शरीर तापमान को केल्विन पैमाने में व्यक्त करने के रूप में पूछ चुका है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  किस तापमान पर सेल्सियस तथा फारेनहाइट पैमाने समान संख्यात्मक रीडिंग दिखाते हैं ?

  • (a)0 डिग्री
  • (b)−40 डिग्री
  • (c)−273.15 डिग्री
  • (d)32 डिग्री

  उत्तर(b) −40 डिग्री — °F = 9/5 °C + 32 में °F = °C = x रखने पर x = 9/5x + 32 मिलता है, अतः −(4/5)x = 32 और x = −40। इस प्रकार −40 °C ठीक −40 °F के बराबर है, वह एकमात्र बिंदु जहाँ दोनों पैमाने सहमत होते हैं।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक रोगी का तापमान 104 °F दर्ज किया गया है। सेल्सियस पैमाने पर यह कितना है ?

  • (a)36 °C
  • (b)38 °C
  • (c)40 °C
  • (d)42 °C

  उत्तर(c) 40 °C — °C = (5/9)(°F − 32) लागू कीजिए: (5/9)(104 − 32) = (5/9)(72) = 40 °C। पहले 32 घटाएँ और तभी 5/9 से गुणा करें; पहले गुणा करना सबसे सामान्य त्रुटि है।