एक गोला जिसकी त्रिज्या 21 सेंटीमीटर है, उसे उसके केंद्र से तीन परस्पर लंबवत कटाव करके 8 समान भागों में विभाजित किया जाता है (प्रत्येक अक्ष के साथ एक कटाव)। प्रत्येक भाग का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सेंटीमीटर² ज्ञात कीजिए।.

सही उत्तर — D. हर टुकड़ा गोले का आठवाँ भाग है: एक वक्र हिस्सा और तीन समतल चौथाई वृत्त, हर कटाव से एक।

त्रिज्या का वर्ग: r² = 21² = 441
वक्र भाग, 4πr² का आठवाँ हिस्सा: 4 × 441π ÷ 8 = 220.5π
समतल फलक, तीन चौथाई वृत्त, हर एक πr² ÷ 4 का: 3 × 441π ÷ 4 = 330.75π

जोड़िए: 220.5π + 330.75π = 551.25π सेंटीमीटर² → विकल्प (d)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  625.25π सेंटीमीटर² — 625.25π टुकड़े के असली क्षेत्रफल से 74π ज़्यादा है। उसका वक्र हिस्सा 220.5π और तीन समतल चौथाई वृत्त 330.75π हैं, जिनका योग 551.25π है।
• (b)
  560πसेंटीमीटर² — 560π सही मान से 8.75π ज़्यादा है। टुकड़े का हर फलक एक चौथाई वृत्त (πr² ÷ 4 = 110.25π) का पूर्ण गुणज है — वक्र हिस्सा ऐसे दो के बराबर — और 560 ÷ 110.25 पूर्ण संख्या नहीं है।
• (c)
  450.75π सेंटीमीटर² — 450.75π लगभग 100π कम है। वक्र हिस्सा और तीन समतल चौथाई वृत्त मिलकर 551.25π देते हैं। एक समतल फलक छोड़ दें तो 441π आता है, तब भी 450.75π नहीं।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में ठोस का हर फलक गिना जाता है, समतल भी और वक्र भी। ठोस को काटने से नए समतल फलक बनते हैं, इसलिए सारे टुकड़ों का कुल क्षेत्रफल पूरे ठोस से अधिक होता है।

केंद्र से होकर तीन परस्पर लंबवत कटाव आठ बराबर टुकड़े बनाते हैं। हर टुकड़े को वक्र पृष्ठ का 1⁄8, यानी 4πr² ÷ 8 = πr²⁄2 मिलता है, और हर कटाव वाले तल पर उसे बृहत् वृत्त (great circle) का एक चौथाई, πr²⁄4 मिलता है।

प्रति टुकड़ा: πr²⁄2 + 3 × πr²⁄4 = 5πr²⁄4।

मुख्य तथ्य

• गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: 4πr²।
• केंद्र से होकर जाने वाला कटाव πr² क्षेत्रफल का बृहत् वृत्त खोल देता है।
• अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: 3πr² (2πr² वक्र + πr² समतल)।
• गोले के आठ बराबर टुकड़ों में से हर एक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 5πr²⁄4 है।

सामान्य भ्रम

• केवल वक्र पृष्ठ, 220.5π, गिनना और कटावों से खुले तीन समतल फलक भूल जाना।
• हर समतल फलक को अर्धवृत्त मान लेना: बाकी दो कटाव हर बृहत् वृत्त को चार भागों में बाँटते हैं, इसलिए हर टुकड़े को चौथाई ही मिलता है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।