समुच्चय {1, 2, 3, ... , 120} में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। क्या प्रायिकता है कि चुनी गई संख्या 6 या 8 से विभाज्य है लेकिन 24 से विभाज्य नहीं है?
- (a)25⁄120
- (b)19⁄120
- (c)21⁄120
- (d)23⁄120
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — D. यह कार्ड SSC की कुंजी का अनुसरण करता है: 23⁄120, विकल्प (d)। नीचे की गिनती 23 नहीं, 25 पर पहुँचती है; कुंजी पर संदेह वाली टिप्पणी यह अंतर दर्ज करती है।
1 से 120 में 6 के गुणज: 120 ÷ 6 = 20
8 के गुणज: 120 ÷ 8 = 15
दोनों के गुणज, यानी ल.स.प. (LCM) 24 के: 120 ÷ 24 = 5
6 या 8 से विभाज्य: 20 + 15 − 5 = 30
24 का हर गुणज इन 30 में है, इसलिए पाँचों हटाइए
अनुकूल: 30 − 5 = 25
सीधी गिनती: 25⁄120
SSC की कुंजी: 23⁄120 → विकल्प (d)
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)25⁄120 — 25⁄120 सीधी गिनती का परिणाम है: 6 या 8 से विभाज्य 30 संख्याएँ, उनमें से 24 के 5 गुणज घटाकर। SSC की कुंजी (d) पर 23⁄120 को सही मानती है; कुंजी पर संदेह वाली टिप्पणी यह अंतर बताती है।
- (b)19⁄120 — 19 किसी भी रास्ते से नहीं आता। 6 के वे गुणज जो 24 के गुणज नहीं, 20 − 5 = 15 हैं, 8 के वे गुणज जो 24 के गुणज नहीं, 15 − 5 = 10 हैं, और 15 + 10 = 25।
- (c)21⁄120 — 21 का अर्थ होगा 30 में से नौ संख्याएँ हटाना। प्रश्न 24 के गुणज हटाता है, और 1 से 120 में वे पाँच हैं: 24, 48, 72, 96 और 120।
अवधारणा
'6 या 8 से विभाज्य' गिनने के लिए समावेशन–अपवर्जन (inclusion–exclusion) लगता है: दोनों सूचियाँ जोड़िए, फिर उभयनिष्ठ भाग एक बार घटाइए, क्योंकि दोनों से विभाज्य संख्याएँ दो बार गिनी गई थीं।
उभयनिष्ठ भाग LCM के गुणज हैं, गुणनफल के नहीं। LCM(6, 8) = 24, इसलिए उभयनिष्ठ भाग 24 के गुणज हैं, 48 के नहीं।
यहाँ '24 से विभाज्य नहीं' वाली शर्त इस उभयनिष्ठ भाग को पूरी तरह हटा देती है। इसलिए अनुकूल संख्याएँ वे हैं जो 6 और 8 में से ठीक एक से विभाज्य हैं।
अनुकूल संख्याओं की सूची बनाने पर गिनती 25 ही आती है: 6, 8, 12, 16, 18, 30, 32, 36, 40, 42, 54, 56, 60, 64, 66, 78, 80, 84, 88, 90, 102, 104, 108, 112, 114।
SSC की कुंजी — रिस्पॉन्स शीट पर हरा निशान — 23⁄120 दिखाती है, और एक अन्य अभ्यर्थी की शीट पर भी यही कुंजी है। शीट यह नहीं बताती कि उस पर अनंतिम (tentative) कुंजी है या अंतिम।
मुख्य तथ्य
- n(A या B) = n(A) + n(B) − n(A और B)।
- जो संख्या 6 और 8 दोनों से विभाज्य है, वह उनके LCM 24 से विभाज्य है।
- 1 से 120 में 6 के 20, 8 के 15 और 24 के 5 गुणज हैं।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- उभयनिष्ठ भाग को LCM 24 की जगह गुणनफल 48 के गुणज मान लेना।
- 30⁄120 पर रुक जाना। '6 या 8' वाला चरण दोहरी गिनती रोकने के लिए 24 के गुणज एक बार घटाता है, और फिर '24 से विभाज्य नहीं' वाली शर्त उन्हें पूरी तरह हटा देती है।
यहाँ प्रायिकता तो बस ऊपरी रूप है; असली काम विभाज्यता की गिनती है। किसी सीमा के भीतर एक संख्या के गुणज खोजना 12 Sep 2025, 09:00, Quant Q.7 का भी पहला चरण है, जो 100 और 250 के बीच 11 से पूर्णतः विभाज्य पूर्णांकों का औसत पूछता है।
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