एक समकोण त्रिभुज ABC में, B पर 90° कोण है.अगर AB = 6 सेंटीमीटर और BC = 8 सेंटीमीटर है, तो केन्द्रक G और लम्बकेन्द्र H के बीच की दूरी कितनी होगी?
- (a)5 सेंटीमीटर
- (b)10⁄3 सेंटीमीटर
- (c)8 सेंटीमीटर
- (d)20⁄3 सेंटीमीटर
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — B. पहले दोनों केन्द्रों की जगह पहचानिए, फिर उनके बीच की दूरी नापिए।
लम्बकेन्द्र: समकोण बनाने वाली भुजाएँ AB और BC दोनों शीर्षलम्ब भी हैं, इसलिए वे H = B पर मिलती हैं
पाइथागोरस से कर्ण: AC = √(6² + 8²) = √100 = 10 सेंटीमीटर
B से AC के मध्यबिंदु M तक माध्यिका: M तीनों शीर्षों A, B और C से बराबर दूरी पर है, इसलिए BM = AC ÷ 2 = 5 सेंटीमीटर
केन्द्रक: G, B से M की ओर दो-तिहाई दूरी पर है, इसलिए BG = 2⁄3 × 5 = 10⁄3 सेंटीमीटर
दूरी: GH = GB = 10⁄3 सेंटीमीटर → विकल्प (b)
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)5 सेंटीमीटर — 5 सेंटीमीटर पूरी माध्यिका BM है, जो H (यानी B) से परिकेन्द्र M तक की दूरी भी है। केन्द्रक इस पर केवल दो-तिहाई दूरी तक, यानी 10⁄3 सेंटीमीटर पर है।
- (c)8 सेंटीमीटर — 8 सेंटीमीटर तो भुजा BC है, दो केन्द्रों के बीच की दूरी नहीं। G माध्यिका BM पर है, जो केवल 5 सेंटीमीटर लंबी है, इसलिए GH, 5 सेंटीमीटर से अधिक नहीं हो सकती।
- (d)20⁄3 सेंटीमीटर — 20⁄3 सेंटीमीटर कर्ण का दो-तिहाई (2⁄3 × 10) है। 2 : 1 का विभाजन माध्यिका BM = 5 सेंटीमीटर पर लगता है, और 20⁄3 सेंटीमीटर तो खुद BM से भी अधिक है।
अवधारणा
त्रिभुज के कई केन्द्र होते हैं, और हर केन्द्र रेखाओं के एक अलग समूह से तय होता है। केन्द्रक G वह बिंदु है जहाँ माध्यिकाएँ मिलती हैं, और यह हर माध्यिका को शीर्ष की ओर से 2 : 1 में बाँटता है।
लम्बकेन्द्र H वह बिंदु है जहाँ शीर्षलम्ब मिलते हैं। परिकेन्द्र O वह बिंदु है जो तीनों शीर्षों से बराबर दूरी पर हो।
समकोण त्रिभुज में H समकोण वाला शीर्ष ही होता है और O कर्ण का मध्यबिंदु होता है, इसलिए कर्ण पर डाली गई माध्यिका H से O तक जाती है।
ऑयलर रेखा (Euler line) से जाँचिए: H, G और O एक ही रेखा पर होते हैं और HG = 2 × GO। यहाँ H = B और O = M है, इसलिए HO = 5 सेंटीमीटर और HG = 2⁄3 × 5 = 10⁄3 सेंटीमीटर।
मुख्य तथ्य
- केन्द्रक हर माध्यिका को 2 : 1 में बाँटता है, बड़ा भाग शीर्ष की ओर।
- समकोण त्रिभुज में लम्बकेन्द्र समकोण वाला शीर्ष होता है।
- समकोण त्रिभुज में परिकेन्द्र कर्ण का मध्यबिंदु होता है, इसलिए कर्ण पर डाली गई माध्यिका कर्ण की आधी होती है।
- ऑयलर रेखा पर केन्द्रक HO को इस तरह बाँटता है कि HG = 2 × GO।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- आदत से लम्बकेन्द्र को त्रिभुज के अंदर मान लेना: B पर समकोण हो तो वह B पर ही होता है।
- माध्यिका की जगह कर्ण का दो-तिहाई ले लेना, जिससे 20⁄3 सेंटीमीटर आता है।
यहाँ समकोण ही बिना किसी गणना के लम्बकेन्द्र की जगह बता देता है।
त्रिभुज के केन्द्र 19 Jan 2026, 11:00 AM, Maths Q.4 में भी आते हैं (समबाहु त्रिभुज का परिकेन्द्र उसके केन्द्रक से मेल खाता है), और माध्यिका का 2 : 1 विभाजन 11 Sep 2024, 16:00, Quant Q.8 का उत्तर तय करता है।
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