एक आयत ऐसा है कि उसका क्षेत्रफल 48 सेंटीमीटर² है और इसका परिमाप 28 सेंटीमीटर है। अगर इस आयत की भुजाओं के मध्यबिंदु को मिलाकर एक समचतुर्भुज बनाया जाता है, तो उस रोम्बस का क्षेत्रफल क्या होगा?

सही उत्तर — B. पहले भुजाएँ निकालिए। परिमाप से l + b = 28 ÷ 2 = 14, और क्षेत्रफल से l × b = 48।

योग 14, गुणनफल 48: t² − 14t + 48 = 0
गुणनखंड: (t − 6)(t − 8) = 0, अतः भुजाएँ 8 सेंटीमीटर और 6 सेंटीमीटर हैं

समचतुर्भुज का हर विकर्ण आयत की आमने-सामने की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ता है
इसलिए विकर्ण आयत की भुजाओं के बराबर हैं: 8 सेंटीमीटर और 6 सेंटीमीटर
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × 8 × 6 = 24 सेंटीमीटर² → विकल्प (b)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  12 सेंटीमीटर² — 12 सेंटीमीटर² आयत का एक-चौथाई है। कोनों के चारों त्रिभुज ½ × 4 × 3 = 6 सेंटीमीटर² के हैं, इसलिए वे 24 हटाते हैं और 24 बचता है — 48 का आधा।
• (c)
  48 सेंटीमीटर² — 48 सेंटीमीटर² तो स्वयं आयत है। समचतुर्भुज उसके भीतर है और उसके विकर्ण आयत की भुजाओं के बराबर हैं, इसलिए उसका क्षेत्रफल ½ × 8 × 6 = 24 है।
• (d)
  20 सेंटीमीटर² — 20 समचतुर्भुज का परिमाप है (सेंटीमीटर में), क्षेत्रफल नहीं: हर भुजा √(4² + 3²) = 5 सेंटीमीटर है, और 4 × 5 = 20।

आयत अपनी भुजाओं के योग और गुणनफल से तय हो जाता है: आधा परिमाप l + b देता है, क्षेत्रफल l × b देता है, और भुजाएँ t² − (l + b)t + lb = 0 के मूल हैं।

आयत की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने से एक समचतुर्भुज बनता है, जिसके विकर्ण आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ = ½ × l × b।

इसलिए समचतुर्भुज हमेशा आयत का आधा होता है, 48 ⁄ 2 = 24 सेंटीमीटर²। क्षेत्रफल के लिए परिमाप की ज़रूरत नहीं है; वह समचतुर्भुज की भुजा, 5 सेंटीमीटर, तय करता है।

मुख्य तथ्य

• आयत की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने से आयत के आधे क्षेत्रफल वाला समचतुर्भुज बनता है।
• समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × विकर्णों का गुणनफल।
• यहाँ आयत 8 सेंटीमीटर × 6 सेंटीमीटर है और समचतुर्भुज की भुजा 5 सेंटीमीटर है।

सामान्य भ्रम

• आयत के क्षेत्रफल 48 पर रुक जाना, क्योंकि समचतुर्भुज उसके भीतर है।
• समचतुर्भुज की भुजा या परिमाप को उसका क्षेत्रफल मान लेना।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।