अगर 3x − ky + 8 = 0 और 9x − 18y + 20 = 0 का कोई हल नहीं है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

सही उत्तर — D. दो रेखाओं का कोई हल नहीं होता जब वे समांतर हों पर अलग-अलग हों: a₁⁄a₂ = b₁⁄b₂ ≠ c₁⁄c₂।

x के गुणांकों का अनुपात: 3⁄9 = 1⁄3
y के गुणांकों का अनुपात: (−k)⁄(−18) = k⁄18
दोनों को बराबर रखिए: k⁄18 = 1⁄3, इसलिए k = 18 ÷ 3 = 6

अचर पदों की जाँच: 8⁄20 = 2⁄5, जो 1⁄3 नहीं है, इसलिए रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं → विकल्प (d)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  9 — k = 9 पर y का अनुपात 9⁄18 = 1⁄2 आता है, x के अनुपात वाला 1⁄3 नहीं। ढाल अलग हैं, इसलिए रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर काटती हैं।
• (b)
  10 — k = 10 से y का अनुपात 10⁄18 = 5⁄9 बनता है, जबकि x का अनुपात 1⁄3 है। अनुपात बराबर न हों तो रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं, यानी अद्वितीय हल, जो पूछी गई स्थिति का उल्टा है।
• (c)
  2 — k = 2 से y का अनुपात 2⁄18 = 1⁄9 बनता है, जो x के अनुपात 1⁄3 का एक-तिहाई है। रेखाएँ समांतर नहीं हैं, इसलिए वे फिर भी एक बार मिलती हैं।

हर समीकरण ax + by + c = 0 एक सरल रेखा है, और गुणांकों के अनुपात तय करते हैं कि दो रेखाएँ कैसे मिलेंगी।

a₁⁄a₂ ≠ b₁⁄b₂: रेखाएँ एक बार काटती हैं, अद्वितीय हल
a₁⁄a₂ = b₁⁄b₂ = c₁⁄c₂: दोनों एक ही रेखा हैं, अनंत हल
a₁⁄a₂ = b₁⁄b₂ ≠ c₁⁄c₂: रेखाएँ समांतर हैं, कोई हल नहीं

मुख्य तथ्य

• कोई हल नहीं: a₁⁄a₂ = b₁⁄b₂ ≠ c₁⁄c₂ (समांतर, अलग-अलग रेखाएँ)।
• अनंत हल: a₁⁄a₂ = b₁⁄b₂ = c₁⁄c₂ (एक ही रेखा)।
• अद्वितीय हल: a₁⁄a₂ ≠ b₁⁄b₂ (प्रतिच्छेदी रेखाएँ)।

सामान्य भ्रम

• केवल a₁⁄a₂ = b₁⁄b₂ पर रुक जाना और अचर पदों की जाँच न करना: अगर c₁⁄c₂ भी बराबर होता, तो रेखाएँ संपाती होतीं।
• एक अनुपात उल्टा लिख देना, जैसे 3⁄9 = 18⁄k, जिससे k = 54 आता है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।