नीचे दी गई आकृति में कितने वर्ग मौजूद हैं?

सही उत्तर — A.
नियम: वर्गों को आकार के हिसाब से गिनिए, फिर जोड़िए।

आकृति एक 3 × 3 ग्रिड है, जिसके हर कोने वाले खाने में और बीच के खाने में एक छोटा वर्ग बना है।

1 × 1 खाने: 9
2 × 2 खंड: 4
पूरा बाहरी फ़्रेम: 1
छोटे भीतरी वर्ग: 5

9 + 4 + 1 + 5 = 19 → विकल्प (a)।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)
  21 — 21 के लिए दो ऐसे वर्ग चाहिए जो हैं ही नहीं। हर भीतरी वर्ग अपने खाने के अंदर है और किसी ग्रिड रेखा को नहीं छूता, इसलिए उससे कोई बड़ा वर्ग नहीं बनता और वह एक ही बार गिना जाता है।
• (c)
  17 — 17 दो कम है। सिर्फ़ ग्रिड से 9 + 4 + 1 = 14 वर्ग बनते हैं, और पाँच भीतरी वर्ग — चार कोनों के और एक बीच का — गिनती को 19 तक ले जाते हैं।
• (d)
  23 — 23 चार ज़्यादा है। 3 × 3 ग्रिड में 2 × 2 खंड सिर्फ़ 4 जगह बैठता है, और कोई दूसरी रेखाएँ मिलकर वर्ग नहीं बनातीं।

वर्ग आकार के हिसाब से गिनिए, अंदाज़े से कभी नहीं। सबसे छोटा वर्ग तय कीजिए, फिर पूछिए कि हर बड़ा आकार कितनी जगहों पर बैठ सकता है।

3 × 3 ग्रिड में 1 × 1 वर्ग 9 जगह, 2 × 2 वर्ग 4 जगह और 3 × 3 वर्ग 1 जगह बैठता है, इसलिए अकेले ग्रिड में 14 वर्ग हैं।
किसी खाने के अंदर बना वर्ग ठीक एक वर्ग जोड़ता है, क्योंकि उसकी भुजाएँ किसी दूसरी रेखा से नहीं मिलतीं।

मुख्य तथ्य

• 3 × 3 ग्रिड में 9 + 4 + 1 = 14 वर्ग होते हैं।
• n × n ग्रिड में 1² + 2² + … + n² वर्ग होते हैं, इसलिए 4 × 4 ग्रिड में 30 वर्ग होते हैं।
• किसी खाने के अंदर बना वर्ग, जो उस खाने की किसी भुजा को नहीं छूता, ठीक एक वर्ग जोड़ता है।

सामान्य भ्रम

• नौ खानों पर रुक जाना और चार 2 × 2 खंड छोड़ देना
• यह भूल जाना कि बाहरी फ़्रेम खुद भी एक वर्ग है

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।