दी गई टेबल अलग -अलग उम्र के ग्रुप में लोगों की संख्या दिखाती है। दिए गए लोगों की औसत उम्र ज्ञात कीजिए। आयु का वर्ग अंतराल (वर्षों में) | लोगों की संख्या (f) 25 - 29 | 10 30 - 34 | 12 35 - 39 | 8 40 - 44 | 5 45 - 49 | 15 50 - 54 | 10 55 - 59 | 15

सही उत्तर — D. हर वर्ग के सभी लोगों की उम्र उस वर्ग के वर्ग चिह्न (class mark), यानी मध्य-बिंदु, के बराबर मानिए: (25 + 29) ⁄ 2 = 27, और इसी तरह आगे के वर्गों में।

वर्ग चिह्न: 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57
42 को कल्पित माध्य लीजिए, d = वर्ग चिह्न − 42: −15, −10, −5, 0, 5, 10, 15
f से गुणा: −150, −120, −40, 0, 75, 100, 225

आवृत्तियाँ जोड़िए: Σf = 10 + 12 + 8 + 5 + 15 + 10 + 15 = 75
गुणनफल जोड़िए: Σfd = −310 + 400 = 90
माध्य = 42 + 90 ⁄ 75 = 42 + 1.2 = 43.2 साल → विकल्प (d)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  38.6 साल — 38.6 कल्पित माध्य 42 से कम है, जिसके लिए Σfd = (38.6 − 42) × 75 = −255 चाहिए। तालिका के विचलनों का योग +90 है, इसलिए माध्य 42 से ऊपर है।
• (b)
  32.4 साल — 32.4 बहुत कम है। 75 में से 40 लोग 45 साल या उससे अधिक उम्र के हैं, और Σfd = +90 माध्य को 42 से ऊपर रखता है — सबसे कम उम्र वाले वर्गों के आसपास भी नहीं।
• (c)
  54.2 साल — 54.2 के लिए Σfd = (54.2 − 42) × 75 = 915 चाहिए, जो तालिका के +90 के दस गुने से भी अधिक है। यह सबसे ऊपर वाले 57 को छोड़कर हर वर्ग चिह्न से ऊपर है।

वर्गीकृत आँकड़ों में सही-सही उम्रें छिपी रहती हैं, इसलिए हर वर्ग का प्रतिनिधित्व उसका वर्ग चिह्न, यानी अंतराल का मध्य-बिंदु, करता है। तब माध्य (औसत) = Σfx ⁄ Σf।

कल्पित माध्य वाली शॉर्टकट विधि हर x में से एक सुविधाजनक वर्ग चिह्न A घटाती है: माध्य = A + Σfd ⁄ Σf। बीच वाला वर्ग चिह्न 42 चुनने से विचलन ±5, ±10 और ±15 रहते हैं, इसलिए गुणनफल छोटे रहते हैं।

सीधी विधि भी यही देती है: Σfx = 3240, और 3240 ⁄ 75 = 43.2।

मुख्य तथ्य

• वर्ग चिह्न = (निम्न सीमा + उच्च सीमा) ⁄ 2।
• वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य = Σfx ⁄ Σf, जहाँ x वर्ग चिह्न हैं।
• कल्पित माध्य विधि: माध्य = A + Σfd ⁄ Σf, जहाँ d = x − A।

सामान्य भ्रम

• वर्ग चिह्नों की जगह निम्न सीमाएँ 25, 30, 35 … ले लेना, जिससे 41.2 आता है।
• Σfx को Σf = 75 की जगह वर्गों की संख्या 7 से भाग देना।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।