यदि (sin θ)⁄x = (cos θ)⁄y, तो sin θ − cos θ क्या है:

सही उत्तर — A. दोनों अनुपातों को एक ही अचर k के बराबर रखिए।

sin θ⁄x = cos θ⁄y = k
तो sin θ = kx और cos θ = ky

sin²θ + cos²θ = 1 लगाइए: k²x² + k²y² = 1
तो k² = 1⁄(x² + y²)
धनात्मक मूल लीजिए: k = 1⁄√(x² + y²)

sin θ − cos θ = kx − ky = k(x − y)
= (x − y)⁄√(x² + y²) → विकल्प (a)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)
  (5x−y)⁄(3√(x²+y²)) — (5x − y)⁄(3√(x² + y²)), k(x − y) नहीं है। x = 3, y = 4 लेकर जाँचिए: तब sin θ = 3⁄5, cos θ = 4⁄5 और उत्तर −1⁄5 है, पर यह विकल्प 11⁄15 देता है।
• (c)
  (x−y)⁄(2√(x²+y²)) — अतिरिक्त 2 उत्तर को आधा कर देता है। x = 3, y = 4 पर sin θ − cos θ = 3⁄5 − 4⁄5 = −1⁄5, पर यह विकल्प −1⁄10 देता है।
• (d)
  (x−y)⁄√(3x²+5y²) — √(3x² + 5y²), √(x² + y²) नहीं है, जबकि sin²θ + cos²θ = 1 से √(x² + y²) ही आता है। x = 3, y = 4 पर यह −1⁄√107 देता है, −1⁄5 नहीं।

जब दो अनुपात बराबर हों, तो दोनों को एक ही अचर k के बराबर रखिए। इससे sin θ और cos θ, kx और ky के रूप में लिखे जाते हैं, और फिर सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 से k तय होता है।

त्रिभुज से देखने पर भी यही परिणाम आता है। दोनों अनुपातों को भाग देने पर tan θ = x⁄y मिलता है, तो एक समकोण त्रिभुज बनाइए जिसमें θ के सामने की भुजा (लंब) x, संलग्न भुजा (आधार) y और कर्ण √(x² + y²) हो।

तब sin θ = x⁄√(x² + y²) और cos θ = y⁄√(x² + y²)।

मुख्य तथ्य

• यदि a⁄b = c⁄d = k, तो a = kb और c = kd।
• हर कोण θ के लिए sin²θ + cos²θ = 1।
• sin θ⁄x = cos θ⁄y का अर्थ वही है जो tan θ = x⁄y का।

सामान्य भ्रम

• k² = 1⁄(x² + y²) पर रुक जाना और वर्गमूल लेना भूल जाना।
• tan θ = y⁄x लिख देना: sin θ के नीचे x है, इसलिए x ही θ के सामने की भुजा है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।