एक समबाहु त्रिभुज में, परिकेन्द्र निम्नलिखित में से किसके साथ मेल खाता है?
- (a)त्रिभुज के बाहर एक बिंदु
- (b)इसकी एक भुजा का मध्यबिंदुइसकी एक भुजा का मध्यबिंदु
- (c)त्रिभुज का केन्द्रक
- (d)शीर्षों में से एक
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — C. समबाहु त्रिभुज में हर माध्यिका एक लम्ब समद्विभाजक भी होती है।
माध्यिका शीर्ष को सामने की भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है
इससे बने दोनों भाग सर्वांगसम (SSS) हैं, इसलिए वह उस भुजा से 90° पर मिलती है
अतः तीनों माध्यिकाएँ और तीनों लम्ब समद्विभाजक एक ही तीन रेखाएँ हैं
केन्द्रक = माध्यिकाओं का मिलन बिंदु
परिकेन्द्र = लम्ब समद्विभाजकों का मिलन बिंदु
वही रेखाएँ, वही बिंदु → विकल्प (c)
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)त्रिभुज के बाहर एक बिंदु — परिकेन्द्र त्रिभुज के बाहर तब होता है जब कोई एक कोण अधिक कोण (obtuse) हो। समबाहु त्रिभुज का हर कोण 60° है, इसलिए उसका परिकेन्द्र भीतर होता है।
- (b)इसकी एक भुजा का मध्यबिंदुइसकी एक भुजा का मध्यबिंदु — परिकेन्द्र भुजा के मध्यबिंदु पर समकोण त्रिभुज में होता है, जहाँ वह भुजा कर्ण है। समबाहु त्रिभुज में कोई समकोण नहीं होता। हिन्दी प्रश्नपत्र में इस विकल्प के शब्द दो बार छप गए हैं; इसे एक बार पढ़िए — इसकी एक भुजा का मध्यबिंदु।
- (d)शीर्षों में से एक — परिकेन्द्र तीनों शीर्षों से बराबर दूरी पर होता है, इसलिए वह कभी शीर्ष नहीं हो सकता। जो केन्द्र समकोण त्रिभुज में शीर्ष पर होता है, वह लम्बकेन्द्र है।
अवधारणा
त्रिभुज के चार प्रमुख केन्द्र हैं। केन्द्रक माध्यिकाओं का मिलन बिंदु है, परिकेन्द्र लम्ब समद्विभाजकों का, अंतःकेन्द्र कोण समद्विभाजकों का और लम्बकेन्द्र शीर्षलम्बों का।
समबाहु त्रिभुज में हर माध्यिका एक शीर्षलम्ब, एक कोण समद्विभाजक और एक लम्ब समद्विभाजक भी है। इसलिए चारों केन्द्र एक ही बिंदु पर होते हैं — उस बिंदु पर जो हर माध्यिका को शीर्ष से 2 : 1 में बाँटता है।
विकल्प (a) और (b) परिकेन्द्र की वास्तविक स्थितियाँ हैं — अधिक कोण और समकोण त्रिभुजों में। विकल्प (d) ऐसी स्थिति है जहाँ परिकेन्द्र किसी भी त्रिभुज में नहीं होता।
मुख्य तथ्य
- समबाहु त्रिभुज में केन्द्रक, परिकेन्द्र, अंतःकेन्द्र और लम्बकेन्द्र एक ही बिंदु हैं।
- परिकेन्द्र न्यूनकोण त्रिभुज के भीतर, समकोण त्रिभुज के कर्ण के मध्यबिंदु पर, और अधिक कोण त्रिभुज के बाहर होता है।
- भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या a⁄√3 और अंतःत्रिज्या a⁄(2√3) होती है।
- केन्द्रक हर माध्यिका को, शीर्ष से मापने पर, 2 : 1 के अनुपात में बाँटता है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- लम्बकेन्द्र को परिकेन्द्र समझ लेना। समकोण त्रिभुज में लम्बकेन्द्र समकोण वाला शीर्ष होता है और परिकेन्द्र कर्ण का मध्यबिंदु।
- यह मान लेना कि किसी भी समद्विबाहु त्रिभुज में केन्द्र एक हो जाते हैं। वहाँ वे सममिति अक्ष पर होते हैं, पर अलग-अलग बिंदु होते हैं।
समकोण त्रिभुज में केन्द्रों की स्थिति सीधे पूछी जाती है। 19 Jan 2026, 11:00 AM, Maths Q.11 समकोण त्रिभुज के केन्द्रक और लम्बकेन्द्र के बीच की दूरी पूछता है, जहाँ लम्बकेन्द्र समकोण वाला शीर्ष B है।
26 Sep 2024, 09:00, Quant Q.3 ऐसे समकोण त्रिभुज के परिवृत्त का क्षेत्रफल पूछता है जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 28 सेंटीमीटर और 96 सेंटीमीटर हैं; उसका कर्ण, 100 सेंटीमीटर, व्यास है।
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