3⁄2 ((cos 39)⁄(sin 51)) − √(sin² 39° + sin² 51°) का मान क्या होगा?

सही उत्तर — D. 39° और 51° का योग 90° है, इसलिए दोनों एक-दूसरे के पूरक कोण हैं।

पूरक कोण का नियम: cos 39° = sin (90° − 39°) = sin 51°
पहला पद: 3⁄2 × (sin 51° ⁄ sin 51°) = 3⁄2 × 1 = 3⁄2

फिर वही नियम: sin 51° = cos 39°
मूल के भीतर: sin² 39° + cos² 39° = 1
मूल: √1 = 1

घटाइए: 3⁄2 − 1 = 1⁄2 → विकल्प (d)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  3⁄2 — 3⁄2 केवल पहला पद है। मूल शून्य नहीं है: sin² 39° + sin² 51° = sin² 39° + cos² 39° = 1, इसलिए 1 घटाना अभी बाकी है।
• (b)
  7⁄8 — 7⁄8 के लिए मूल का मान 5⁄8 होना चाहिए। दोनों भाग सटीक हैं — अनुपात 1 है और मूल √1 = 1 — इसलिए मान 3⁄2 − 1 है।
• (c)
  5⁄6 — 5⁄6 के लिए मूल का मान 2⁄3 होना चाहिए, यानी उसके भीतर का योग 4⁄9। पर sin² 39° + sin² 51° तो sin² 39° + cos² 39° है, ठीक 1।

इस प्रश्न को दो तथ्य हल करते हैं। पूरक कोण अनुपातों की अदला-बदली करते हैं: sin (90° − θ) = cos θ, और इसी तरह tan और cot, sec और cosec आपस में बदलते हैं।

फिर पाइथागोरस सर्वसमिका, sin² θ + cos² θ = 1, एक ही कोण के sine और cosine के वर्गों के योग को सीधे 1 में बदल देती है।

जब व्यंजक के कोण जोड़ों में 90° बनाते हों, तो पहले हर जोड़े का एक कोण बदलकर लिखिए। यहाँ इससे दोनों भाग संख्या 1 बन जाते हैं।

मुख्य तथ्य

• sin (90° − θ) = cos θ और cos (90° − θ) = sin θ।
• हर कोण θ के लिए sin² θ + cos² θ = 1।
• cos 39° ⁄ sin 51° = 1, क्योंकि 39° + 51° = 90°।

सामान्य भ्रम

• sin 51° और cos 39° को बराबर पहचानने के बजाय उनके अनुमानित मान निकालने लगना।
• भिन्न के 1 बनते ही 3⁄2 पर रुक जाना और मूल वाला पद छोड़ देना।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।