n मानों का एक समूह X₁,X₂,...,Xₙ का मानक विचलन 5 है n मानों X₁−7,X₂−7,...,Xₙ−7 का मानक विचलन होगा:

सही उत्तर — A. हर मान में से 7 घटाने से पूरा समूह खिसक जाता है, पर उसका फैलाव नहीं बदलता। पुराना माध्य m मानिए।

नया माध्य: m − 7
नया विचलन: (Xᵢ − 7) − (m − 7) = Xᵢ − m, यानी पुराना विचलन
वही विचलन → वही प्रसरण → वही मानक विचलन (SD)
SD = 5 → विकल्प (a)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)
  0 — SD शून्य तभी होता है जब सारे मान बराबर हों। मान X₁ − 7, …, Xₙ − 7 आपस में ठीक उतने ही अलग हैं जितने मूल मान थे।
• (c)
  10 — हर मान को दोगुना करने पर SD दोगुना होकर 10 होता। अचर घटाना खिसकाना है, गुणा करना नहीं, इसलिए SD 5 ही रहता है।
• (d)
  7 — 7 खिसकाव है, फैलाव नहीं। 7 घटाने से माध्य 7 कम हो जाता है, और माध्य से मानों की दूरियाँ — जिन्हें SD मापता है — नहीं बदलतीं।

मानक विचलन यह मापता है कि मान अपने ही माध्य से कितनी दूर हैं। समूह संख्या-रेखा पर कहाँ है, इससे उसे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।

हर मान में अचर जोड़ने या घटाने से हर मान और माध्य साथ-साथ खिसकते हैं, इसलिए हर विचलन Xᵢ − m वही रहता है, और SD भी।

अचर k से गुणा करने पर हर विचलन k गुना खिंच जाता है, इसलिए SD |k| से और प्रसरण k² से गुणा हो जाता है।

मुख्य तथ्य

• किसी भी अचर c के लिए SD(X + c) = SD(X)।
• SD(kX) = |k| × SD(X), और प्रसरण k² गुना हो जाता है।
• हर मान में अचर c जोड़ने पर माध्य, माध्यिका और बहुलक में भी c जुड़ जाता है।
• किसी समूह का SD शून्य तभी होता है जब उसके सारे मान बराबर हों।

सामान्य भ्रम

• अचर को माध्य के साथ-साथ SD में से भी घटा देना।
• खिसकाव को गुणा जैसा मानकर SD बदल देना।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।