अगर किसी वृत्त की जीवा वृत्त की परिधि पर 60° का कोण बनाती है, तो वृत्त की त्रिज्या और जीवा की लंबाई का अनुपात क्या होगा?

सही उत्तर — D. केन्द्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है, इसलिए जीवा केन्द्र पर 120° का कोण बनाती है।

केन्द्रीय कोण: 2 × 60° = 120°
जीवा = 2r × sin(केन्द्रीय कोण का आधा) = 2r × sin 60°
sin 60° = √3⁄2 रखिए: जीवा = r√3

त्रिज्या : जीवा = r : r√3 = 1 : √3 → विकल्प (d)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  1:2 — 1 : 2 से जीवा 2r, यानी व्यास बन जाती है। व्यास परिधि पर 90° का कोण बनाता है, 60° का नहीं।
• (b)
  3:4 — 3 : 4 से जीवा 4r⁄3 बनती है, जिसके लिए sin 60° = 2⁄3 चाहिए। पर sin 60° = √3⁄2 ≈ 0.866, और जीवा r√3 ≈ 1.73r है।
• (c)
  2 : √5 — 2 : √5 से जीवा (√5⁄2)r ≈ 1.12r बनती है। परिधि पर 60° के कोण के लिए r√3 ≈ 1.73r की जीवा चाहिए।

दो वृत्त-तथ्य काम करते हैं। जीवा द्वारा केन्द्र पर बना कोण, दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है।

दोनों त्रिज्याएँ और जीवा एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं, और केन्द्र से डाला गया लम्ब जीवा और केन्द्रीय कोण, दोनों को समद्विभाजित करता है। इसलिए जीवा = 2r sin(θ⁄2), जहाँ θ केन्द्रीय कोण है।

θ = 120° पर आधी जीवा r sin 60° = r√3⁄2 है, और जीवा r√3 है।

मुख्य तथ्य

• जीवा द्वारा केन्द्र पर बना कोण, दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है।
• केन्द्र पर θ कोण बनाने वाली जीवा की लंबाई 2r sin(θ⁄2) होती है।
• त्रिज्या के बराबर जीवा केन्द्र पर 60° का कोण बनाती है।
• व्यास वृत्त के बाकी हर बिंदु पर 90° का कोण बनाता है।

सामान्य भ्रम

• 60° को केन्द्रीय कोण मान लेना, जिससे जीवा त्रिज्या के बराबर और अनुपात 1 : 1 हो जाता है।
• अनुपात उलटा लिख देना। प्रश्न त्रिज्या और जीवा की लंबाई का अनुपात पूछता है, इसलिए r√3 दूसरे स्थान पर आता है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।