एक बस एक निश्चित दूरी की पहली आधी दूरी v₁ गति से पूरा करती है तथा अन्य आधी दूरी v₂ गति से पूरा करती है । पूरी यात्रा में बस की औसत गति क्या होगी ?
- (a)v₁v₂ / (v₁ + v₂)
- (b)2v₁v₂ / (v₁ + v₂)
- (c)(v₁ + v₂) / 2
- (d)√(v₁v₂)
सही उत्तर — (b) 2v₁v₂/(v₁ + v₂)। औसत गति की परिभाषा है कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करना — कभी भी गतियों का औसत नहीं, जब तक कि प्रत्येक गति संयोगवश समान समय के लिए बनाए न रखी गई हो। बीजगणित करें। मान लें पूरी यात्रा D है, तो हर आधा भाग D/2 है। पहला आधा भाग t₁ = (D/2)/v₁ लेता है और दूसरा t₂ = (D/2)/v₂ लेता है, जिससे कुल समय T = (D/2)(1/v₁ + 1/v₂) = (D/2)·(v₁ + v₂)/(v₁v₂) मिलता है। तब औसत गति है D ÷ T = D · 2v₁v₂ / [D(v₁ + v₂)] = 2v₁v₂/(v₁ + v₂)। ध्यान दें कि D कट जाता है — उत्तर इस बात पर निर्भर नहीं करता कि यात्रा कितनी लंबी थी, इसीलिए यह प्रश्न बिना किसी दूरी के दिए ही उत्तरित किया जा सकता है। यह व्यंजक दो गतियों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) है, और जब भी समान दूरियाँ अलग-अलग गतियों से तय की जाती हैं तो यही सही औसत होता है। दो जाँचें इसे सेकंडों में पुष्ट करती हैं। v₁ = v₂ = v रखें: सूत्र देता है 2v²/2v = v, बिल्कुल सही, क्योंकि जो बस कभी गति नहीं बदलती उसका औसत वही गति है। v₁ = 40 और v₂ = 60 किमी/घंटा रखें: सूत्र देता है 2 × 40 × 60 / 100 = 48 किमी/घंटा, जो सहज-बोध वाले 50 से कम है — सही है, क्योंकि बस तेज़ आधे भाग में दौड़ने की तुलना में धीमे आधे भाग में रेंगने में अधिक समय बिताती है, और औसत समय के अनुसार भार देता है।
- (a)v₁v₂ / (v₁ + v₂) — यह सही उत्तर का ठीक आधा है, और एक विशिष्ट चूक से आता है: कुल समय से विभाजित तो करना, पर यह भूल जाना कि कुल दूरी दो आधे भागों की है, एक की नहीं। दूसरे शब्दों में, D ÷ T के बजाय (D/2) ÷ T की गणना करना। समान-गति की जाँच इसे तुरंत तोड़ देती है — v₁ = v₂ = v रखें और सूत्र देता है v²/2v = v/2, जो दावा करता है कि 60 किमी/घंटा की स्थिर गति से चलने वाली बस का औसत 30 किमी/घंटा है। जो भी अभ्यर्थी किसी सूत्र को तुच्छ (trivial) मामले पर जाँचता है, वह इस विकल्प को कभी नहीं चुनेगा।
- (c)(v₁ + v₂) / 2 — यह समांतर माध्य (arithmetic mean) है — सहज-बोध वाला उत्तर, और वही जिसे दंडित करने के लिए यह प्रश्न बनाया गया है। यह सामान्यतः गलत नहीं है; यह यहाँ गलत है। समांतर माध्य तभी सही औसत गति है जब दोनों गतियाँ समान समय के लिए बनाए रखी जाएँ, समान दूरी के लिए नहीं। चूँकि बस धीमे आधे भाग में अधिक समय लेती है, उस आधे भाग को औसत में अधिक भार मिलना चाहिए, जबकि समांतर माध्य दोनों आधे भागों को समान भार देता है। यह हमेशा वास्तविकता से अधिक भी बताता है: AM ≥ HM असमानता के अनुसार, हर असमान गति-युग्म के लिए (v₁ + v₂)/2, 2v₁v₂/(v₁ + v₂) से बड़ा होता है। 40 और 60 किमी/घंटा के साथ यह 50 देता है जबकि सत्य 48 है।
- (d)√(v₁v₂) — यह गुणोत्तर माध्य (geometric mean) है। यह (c) से भी अधिक चतुर जाल है क्योंकि यह समान-गति की जाँच में उत्तीर्ण हो जाता है — v₁ = v₂ = v रखें और यह सही ढंग से v लौटाता है — इसलिए त्वरित जाँच इसे खारिज नहीं करती। इसे जो खारिज करता है वह यह है कि व्युत्पत्ति का कोई चरण इसे उत्पन्न नहीं करता, और मानक AM ≥ GM ≥ HM श्रृंखला के अनुसार यह भी असमान गतियों के सच्चे औसत से हमेशा अधिक बताता है: 40 और 60 किमी/घंटा के साथ यह √2400 ≈ 48.99 देता है जबकि सत्य 48 है। गुणोत्तर माध्य चक्रवृद्धि वृद्धि-दरों और अनुपातों से संबंधित समस्याओं का है, दूरी-समय औसत का नहीं।
औसत गति कुल पथ-लंबाई को कुल व्यतीत समय से विभाजित करने पर मिलती है। यह अलग-अलग गतियों का एक भारित औसत है जिसमें भार हर गति पर बिताए गए समय के अनुसार होते हैं — यही कारण है कि उत्तर का रूप पूरी तरह इस पर निर्भर करता है कि क्या स्थिर रखा गया है। यदि खंड समान दूरी के हों, तो निचली गति पर अधिक समय बिताया जाता है, और सही औसत हरात्मक माध्य है: दो खंडों के लिए, 2v₁v₂/(v₁ + v₂), और n समान खंडों के लिए, n ÷ (1/v₁ + 1/v₂ + … + 1/vₙ)। यदि इसके बजाय खंड समान समय के हों, तो भार बराबर होते हैं और सही औसत साधारण समांतर माध्य है, (v₁ + v₂)/2। औसत गति को औसत वेग से भी अलग रखें: वेग दूरी के बजाय विस्थापन का उपयोग करता है, इसलिए जो बस अपने आरंभिक बिंदु पर वापस लौट आती है उसका औसत वेग शून्य होता है जबकि उसकी औसत गति पूर्णतः गैर-शून्य होती है।
यहाँ हर गलत विकल्प एक वास्तविक माध्य है, यह देखने के लिए दिया गया कि क्या अभ्यर्थी ने वास्तव में परिणाम व्युत्पन्न किया है या केवल एक परिचित रूप पहचाना है। भरोसेमंद परीक्षा-पद्धति सूत्र को रटना नहीं बल्कि जो भी लिखा है उस पर दो जाँचें चलाना है। पहली, समान-गति की जाँच: v₁ = v₂ = v प्रतिस्थापित करें और देखें कि क्या व्यंजक v में सिमट जाता है — विकल्प (a) पूरी तरह विफल हो जाता है। दूसरी, 40 और 60 किमी/घंटा जैसी आसान संख्याओं से संख्यात्मक जाँच, जहाँ 48 का सच्चा उत्तर हरात्मक माध्य को समांतर (50) और गुणोत्तर (≈ 49) माध्यों से अलग करता है। दोनों के पीछे एक भौतिक सहज-बोध साथ रखने योग्य है: निश्चित दूरी पर, धीमा होना उतना समय खर्च करता है जितना तेज़ होना बचाता नहीं, इसलिए सच्चा औसत हमेशा छोटी गति की ओर झुकता है। यही कारण है कि हरात्मक माध्य तीनों माध्यों में सबसे छोटा होता है।
- औसत गति = कुल दूरी ÷ कुल समय। यह गतियों के साधारण समांतर माध्य के बराबर तभी होती है जब हर गति समान समय के लिए बनाए रखी जाए।
- v₁ और v₂ पर समान दूरियाँ → हरात्मक माध्य, 2v₁v₂/(v₁ + v₂)। n समान-दूरी खंडों के लिए सामान्य रूप है n ÷ (1/v₁ + 1/v₂ + … + 1/vₙ)।
- v₁ और v₂ पर समान समय → समांतर माध्य, (v₁ + v₂)/2। दोनों स्थितियाँ अलग-अलग उत्तर देती हैं और परीक्षक जान-बूझकर इनके बीच बदलते रहते हैं।
- धनात्मक संख्याओं के लिए AM ≥ GM ≥ HM, समानता तभी जब संख्याएँ बराबर हों — इसलिए (v₁ + v₂)/2 और √(v₁v₂) समान-दूरी वाले सच्चे औसत से हमेशा अधिक बताते हैं।
- व्युत्पत्ति में दूरी कट जाती है, यही कारण है कि उत्तर इस पर निर्भर नहीं करता कि बस कितनी दूर गई, और यही कारण है कि ऐसे प्रश्न बिना कोई दूरी दिए बनाए जा सकते हैं।
- हल की गई जाँच: 40 और 60 किमी/घंटा पर समान आधे भाग 2 × 40 × 60 / 100 = 48 किमी/घंटा देते हैं, 50 किमी/घंटा नहीं।
- औसत गति दूरी का उपयोग करती है; औसत वेग विस्थापन का उपयोग करता है। इसलिए एक पूर्ण चक्करदार यात्रा (round trip) की औसत गति गैर-शून्य होती है परंतु औसत वेग शून्य।
समान दूरियाँ धीमी गति को अधिक भार देती हैं क्योंकि उस आधे भाग पर अधिक समय बिताया जाता है; यही औसत को हरात्मक माध्य 2v₁v₂/(v₁ + v₂), विकल्प (b), में बदल देता है।
- दोनों गतियों का औसत निकालना। (v₁ + v₂)/2 केवल समान समय के लिए सही है; यह प्रश्न दूरी के समान आधे भाग निर्दिष्ट करता है।
- 2 का गुणक छोड़ देना। विकल्प (a) सही व्यंजक का ठीक आधा है और तब मिलता है जब आप कुल दूरी के केवल आधे हिस्से को कुल समय से विभाजित करते हैं।
- यह मान लेना कि कोई दूरी छूट गई है। यह कट जाती है — इस प्रकार के प्रश्न जान-बूझकर बिना दूरी दिए बनाए जाते हैं, और कोई भी मानी गई मान वही उत्तर देती है।
UPPSC इसे पेपर-I में एक प्रतीकात्मक सूत्र-प्रश्न के रूप में रखता है, संख्या के बजाय व्यंजक माँगता है। UPSC ने योग्यता-खंड में इसी अवधारणा को कई बार हल किए गए संख्यात्मक प्रश्न के रूप में पूछा है — दो गतियों पर एक आना-जाना, या तिहाई में बँटी यात्रा — इसलिए बीजगणितीय रूप और उससे निकलने वाला अंकगणितीय उत्तर, दोनों देने के लिए तैयार रहें।
एक व्यक्ति एक स्थान से दूसरे स्थान तक 40 किलोमीटर/घंटा की औसत गति से यात्रा करता है और उसी मूल स्थान पर 50 किलोमीटर/घंटा की औसत गति से वापस आता है। पूरी आने-जाने की यात्रा में उसकी औसत गति किलोमीटर/घंटा में क्या है ?
- (a) 45
- (b) 20
- (c) 400/9
- (d) पता लगाना असंभव है जब तक दोनों स्थानों के बीच की दूरी ज्ञात न हो
उत्तर(c) 400/9
वही सूत्र संख्या के रूप में पूछा गया। आना-जाना दो गतियों पर तय की गई दो समान दूरियाँ हैं, इसलिए उत्तर है 2 × 40 × 50 / 90 = 400/9 — और वहाँ विकल्प (d) उसी 'दूरी दी जानी चाहिए' वाली गलती को दंडित करता है जो यह UPPSC प्रश्न परखता है।
एक व्यक्ति X से Y तक 40 किमी/घंटा की गति से यात्रा करता है और अपनी गति 50% बढ़ाकर वापस आता है। दोनों यात्राओं में उसकी औसत गति क्या है ?
- (a) 36 किमी/घंटा
- (b) 45 किमी/घंटा
- (c) 48 किमी/घंटा
- (d) 50 किमी/घंटा
उत्तर(c) 48 किमी/घंटा
इस कार्ड में प्रयुक्त 40-और-60 वाला हल किया गया उदाहरण, सीधे एक UPSC प्रश्नपत्र से: हरात्मक माध्य 48 देता है, जबकि समांतर माध्य 50 वहाँ विकल्प (d) के रूप में बैठा है, हर उस व्यक्ति की प्रतीक्षा में जो गतियों का औसत निकालता है।
एक कार किसी निश्चित दूरी का पहला एक-तिहाई भाग 10 किमी/घंटा की गति से, अगला एक-तिहाई भाग 20 किमी/घंटा की गति से तथा अंतिम एक-तिहाई भाग 60 किमी/घंटा की गति से तय करती है। पूरी यात्रा में कार की औसत गति है
- (a) 18 किमी/घंटा
- (b) 24 किमी/घंटा
- (c) 30 किमी/घंटा
- (d) 36 किमी/घंटा
उत्तर(a) 18 किमी/घंटा
उसी विचार का त्रि-खंड सामान्यीकरण — n समान दूरियाँ n ÷ (1/v₁ + 1/v₂ + 1/v₃) देती हैं, यहाँ 3 ÷ (1/10 + 1/20 + 1/60) = 18 किमी/घंटा। सामान्य रूप सीखें और दो-भाग तथा तीन-भाग दोनों रूप उससे स्वतः निकल आते हैं।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एक कार किसी दूरी की पहली आधी दूरी 30 किमी/घंटा और दूसरी आधी दूरी 60 किमी/घंटा से तय करती है। पूरी यात्रा में इसकी औसत गति है :
- (a)45 किमी/घंटा
- (b)40 किमी/घंटा
- (c)42 किमी/घंटा
- (d)50 किमी/घंटा
उत्तर(b) 40 किमी/घंटा — हरात्मक माध्य का उपयोग करते हुए, 2 × 30 × 60 / (30 + 60) = 3600/90 = 40 किमी/घंटा। लुभावना 45 किमी/घंटा समांतर माध्य है, जो तभी सही होता जब दोनों गतियाँ समान दूरी के बजाय समान समय के लिए बनाए रखी जातीं।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एक पिंड कुल समय के पहले आधे भाग में v₁ गति से और शेष आधे समय में v₂ गति से यात्रा करता है। पूरी यात्रा में इसकी औसत गति है :
- (a)2v₁v₂ / (v₁ + v₂)
- (b)√(v₁v₂)
- (c)(v₁ + v₂) / 2
- (d)v₁v₂ / (v₁ + v₂)
उत्तर(c) (v₁ + v₂)/2 — समान समय t प्रत्येक होने पर, दूरी = v₁t + v₂t और कुल समय = 2t, इसलिए औसत (v₁ + v₂)/2, समांतर माध्य है। समान समय समांतर माध्य देता है; समान दूरी हरात्मक माध्य देती है। प्रश्न कौन-सा निर्दिष्ट करता है यह पढ़ना ही पूरा कार्य है।